Integral Gauss

Grafik dari fungsi f(x) = e^−x2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu x (yakni, di sepanjang garis), sama dengan $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$.

Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, merupakan integral dari fungsi Gauss e^−x2 di sepanjang garis real. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss, yang dirumuskan sebagai

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan integral yang tepat pada tahun 1809. Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi dari distribusi normal. Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi galat dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal. Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika (khususnya mekanika kuantum).

Cara menghitung

Menggunakan koordinat polar

Cara standar untuk menghitung integral Gauss adalah dengan menggunakan koordinat polar.

$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.$

Tinjau fungsi $e^{-(x^{2}+y^{2}}=e^{-r^{2}}$ di bidang $\mathbb {R} ^{2}$, dan kemudian hitung integral melalui dua cara berikut:

1. Cara yang pertama adalah menggunakan integral lipat dalam sistem koordinat Kartesius, yakni integralnya dikuadratkan:

   $\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$

2. Cara yang kedua adalah dengan menggunakan integral kulit tabung (kasus integrasi ganda dalam sistem koordinat polar), yang memberikan hasil integral sama dengan π.

Kedua perhitungan di atas memperoleh integral, walaupun perhitungan ini melibatkan integral takwajar:

${\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y)&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\&=\pi ,\end{aligned}}$

dengan faktor r merupakan determinan Jacobi yang muncul karena transformasi ke koordinat polar, dan juga karena melibatkan pengambilan s = −r², sehingga ds = −2r dr. Dengan menggabungkannya, akan menghasilkan

$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi .$

Jadi ketika kedua ruas diakarkuadratkan akan menghasilkan

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Kaitannya dengan fungsi gamma

Integran ini merupakan fungsi genap

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx,$

Jadi, setelah variabel $x$ diubah menjadi ${\sqrt {t}}$, maka integral di atas berubah menjadi integral Euler

$2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

dengan ${\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$ adalah fungsi gamma. Hal ini memperlihatkan mengapa faktorial dari setengah bilangan bulat adalah kelipatan rasional dari ${\sqrt {\pi }}$. Secara lebih umum,

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},$

yang dapat diperoleh dengan mengubah $t=ax^{b}$ di integan fungsi gamma agar memperoleh ${\textstyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx}$ .

Perumuman

Integral dari fungsi Gauss

Artikel utama: Integral dari fungsi Gauss

Integral dari fungsi Gauss adalah

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$

Integral di atas mempunyai bentuk alternatif, yaitu

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.$

Bentuk tersebut berguna untuk menghitung perkiraan dari setiap distribusi probabilitas kontinu yang terkait dengan distribusi normal. Contohnya seperti distribusi log-normal.

Perumuman fungsional dan dimensi-n

Artikel utama: Distribusi normal multivariabel

Misalkan $A$ adalah matriks presisi n × n definit positif simetri yang merupakan invers dari matriks peragam. Maka,

$\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}$

dengan integral dipahami di $\mathbb {R} ^{n}$. Rumus di atas berlaku dalam studi tentang distribusi normal multivariat. Selain itu, terdapat integral dengan bentuk

$\int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}$

dengan $\sigma$ adalah permutasi dari $\{1,\dots ,2N\}$ dan faktor tambahan di ruas kanan merupakan jumlah dari semua pasangan kombinatorial $\{1,\dots ,2N\}$ untuk $N$ salinan dari $A^{-1}$. Di sisi lain,

$\int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}$

untuk setiap fungsi analitik $f$, asalkan memenuhi beberapa batasan yang sesuai pada pertumbuhannya dan beberapa kriteria teknis lainnya. Ini bekerja untuk setiap fungsi dan gagal untuk fungsi yang lain. Polinomial juga bekerja untuk hal tersebut. Eksponensial atas operator diferensial dipahami sebagai deret pangkat.

Perumuman dimensi-n dengan bentuk linear

Jika A lagi-lagi merupakan matriks definit-positif simetri, maka (asumsi bahwa semuanya adalah vektor kolom)

$\int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.$

Integral dengan bentuk yang serupa

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}$

dengan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $!!$ menyatakan faktorial ganda. Cara mudah untuk menurunkannya adalah dengan mendiferensialkannya terhadap simbol integral.

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}$

Cara lain untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan relasi pengulangan agar memperoleh solusinya.

Polinomial tingkat tinggi

Menerapkan perubahan basis linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada n variabel hanya dapat bergantung pada invarian-SL(n) dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan, akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.

Lihat pula

• Daftar integral dari fungsi Gauss
• Integral yang umum dalam teori medan kuantum
• Distribusi normal
• Daftar integral dari fungsi eksponensial
• Fungsi galat
• Integral Berezin

Daftar pustaka

• (Inggris) Weisstein, Eric W. Integral.html "Gaussian Integral". MathWorld. 
• Griffiths, David. Pengantar Mekanika Kuantum (edisi ke-2nd). 
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. Buku Pegangan Fungsi Matematika. New York: Dover Publications.