Matriks normal

Dalam matematika, suatu matriks persegi $\mathbf {A}$ dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat $\mathbf {A} ^{*}$; secara matematis dinyatakan sebagai $\mathbf {AA} ^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A}$. Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan $\mathbf {A}$ adalah matriks kompleks berukuran $n\times n$, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

1. $\mathbf {A}$ adalah matriks normal.
2. $\mathbf {A}$ dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
3. Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari $\mathbf {A}$ yang membangun basis ortonormal bagi $\mathbb {C} ^{n}$.
4. $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ untuk sembarang x.
5. Norma Frobenius dari $\mathbf {A}$ dapat dihitung dari nilai-nilai eigen $\mathbf {A}$, yakni ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$.
6. Bagian Hermite ${\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*})$ dan bagian skew-Hermitian ${\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{*})$ dari $\mathbf {A}$ saling komutatif.
7. $\mathbf {A} ^{*}$ suatu polinomial (dengan derajat maksimum $n-1$) dalam $\mathbf {A}$.
8. $\mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU}$ untuk suatu matriks uniter $\mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU}$.
9. $\mathbf {U}$ dan $\mathbf {P}$ saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub $\mathbf {A} =\mathbf {UP}$ dengan suatu matriks uniter $\mathbf {U}$ dan suatu matriks semidefinit positif $\mathbf {P}$.
10. $\mathbf {A}$ saling komutatif dengan suatu matriks normal $\mathbf {N}$ yang nilai-nilai eigennya yang unik.
11. $\sigma _{i}=|\lambda _{i}|$ untuk semua $1\leq i\leq n$, dengan $\sigma _{1}\geq \dots \geq \sigma _{n}$ dan $|\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|$ masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari $\mathbf {A}$.

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

$A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}$

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

$AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$

Sumber

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 .
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.