Identitas Euler

Identitas Euler^{[n 1]} (Inggris: Euler's identity), juga dikenal sebagai persamaan Euler (Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:

e^{i\pi }+1=0,\,\!

di mana $e\,\!$ adalah bilangan Euler, $i\,\!$ adalah unit imajiner dan $\pi \,\!$ adalah pi (atau konstanta Archimedes).

Analisis[sunting | sunting sumber]

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:

$0\,\!$ adalah identitas penambahan,
$1\,\!$ adalah identitas perkalian,
$e\,\!$ adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
$i\,\!$ adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah $-i\,\!$ ), dan
$\pi \,\!$ adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.

Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.

Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.

Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik $(1,0)$ pada bidang kompleks sebesar 180° ( $\pi$ radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar $1$ searah sumbu $x$ . Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal $(0,0)$ .

Bukti[sunting | sunting sumber]

Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!

dengan mensubtitusikan $x$ dengan $\pi$ didapat:

{\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+i\cdot 0\\&=-1\end{aligned}}

sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:

e^{i\pi }+1=0\,\!

. Q.E.D.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Bilangan kompleks

Catatan[sunting | sunting sumber]

^ The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] and the Euler product formula.^[2]

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ Dunham, 1999, p. xxiv.
^ Stepanov, S. A. (7 February 2011). "Euler identity". Encyclopedia of Mathematics. Diakses tanggal 18 February 2014.

[3] The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] and the Euler product formula.^[2]

[1] Dunham, 1999, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S. A. (7 February 2011). "Euler identity". Encyclopedia of Mathematics. Diakses tanggal 18 February 2014.

[n 1]

[1]

[2]

l b s Leonhard Euler
Karya	Mechanica Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integralis Letters to a German Princess
Konsep dan teori	Beban kritis Euler Bilangan Euler Bilangan Euler (fisika) Fungsi Euler Identitas empat kuadrat Euler Identitas Euler Konjektur jumlah pangkat Euler Konstanta Euler–Mascheroni Metode Euler Metode Euler–Maruyama Persamaan Euler (dinamika fluida) Persamaan Euler–Lagrange Persamaan Euler–Lotka Persamaan Euler–Poisson–Darboux Persamaan Euler–Tricomi Persamaan pompa dan turbin Euler Rumus Euler–Maclaurin Rumus Euler–Rodrigues Rumus pecahan berlanjut Euler Rumus Euler Teorema berkas Euler–Bernoulli Teorema Euler Teorema rotasi Euler
Lain-lain	Penyematan nama Euler Committee Johann Euler Johann Bernoulli (keluarga Bernoulli) Georg Gsell Keluarga Merian Sekolah Basel (matematika)