Daftar identitas eksponensiasi

Perbedaan grafik fungsi linear dan eksponen, yakni $f(x)=50x$, $f(x)=x^{3}$ dan $f(x)=2^{x}$. Masing-masing berwarna merah, biru, dan hijau.

Identitas eksponen atau eksponensiasi adalah sifat-sifat metode efisien untuk mengkomputasi berbagai bentuk yang elusif. Mengingat kembali bahwa eksponen adalah perkalian berulang pada basis, atau darab basis dikali sebanyak $n$, maka secara matematis dirumuskan sebagai

$b^{n}=b\times \cdots \times b$.

Sebagai limitasi $b$, grafik akan turun bila $0<b<1$ dan akan menaik bila $b>1$, dengan masing-masing menyatakan bahwa grafik akan mengalami peluruhan dan pertumbuhan. Mengenai akar atau daftar identitas akar, akan tetap dimasukkan ke dalam halaman ini (karena merupakan bentuk pecahan eksponen).

Meskipun eksponensiasi invers dengan logaritma, namun keduanya memiliki sifat yang interdependensi dengan satu sama lain. Berikut adalah daftar identitas eksponen atau daftar identitas eksponensiasi, di antaranya sebagai berikut.

Sifat dasar

Sifat yang paling dasar mengenai sifat eksponen adalah ketika dipangkatkan dengan $0$, maka kita memperoleh nilai sebesar 1. Untuk setiap bilangan yang dipangkatkan akan bernilai 1, dengan eksepsi bilangan tersebut tidak boleh sama dengan 0, yang akan mengakibatkan nilai menjadi tak tentu atau berupa bentuk tak tentu bila bilangan tersebut 0.

$b^{0}=1$, dimana $b\neq 0$.

Sebagai permisalan dan umpamanya, kita tinjau $2^{0}$. Maka nilainya bernilai $1$.

Sifat dasar lainnya, yakni dimana pangkat bernilai negatif. Pemangkatan negatif pada sebuah basis akan sama halnya dengan basis berbentuk pecahan. Dengan kata lain, basisnya akan terletak di penyebut tersebut. Secara matematis, dapat ditulis

$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$, asalkan $b\neq 0$.

Operasi dalam basis

Perkalian dan pembagian

• $(bc)^{n}=b^{n}c^{n}$
• $\left({\frac {b}{c}}\right)^{n}={\frac {b^{n}}{c^{n}}}$

Penambahan dan pengurangan

• $(b+c)^{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}b^{n-k}c^{k}$
• $(b-c)^{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}b^{n-k}(-c)^{k}$

Untuk membuktikan pengurangan basis, cukup andaikan $c<0$ dan terapkan ke penambahan basis.

Operasi dalam pemangkatan

Perkalian dan pembagian

• $b^{mn}=(b^{m})^{n}=(b^{n})^{m}$
• $b^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}$

Penambahan dan pengurangan

• $b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$
• $b^{m-n}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}$

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial, dinotasikan $\exp$ adalah fungsi eksponensiasi dengan $e$, konstanta Euler adalah basis eksponensiasi. Sifat-sifatnya mirip dengan sifat di atas.

• $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$
• $e^{x-y}={\frac {e^{x}}{e^{y}}}$

Invers

Eksponen memiliki invers yang disebut logaritma, dimana logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan. Kita tuliskan secara matematis, yaitu:

$b^{x}=c\iff ^{b}\!\log c=x$.

Berikut adalah identitas eksponen yang berkaitan dengan logaritma.

• $^{a}\!\log b^{x}=x\,^{a}\!\log b$
• $b^{^{b}\!\log x}=x$

Identitas dalam kalkulus

Turunan

• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]=nx^{n-1}$
• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[b^{x}\right]=b^{x}\ln b$

Integral

• $\int x^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$
• $\int b^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{x}}{\ln b}}+C$

Deret

• $b^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln b)^{n}}{n!}}x^{n}$ dalam ekspansi deret Taylor.
• $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

Lihat pula

• Daftar identitas logaritma