Daftar identitas eksponensiasi: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
Wagino Bot (bicara | kontrib) |
||
(8 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 2: | Baris 2: | ||
Identitas [[eksponen]] atau [[eksponensiasi]] adalah sifat-sifat metode efisien untuk mengkomputasi berbagai bentuk yang elusif. Mengingat kembali bahwa eksponen adalah perkalian berulang pada basis, atau darab basis dikali sebanyak <math>n</math><ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|website=Math Insight|access-date=Agustus 27, 2020}}</ref>, maka secara matematis dirumuskan sebagai |
Identitas [[eksponen]] atau [[eksponensiasi]] adalah sifat-sifat metode efisien untuk mengkomputasi berbagai bentuk yang elusif. Mengingat kembali bahwa eksponen adalah perkalian berulang pada basis, atau darab basis dikali sebanyak <math>n</math><ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|website=Math Insight|access-date=Agustus 27, 2020}}</ref>, maka secara matematis dirumuskan sebagai |
||
{{Equation box 1|border|indent=:|title=|equation=<math>b^n = b \times \cdots \times b</math>.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}} |
{{Equation box 1|border|indent=:|title=|equation=<math>b^n = b \times \cdots \times b</math>.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}} |
||
Sebagai limitasi <math>b</math>, grafik akan turun bila <math>0 < b < 1</math> dan akan menaik bila <math>b > 1</math>, dengan masing-masing menyatakan bahwa grafik akan mengalami peluruhan dan pertumbuhan.<ref>{{Cite web|title=Graphs of Exponential and Logarithmic Functions|url=https://courses.lumenlearning.com/boundless-algebra/chapter/graphs-of-exponential-and-logarithmic-functions/|website=Lumen, Boundless Algebra}}</ref> Mengenai [[Akar ke-n|akar]], akan tetap dimasukkan ke dalam halaman ini (karena merupakan bentuk pecahan eksponen). |
Sebagai limitasi <math>b</math>, grafik akan turun bila <math>0 < b < 1</math> dan akan menaik bila <math>b > 1</math>, dengan masing-masing menyatakan bahwa grafik akan mengalami peluruhan dan pertumbuhan.<ref>{{Cite web|title=Graphs of Exponential and Logarithmic Functions|url=https://courses.lumenlearning.com/boundless-algebra/chapter/graphs-of-exponential-and-logarithmic-functions/|website=Lumen, Boundless Algebra}}</ref> Mengenai [[Akar ke-n|akar]] atau '''daftar identitas akar''', akan tetap dimasukkan ke dalam halaman ini (karena merupakan bentuk pecahan eksponen). |
||
Meskipun eksponensiasi invers dengan logaritma, namun keduanya memiliki sifat yang interdependensi dengan satu sama lain. Berikut adalah '''daftar identitas eksponen''' atau |
Meskipun eksponensiasi invers dengan logaritma, namun keduanya memiliki sifat yang interdependensi dengan satu sama lain. Berikut adalah '''daftar identitas eksponen''' atau '''daftar identitas eksponensiasi''', di antaranya sebagai berikut. |
||
== Sifat dasar == |
== Sifat dasar == |
||
Baris 29: | Baris 29: | ||
* <math>(b+c)^n = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} b^{n-k} c^k</math><ref>{{Cite web|title=Binomial Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|website=Wolfram MathWorld}}</ref>{{Refn|Pada penambahan dan pengurangan basis dalam pemangkatan disebut sebagai teorema binomial.|group=nb}} |
* <math>(b+c)^n = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} b^{n-k} c^k</math><ref>{{Cite web|title=Binomial Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|website=Wolfram MathWorld}}</ref>{{Refn|Pada penambahan dan pengurangan basis dalam pemangkatan disebut sebagai teorema binomial.|group=nb}} |
||
* <math>(b-c)^n = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} b^{n-k} (-c)^k</math> |
* <math>(b-c)^n = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} b^{n-k} (-c)^k</math> |
||
Baris 53: | Baris 52: | ||
== Invers == |
== Invers == |
||
Eksponen memiliki invers yang disebut logaritma, dimana logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.<ref name=":0">Entis Sutisna, S.Pd, [https://sman3simpanghilir.sch.id/download/file/X_Matematika_Peminatan_KD_3_1_Fungsi_Eksponen_dan_Fungsi_Logaritma_.pdf Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X], hlm. 29.</ref> Kita |
Eksponen memiliki invers yang disebut logaritma, dimana logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.<ref name=":0">Entis Sutisna, S.Pd, [https://sman3simpanghilir.sch.id/download/file/X_Matematika_Peminatan_KD_3_1_Fungsi_Eksponen_dan_Fungsi_Logaritma_.pdf Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211021114551/https://sman3simpanghilir.sch.id/download/file/X_Matematika_Peminatan_KD_3_1_Fungsi_Eksponen_dan_Fungsi_Logaritma_.pdf |date=2021-10-21 }}, hlm. 29.</ref> Kita tuliskan secara matematis, yaitu: |
||
{{Equation box 1|border|indent=:|title=|equation=<math>b^x = c \iff ^b\!\log c = x</math>.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}} |
{{Equation box 1|border|indent=:|title=|equation=<math>b^x = c \iff ^b\!\log c = x</math>.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}} |
||
Berikut adalah identitas eksponen yang berkaitan dengan logaritma. |
|||
* <math>^a\!\log b^x = x \, ^a\!\log b</math> |
|||
* <math>b^{^b\!\log x} = x</math> |
|||
== Identitas dalam kalkulus == |
== Identitas dalam kalkulus == |
||
Baris 71: | Baris 75: | ||
* <math>b^x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln b)^n}{n!}x^n</math> dalam ekspansi deret Taylor. |
* <math>b^x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln b)^n}{n!}x^n</math> dalam ekspansi deret Taylor. |
||
*<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots</math> |
|||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
Baris 80: | Baris 85: | ||
== Rujukan == |
== Rujukan == |
||
<references /> |
<references />{{Identitas matematika}} |
||
[[Kategori:Eksponensial]] |
|||
[[Kategori:Identitas matematika]] |
Revisi terkini sejak 29 Agustus 2023 16.19
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Exponential.svg/440px-Exponential.svg.png)
Identitas eksponen atau eksponensiasi adalah sifat-sifat metode efisien untuk mengkomputasi berbagai bentuk yang elusif. Mengingat kembali bahwa eksponen adalah perkalian berulang pada basis, atau darab basis dikali sebanyak [1], maka secara matematis dirumuskan sebagai
.
Sebagai limitasi , grafik akan turun bila dan akan menaik bila , dengan masing-masing menyatakan bahwa grafik akan mengalami peluruhan dan pertumbuhan.[2] Mengenai akar atau daftar identitas akar, akan tetap dimasukkan ke dalam halaman ini (karena merupakan bentuk pecahan eksponen).
Meskipun eksponensiasi invers dengan logaritma, namun keduanya memiliki sifat yang interdependensi dengan satu sama lain. Berikut adalah daftar identitas eksponen atau daftar identitas eksponensiasi, di antaranya sebagai berikut.
Sifat dasar
[sunting | sunting sumber]Sifat yang paling dasar mengenai sifat eksponen adalah ketika dipangkatkan dengan , maka kita memperoleh nilai sebesar 1. Untuk setiap bilangan yang dipangkatkan akan bernilai 1, dengan eksepsi bilangan tersebut tidak boleh sama dengan 0, yang akan mengakibatkan nilai menjadi tak tentu atau berupa bentuk tak tentu[3][nb 1] bila bilangan tersebut 0.
- , dimana .[4]
Sebagai permisalan dan umpamanya, kita tinjau . Maka nilainya bernilai .
Sifat dasar lainnya, yakni dimana pangkat bernilai negatif. Pemangkatan negatif pada sebuah basis akan sama halnya dengan basis berbentuk pecahan. Dengan kata lain, basisnya akan terletak di penyebut tersebut. Secara matematis, dapat ditulis
- , asalkan .[5]
Operasi dalam basis
[sunting | sunting sumber]Perkalian dan pembagian
[sunting | sunting sumber]Penambahan dan pengurangan
[sunting | sunting sumber]Untuk membuktikan pengurangan basis, cukup andaikan dan terapkan ke penambahan basis.
Operasi dalam pemangkatan
[sunting | sunting sumber]Perkalian dan pembagian
[sunting | sunting sumber]Penambahan dan pengurangan
[sunting | sunting sumber]Fungsi eksponensial
[sunting | sunting sumber]Fungsi eksponensial, dinotasikan adalah fungsi eksponensiasi dengan , konstanta Euler adalah basis eksponensiasi. Sifat-sifatnya mirip dengan sifat di atas.
Invers
[sunting | sunting sumber]Eksponen memiliki invers yang disebut logaritma, dimana logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.[7] Kita tuliskan secara matematis, yaitu:
.
Berikut adalah identitas eksponen yang berkaitan dengan logaritma.
Identitas dalam kalkulus
[sunting | sunting sumber]Turunan
[sunting | sunting sumber]Integral
[sunting | sunting sumber]Deret
[sunting | sunting sumber]- dalam ekspansi deret Taylor.
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ A fortiori, lihat Nol pangkat nol sebagai bacaan adisional.
- ^ Pada penambahan dan pengurangan basis dalam pemangkatan disebut sebagai teorema binomial.
Rujukan
[sunting | sunting sumber]- ^ Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. Diakses tanggal Agustus 27, 2020.
- ^ "Graphs of Exponential and Logarithmic Functions". Lumen, Boundless Algebra.
- ^ Huber, V.Frederick; Rickey. "What is 0^0?". www.maa.org.
- ^ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (edisi ke-3rd). Industrial Press. hlm. 101. ISBN 978-0-8311-3086-2.
- ^ "Negative Exponents". Varsity Tutors.
- ^ "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld.
- ^ Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X Diarsipkan 2021-10-21 di Wayback Machine., hlm. 29.