Pangkat dua: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 8 Januari 2024 16.27

Pangkat dua atau bilangan kuadrat (bahasa Inggris: square) dalam matematika adalah hasil perkalian antara suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya operasi ini sama dengan memangkatkan dengan bilangan 2, dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi superskrip. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3², yang sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada bahasa pemrograman atau teks biasa, notasi x^2 atau x**2 dapat digunakan untuk menggantikan x².

Hasil pangkat dua suatu bilangan bulat dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam aljabar, operasi pengkuadratan banyak diperumum ke polinomial, ekspresi lain, atau bentuk-bentuk dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari fungsi linear $x + 1$ adalah polinomial kuadrat $x 2 + 2 x + 1$ .

Salah satu sifat penting dari kuadrat, pada semua bilangan maupun pada banyak sistem matematika lainnya, adalah bahwa untuk setiap $x$ (dapat berupa bilangan atau objek matematika lainnya), pangkat dua dari $x$ memiliki hasil yang sama dengan pangkat dua dari invers aditifnya, $- x$ . Dengan kata lain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan $x 2 = (- x) 2$ . Hal ini mengartikan fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi genap.

Dalam sistem bilangan bulat

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat lainnya. Sebagai contoh, 9 adalah kuadrat sempurna karena bernilai sama dengan $3^{2}$ , dan dapat ditulis sebagai $3\times 3$ . Pada sistem bilangan real, definisi lain untuk kuadrat sempurna adalah bilangan yang akar kuadratnya merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh, 9 adalah bilangan kuadrat karena ${\sqrt {9}}=3$ merupakan bilangan bulat.

Bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi berupa bilangan kuadrat selain 1, disebut sebagai bilangan bebas kuadrat.

Sifat

Bilangan $m$ adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika $m$ titik dapat disusun sebagai sebuah persegi seperti berikut:

$m = 1 2 = 1$
$m = 2 2 = 4$
$m = 3 2 = 9$
$m = 4 2 = 16$
$m = 5 2 = 25$

Bentuk untuk bilangan kuadrat ke- $n$ adalah $n^{2}$ . Bentuk ini sama dengan jumlah $n$ bilangan ganjil (positif) pertama. Seperti pada gambar di atas, bilangan kuadrat baru dapat dihasilkan dari bilangan kuadrat dengan menambahkan sejumlah ganjil titik baru (ditandai dengan warna ungu). Secara matematis, visualisasi tersebut menunjukkan hubungan $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$ Sebagai contoh, $52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Fakta $n^{2}$ adalah bilangan kuadrat ke- $n$ juga menyimpulkan bahwa terdapat $\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ bilangan kuadrat sempurna diantara 1 sampai (dan termasuk) $m$ , dengan notasi $\lfloor x\rfloor$ menyatakan fungsi lantai dari $x$ . Sifat lain dari bilangan kuadrat sempurna (selain 0) adalah mereka memiliki pembagi positif dengan jumlah yang ganjil, sedangkan bilangan bulat lainnya memiliki jumlah yang genap.

Teorema empat-kuadrat Lagrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari empat (atau kurang) bilangan kuadrat sempurna. Jumlah dari tiga kuadrat sempurna tidak dapat menghasilkan bilangan berbentuk $4 k (8 m + 7)$ .^[1] Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua kuadrat sempurna ketika faktorisasi primanya tidak mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima berbentuk $4 k + 3$ .^[2] Hubungan ini dapat diperumum menjadi masalah Waring.

Secara umum, jika bilangan prima $p$ membagi suatu kuadrat sempurna $m$ , maka kuadrat dari $p$ juga membagi $m$ . Dalam bentuk lain, jika $p$ tidak dapat membagi $m p$ , maka $m$ pasti bukan bilangan kuadrat sempurna. Dengan menggunakan sifat pembagian ini secara berulang, dapat disimpulkan setiap bilangan prima akan membagi suatu kuadrat sempurna dengan sebanyak genap kali (termasuk sebanyak 0 kali). Akibatnya, bilangan $m$ adalah kuadrat sempurna jika dan hanya jika semua ekponen pada representasi kanoniknya merupakan bilangan genap.

Uji kekuadratan dapat digunakan sebagai cara alternatif faktorisasi bilangan berukuran besar. Daripada menguji keterbagian, uji sifat kekuadratan bilangan: untuk suatu $m$ dan bilangan $k$ , jika $k 2 - m$ adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat $n$ maka $k - n$ membagi $m$ . Sebagai contoh, $1002 - 9991$ adalah kuadrat dari 3, akibatnya $100 - 3$ membagi 9991. Uji ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil yang berada di selang $k - n$ sampai $k + n$ , dengan $k$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $k\geq {\sqrt {m}}.$

Bilangan kuadrat sempurna tidak dapat berupa bilangan sempurna.

Jumlah dari $n$ kuadrat sempurna pertama memenuhi hubungan $\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.$ Bilangan-bilangan ini disebut bilangan piramida persegi (barisan A000330 pada OEIS), dengan beberapa nilai pertamanya adalah:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Jumlah dari $n$ bilangan kubik pertama sama dengan kuadrat dari jumlah $n$ bilangan positif pertama. Hubungan ini dikenal dengan teorema Nicomachu.

Dalam teori bilangan dan aljabar abstrak

Konsep pengkuadratan berperan penting dalam lapangan hingga $\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ , yang dibentuk dari bilangan-bilangan bulat modulo bilangan prima ganjil $p$ . Elemen tak-nol dari lapangan ini disebut residu kuadratik jika ia merupakan kuadrat di $\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ , dan selain itu disebut nonresidu kuadratik. Nol, walau merupakan kuadrat, tidak dianggap sebagai residu kuadratik. Setiap lapangan hingga jenis ini memiliki tepat $(p-1)/2$ residu kuadratik dan tepat $(p-1)/2$ nonresidu kuadratik. Residu-residu kuadratik membentuk sebuah grup terhadap perkalian. Sifat-sifat dari residu kuadrat banyak digunakan dalam teori bilangan.

Fungsi kuadrat terdefinisi di sembarang lapangan maupun gelanggang. Elemen dari hasil pemetaan dari fungsi ini disebut kuadrat, sedangkan elemen invers pemetaannya disebut akar kuadrat. Lebih umum, fungsi kuadrat pada gelanggang yang berbeda dapat memiliki sifat-sifat yang berbeda, yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan gelanggang.

Elemen nol mungkin merupakan kuadrat dari suatu elemen tak-nol. Gelanggang komutatif yang setiap kuadrat elemen tak-nolnya tidak bernilai nol, disebut dengan gelanggang tereduksi. Secara umum, ideal radikal adalah ideal $I$ yang memenuhi sifat: $x^{2}\in I$ mengakibatkan $x\in I$ .

Elemen gelanggang yang bernilai sama dengan kuadratnya sendiri disebut idempoten. Pada sembarang gelanggang, 0 dan 1 bersifat idempoten. Selain dua elemen tersebut, tidak ada idempoten lain pada lapangan (dan secara umum pada domain integral). Tapi, pada gelanggang dari bilangan-bilangan bulat modulo $n$ akan terdapat sebanyak $2^{k}$ idempoten, dengan $k$ adalah banyaknya faktor prima unik dari $n$ . Gelanggang komutatif yang setiap elemennya sama dengan kuadratnya disebut dengan gelanggang Boolean.

Pada gelanggang terurut total, berlaku $x 2 \geq 0$ untuk sembarang $x$ . Lebih lanjut $x 2 = 0$ berlaku jika dan hanya jika $x = 0$ .

Dalam sistem bilangan real

Kurva fungsi kuadrat $y = x 2$ mempunyai bentuk parabola. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu hukum kuadrat.

Pada bilangan real, fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai pemetaan dari himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real nonnegatif. Fungsi kuadrat melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu fungsi monotonik pada interval $[0, +\infty)$ . Sedangkan pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval $(-\infty,0]$ . Kedua hal tersebut mengartikan bilangan nol merupakan nilai minimum global dari fungsi kuadrat. Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan suatu bilangan $x$ menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari $x$ , yaitu ketika $0 < x < 1$ . Kasus ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu bilangan bulat tidak pernah bernilai lebih kecil daripada bilangan bulat tersebut.

Setiap bilangan real positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan nol hanya merupakan kuadrat dari satu bilangan saja, yakni nol itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi akar kuadrat, yang memadankan bilangan real non-negatif $y$ dengan bilangan nonnegatif $x$ yang kuadratnya sama dengan $y$ .

Bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat dalam sistem bilangan real, karena sifat kuadrat dari sembarang bilangan real bernilai nonnegatif. Ketidakadaan akar kuadrat untuk bilangan negatif dapat digunakan untuk memperumum sistem bilangan real menjadi sistem bilangan kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan suatu unit imajiner $i$ , yang nilainya sama dengan akar kuadrat dari - 1. Sifat kuadrat pada sistem bilangan real juga dapat diperumum ke konsep lapangan real tertutup, yakni lapangan terurut yang setiap elemen nonnegatifnya merupakan kuadrat dan setiap polinomial berderajat ganjil memiliki sebuah akar. Lapangan real tertutup tidak dapat dibedakan dari sistem bilangan real hanya dari sifat-sifat aljabar mereka. Hal ini mengartikan setiap sifat sistem bilangan real yang dapat dinyatakan lewat logika tingkat-pertama juga berlaku bagi sembarang lapangan real tertutup, dan sebaliknya.

Dalam sistem bilangan kompleks

Kuadrat dari nilai absolut suatu bilangan kompleks disebut dengan kuadrat absolut atau modulus kuadrat.^[3]^{[butuh sumber yang lebih baik]} Kuadrat ini dihasilkan dari perkalian bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya, dan nilainya sama dengan jumlah dari kuadrat bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut. Kuadrat absolut dari sembarang bilangan kompleks selalu bernilai nonnegatif, dan bernilai 0 hanya ketika bilangan kompleksnya adalah 0. Fungsi ini lebih mudah dihitung ketimbang mencari nilai absolut (tidak menggunakan fungsi akar kuadrat) dan merupakan fungsi mulus bernilai real. Karena dua sifat ini, fungsi kuadrat absolut cenderung digunakan ketimbang fungsi nilai absolut, dalam komputasi numerik dan ketika metode-metode analisis matematika digunakan (misalnya terkait optimisasi dan integrasi).

Dalam geometri

Terdapat beberapa penggunaan fungsi kuadrat yang umum dalam geometri. Dalam pendefinisian luas misalnya, luas dari persegi dengan sisi sepanjang $l$ adalah $l 2$ . Luas daerah ini bergantung kuadratik dengan panjang sisi: persegi dengan sisi $n$ kali lebih panjang memiliki luas $n 2$ kali lebih besar. Sifat ini juga berlaku pada luas di dimensi tiga; sebagai contoh, luas permukaan bola sebanding dengan kuadrat panjang radiur bola tersebut. Pada dunia nyata, sifat ini terlihat dalam hukum kuadrat-terbalik yang menjelaskan kekuatan besaran-besaran fisika (kekuatan gravitasi, gaya elektrostatik, intensitas suara) berubah bergantung jarak dari pemancarnya.

Fungsi kuadrat memiliki hubungan dengan besaran jarak lewat teorema Pythagoras dan perumumannya, hukum jajaran genjang.

Hasil kali titik dari sembarang vektor Euklides dengan dirinya sendiri, akan sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut: $\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}$ . Sifat ini selanjutnya dapat diperumum ke bentuk kuadratik dalam ruang vektor dengan menggunakan bantuan hasil kali dalam. Secara fisik, sifat ini menunjukkan hubungan antara momen inersia dengan jarak (ukuran) benda.

Terdapat tak hingga banyaknya tripel Pythagoras, yakni pasangan tiga bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah dari kuadrat dua bilangan yang lain. Setiap tripel ini menghasilkan segitiga siku-siku yang panjang setiap sisinya berupa bilangan bulat.

Penggunaan lainnya

Konsep pengkuadratan berperan penting dalam aljabar maupun hampir di semua bidang matematika lainnya, juga dalam fisika. Bilangan kuadrat dapat diperumum ke beberapa sistem bilangan lainnya. Pada sistem bilangan rasional, bilangan kuadrat dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dari dua bilangan bulat kuadrat; sebagai contoh, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ .

Dalam analisis regresi, metode kuadrat terkecil umum dipakai dalam sistem overdetermined (sistem yang memiliki lebih banyak persamaan ketimbang variabel).

Pengkuadratan juga digunakan dalam statistika dan teori probabilitas dalam menentukan simpangan baku dari suatu himpunan nilai atau suatu variabel acak. Penyimpangan setiap nilai $x i$ dari rerata himpunan ${\overline {x}}$ didefinisikan sebagai deviasi $x_{i}-{\overline {x}}$ . Varians himpunan didefinisikan sebagai rerata dari hasil pengkuadratan setiap deviasi. Sedangkan akar kuadrat dari varians disebut simpangan baku.

Lihat pula

Persamaan kuadrat
Pangkat tiga
Eksponensiasi dengan kuadrat
Polinomial SOS, representasi dari sebuah polinomial tak negatif sebagai penjumlahan kuadrat polinomial
Masalah ketujuhbelas Hilbert, untuk representasi polinomial positif sebagai sebuah penjumlahan kuadrat fungsi rasional
Polinomial bebas-persegi
Tensor metrik
Gelanggang polinomial

Identitas terkait

Aljabar (membutuhkan suatu gelanggang komutatif)

Selisih dua kuadrat
Identitas Brahmagupta–Fibonacci, berkaitan dengan bilangan kompleks dalam arti yang dibahas di atas
Identitas Euler empat kuadrat, berkaitan dengan kuaternion dengan cara yang sama
Identitas Degen delapan kuadrat, berkaitan dengan oktonion dengan cara yang sama
Identitas Lagrange

Lain-lain

Kuantitas fisik terkait

Percepatan, panjang per kuadrat waktu
Penampang lintang (fisika), suatu kuantitas berdimensi area
Konstanta kopling (mempunyai muatan kuadrat pada penyebut, dan dapat diekspresikan dengan jarak kuadrat pada numerator)
Energi kinetik (ketergantungan kuadrat pada kecepatan)
Energi spesifik, sebuah kuantitas berdimensi (kecepatan kuadrat)

Referensi

^ Garge, Anuradha S. (Desember 2012). Shirali, Shailesh; Titus, Sneha, ed. At Right Angles (PDF). 1. Azim Premji University, Community Mathematics Centre, Rishi Valley. hlm. 5–9.
^ Dudley, Underwood (1969). "Sums of Two Squares". Elementary Number Theory. W.H. Freeman and Company. hlm. 135–139.
^ Weisstein, Eric W. "Absolute Square". mathworld.wolfram.com.

Pustaka tambahan

Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

[1] Garge, Anuradha S. (Desember 2012). Shirali, Shailesh; Titus, Sneha, ed. At Right Angles (PDF). 1. Azim Premji University, Community Mathematics Centre, Rishi Valley. hlm. 5–9.

[2] Dudley, Underwood (1969). "Sums of Two Squares". Elementary Number Theory. W.H. Freeman and Company. hlm. 135–139.

[3] Weisstein, Eric W. "Absolute Square". mathworld.wolfram.com.

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 {{redirect3|²|Merupakan bilangan "[[2 (angka)|2]]" [[superskrip]]}}
-[[Image:Five Squared.svg|thumb|right|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths
--->|{{math|5&sdot;5}}, atau {{math|5<sup>2</sup>}} (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu [[bujursangkar]]. Setiap blok mewakili satu unit, {{math|1&sdot;1}}, dan seluruh bujursangkar mewakili {{math|5&sdot;5}}, atau luas bujursangkar.]]
-'''Pangkat dua''' atau '''bilangan kuadrat''' ({{lang-en|square}}) dalam [[matematika]] adalah hasil [[perkalian]] antara suatu [[bilangan]] dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya sama engan [[eksponen|memangkatkan]] dengan bilangan &nbsp;[[2 (angka)|2]], dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi [[superskrip]]. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3<sup>2</sup>, yaitu sama dengan bilangan 9.
-Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada dokumen [[bahasa pemrograman]] atau [[teks biasa]], notasi <kbd>''x''^2</kbd> atau <kbd>''x''**2</kbd> dapat digunakan untuk menggantikan <kbd>''x''<sup>2</sup></kbd>.
+[[Berkas:Five_Squared.svg|ka|jmpl|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths
-Hasil pangkat dua suatu [[integer]] dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam [[aljabar]], operasi pengkuadratan seringkali digeneralisasi ke [[polinomial]], [[ekspresi (matematika)|ekspresi]] lain, atau nilai-nilai dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari [[fungsi linear]] {{math|''x'' + 1}} adalah [[fungsi kuadrat|polinomial kuadrat]] {{math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}}.
+-->|{{math|5⋅5}}, atau {{math|5<sup>2</sup>}} (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu [[bujursangkar]]. Setiap blok mewakili satu unit, {{math|1⋅1}}, dan seluruh bujursangkar mewakili {{math|5⋅5}}, atau luas bujursangkar.]]
+'''Pangkat dua''' atau '''bilangan kuadrat''' ({{lang-en|square}}) dalam [[matematika]] adalah hasil [[perkalian]] antara suatu [[bilangan]] dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya operasi ini sama dengan [[Eksponen|memangkatkan]] dengan bilangan&nbsp;[[2 (angka)|2]], dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi [[superskrip]]. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3<sup>2</sup>, yang sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada [[bahasa pemrograman]] atau [[teks biasa]], notasi <kbd>''x''^2</kbd> atau <kbd>''x''**2</kbd> dapat digunakan untuk menggantikan <kbd>''x''<sup>2</sup></kbd>.
-Salah satu sifat penting dari kuadrat, bagi semua bilangan maupun sistem matematika, adalah bahwa untuk setiap bilangan atau variabel {{mvar|x}}), pangkat dua dari {{mvar|x}} adalah sama hasilnya dengan pangkat dua [[invers aditif]]nya {{math|&minus;''x''}}. Jadi fungsi kuadrat memenuhi persamaan {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}. Karenanya fungsi kuadrat merupakan suatu [[fungsi genap]].
+Hasil pangkat dua suatu [[bilangan bulat]] dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam [[aljabar]], operasi pengkuadratan banyak diperumum ke [[polinomial]], [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] lain, atau bentuk-bentuk dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari [[fungsi linear]] {{math|''x'' + 1}} adalah [[Fungsi kuadrat|polinomial kuadrat]] {{math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}}.
+Salah satu sifat penting dari kuadrat, pada semua bilangan maupun pada banyak sistem matematika lainnya, adalah bahwa untuk setiap {{mvar|x}} (dapat berupa bilangan atau objek matematika lainnya), pangkat dua dari {{mvar|x}} memiliki hasil yang sama dengan pangkat dua dari [[Invers aditif|invers aditifnya]], {{math|−''x''}}. Dengan kata lain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}. Hal ini mengartikan fungsi kuadrat merupakan suatu [[fungsi genap]].
-== Dalam bilangan real ==
-[[Image:Parabola2.svg|thumb|240px|{{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}}. Kurva [[fungsi kuadrat]] mempunyai bentuk [[parabola]]. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu [[hukum kuadrat]].]]
-[[Fungsi kuadrat]] melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu [[fungsi monotonik]] pada [[interval (matematika)|interval]] {{tutup-buka|0, +∞}}. Pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval {{buka-tutup|−∞,0}}. Jadi, bilangan [[nol]] merupakan nilai [[minimum]] global.
+== Dalam sistem bilangan bulat ==
-Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan&nbsp;{{math|''x''<sup>2</sup>}} suatu bilangan menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari {{mvar|x}}, yaitu ketika {{math|0 < ''x'' < 1}} atau dengan kata lain, ketika {{mvar|x}} termasuk ke dalam [[interval (matematika)|interval terbuka]] {{buka-buka|0,1}}. Ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu integer tidak pernah lebih kecil daripada bilangan asalnya.
+[[Berkas:The_sum_of_the_first_n_odd_integers_is_n²._1+3+5+...+(2n-1)=n²..gif|jmpl|Hasil penjumlahan ''n'' bilangan ganjil positif pertama adalah ''n''<sup>2</sup>. {{nowrap|1 + 3 + 5 + ... + (2''n'' − 1) {{=}} ''n''<sup>2</sup>}}. Visualisasi bukti secara 3D pada sebuah tetrahedron.]]
+Bilangan ''kuadrat sempurna'' adalah bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat lainnya. Sebagai contoh, 9 adalah kuadrat sempurna karena bernilai sama dengan <math>3^2</math>, dan dapat ditulis sebagai <math>3\times3</math>. Pada sistem bilangan real, definisi lain untuk kuadrat sempurna adalah bilangan yang akar kuadratnya merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh, 9 adalah bilangan kuadrat karena <math>\sqrt{9} = 3</math> merupakan bilangan bulat.
+Bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi berupa bilangan kuadrat selain 1, disebut sebagai bilangan ''bebas kuadrat''.
-Setiap [[bilangan real]] positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan [[nol]] hanya merupakan pangkat dua dari satu bilangan saja, yaitu bilangan itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi [[akar kuadrat]], yang dihubungkan dengan suatu bilangan real bukan negatif yang kuadratnya adalah bilangan asalnya.
-<!--
-No square root can be taken of a negative number within the system of [[real number]]s, because squares of all real numbers are [[non-negative]]. The lack of real square roots for the negative numbers can be used to expand the real number system to the [[complex number]]s, by postulating the [[imaginary unit]] {{mvar|i}}, which is one of the square roots of&nbsp;&minus;1.
+=== Sifat ===
-The property "every non negative real number is a square" has been generalized to the notion of a [[real closed field]], which is an [[ordered field]] such that every non negative element is a square. The real closed fields can not be distinguished from the field of real numbers by their algebraic properties: every property of the real numbers, which may be expressed in [[first-order logic]] (that is expressed by a formula in which the variables that are quantified by ∀ or ∃ represent elements, not sets), is true for every real closed field, and conversely every property of the first-order logic, which is true for a specific real closed field is also true for the real numbers.
+Bilangan <math>m</math> adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika <math>m</math> titik dapat disusun sebagai sebuah persegi seperti berikut:
+{| cellpadding="8"
+|{{bigmath|1=''m'' = 1<sup>2</sup> = 1}}
+|[[Berkas:Square_number_1.png]]
+|-
+|{{bigmath|1=''m'' = 2<sup>2</sup> = 4}}
+|[[Berkas:Square_number_4.png]]
+|-
+|{{bigmath|1=''m'' = 3<sup>2</sup> = 9}}
+|[[Berkas:Square_number_9.png]]
+|-
+|{{bigmath|1=''m'' = 4<sup>2</sup> = 16}}
+|[[Berkas:Square_number_16.png]]
+|-
+|{{bigmath|1=''m'' = 5<sup>2</sup> = 25}}
+|[[Berkas:Square_number_25.png]]
+|}
+Bentuk untuk bilangan kuadrat ke-<math>n</math> adalah <math>n^2</math>. Bentuk ini sama dengan jumlah <math>n</math> bilangan ganjil (positif) pertama. Seperti pada gambar di atas, bilangan kuadrat baru dapat dihasilkan dari bilangan kuadrat  dengan menambahkan sejumlah ganjil titik baru (ditandai dengan warna ungu). Secara matematis, visualisasi tersebut menunjukkan hubungan <math display="block">n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1).</math> Sebagai contoh, {{math|1=5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9}}. Fakta <math>n^2</math> adalah bilangan kuadrat ke-<math>n</math> juga menyimpulkan bahwa terdapat  <math>\lfloor \sqrt{n} \rfloor</math> bilangan kuadrat sempurna diantara 1 sampai (dan termasuk) <math>m</math>, dengan notasi <math>\lfloor x \rfloor</math> menyatakan [[Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil|fungsi lantai]] dari <math>x</math>.
+Sifat lain dari bilangan kuadrat sempurna (selain 0) adalah mereka memiliki pembagi positif dengan jumlah yang ganjil, sedangkan bilangan bulat lainnya memiliki jumlah yang genap.
+[[Teorema empat-kuadrat Lagrange]] menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari empat (atau kurang) bilangan kuadrat sempurna. Jumlah dari tiga kuadrat sempurna tidak dapat menghasilkan bilangan berbentuk {{math|4<sup>''k''</sup>(8''m'' + 7)}}.<ref>{{Cite book|last=Garge|first=Anuradha S.|date=Desember 2012|url=https://cdn.azimpremjiuniversity.edu.in/apuc3/media/publications/downloads/magazine/AtRiA_Vol-1_No.-2_Dec-2012_English_Decimal-Fraction_2023-03-29-105121_lmjw.pdf|title=At Right Angles|publisher=Azim Premji University, Community Mathematics Centre, Rishi Valley|editor-last=Shirali|editor-first=Shailesh|volume=1|pages=5-9|editor-last2=Titus|editor-first2=Sneha|url-status=live}}</ref> Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua kuadrat sempurna ketika [[Faktorisasi prima|faktorisasi primanya]] tidak mengandung pangkat ganjil dari [[bilangan prima]] berbentuk {{math|4''k'' + 3}}.<ref>{{cite book|last=Dudley|first=Underwood|year=1969|url=https://archive.org/details/ElementaryNumberTheory|title=Elementary Number Theory|publisher=W.H. Freeman and Company|pages=135–139|chapter=Sums of Two Squares|author-link=Underwood Dudley|chapter-url=https://archive.org/details/ElementaryNumberTheory/page/n145/mode/2up|url-status=dead}}</ref> Hubungan ini dapat diperumum menjadi [[masalah Waring]].
-== In geometry ==
-There are several major uses of the squaring function in geometry.
+Secara umum, jika bilangan prima <math>p</math> membagi suatu kuadrat sempurna <math>m</math>, maka kuadrat dari <math>p</math> juga membagi <math>m</math>. Dalam bentuk lain, jika {{mvar|p}} tidak dapat membagi {{math|{{sfrac|''m''|''p''}}}}, maka <math>m</math> pasti bukan bilangan kuadrat sempurna. Dengan menggunakan sifat pembagian ini secara berulang, dapat disimpulkan setiap bilangan prima akan membagi suatu kuadrat sempurna dengan sebanyak genap kali (termasuk sebanyak 0 kali). Akibatnya, bilangan <math>m</math> adalah kuadrat sempurna jika dan hanya jika semua ekponen pada [[Teorema dasar aritmetika#representasi kanonik|representasi kanoniknya]] merupakan bilangan genap.
-The name of the squaring function shows its importance in the definition of the [[area]]:  it comes from the fact that the area of a [[square]] with sides of length &nbsp;{{mvar|l}} is equal to {{math|''l''<sup>2</sup>}}. The area depends quadratically on the size: the area of a shape {{mvar|n}}&nbsp;times larger is {{math|''n''<sup>2</sup>}}&nbsp;times greater. This holds for areas in three dimensions as well as in the plane: for instance, the surface area of a [[sphere]] is proportional to the square of its radius, a fact that is manifested physically by the [[inverse-square law]] describing how the strength of physical forces such as gravity varies according to distance.
+Uji kekuadratan dapat digunakan sebagai cara alternatif [[faktorisasi]] bilangan berukuran besar. Daripada menguji keterbagian, uji sifat kekuadratan bilangan: untuk suatu {{mvar|m}} dan bilangan&nbsp;{{mvar|k}}, jika {{math|''k''<sup>2</sup> − ''m''}} adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat &nbsp;{{mvar|n}} maka {{math|''k'' − ''n''}} membagi {{mvar|m}}. Sebagai contoh, {{math|100<sup>2</sup> − 9991}} adalah kuadrat dari 3, akibatnya {{math|100 − 3}} membagi 9991. Uji ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil yang berada di [[Selang (matematika)|selang]] {{math|''k'' − ''n''}} sampai {{math|''k'' + ''n''}}, dengan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat yang memenuhi <math>k \geq \sqrt{m}.</math>
-{{anchor|r²}}[[Image:Zonenplatte Cosinus.png|thumb|right|Fresnel's [[zone plate]]s have rings with [[arithmetic progression|equally spaced]] squared distances to the center]]
-The squaring function is related to [[distance]] through the [[Pythagorean theorem]] and its generalization, the [[parallelogram law]]. [[Euclidean geometry|Euclidean]] distance is not a [[smooth function]]: the [[three-dimensional graph]] of distance from a fixed point forms a [[cone]], with a non-smooth point at the tip of the cone. However, the square of the distance (denoted {{math|''d''<sup>2</sup>}} or {{math|''r''<sup>2</sup>}}), which has a [[paraboloid]] as its graph, is a smooth and [[analytic function]]. The [[dot product]] of a [[Euclidean vector]] with itself is equal to the square of its length: {{math|1='''v'''&sdot;'''v''' = v<sup>2</sup>}}. This is further generalised to [[pangkat dua|bentuk kuadrat]]s in [[linear space]]s. The [[inertia tensor]] in [[mechanics]] is an example of suatu bentuk kuadrat. It demonstrates a quadratic relation of the [[moment of inertia]] to the size ([[length]]).
+Bilangan kuadrat sempurna tidak dapat berupa [[bilangan sempurna]].
-==In abstract algebra and number theory==
-The squaring function is defined in any [[field (mathematics)|field]] or [[ring (mathematics)|ring]]. An element in the image of this function is called a ''square'', and the inverse images of a square are called ''[[square root]]s''.
+Jumlah dari <math>n</math> kuadrat sempurna pertama memenuhi hubungan<math display="block">\sum_{n=0}^N n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + N^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.</math>Bilangan-bilangan ini disebut ''bilangan piramida persegi'' {{OEIS|id=A000330}}, dengan beberapa nilai pertamanya adalah:
-The notion of squaring is particularly important in the [[finite field]]s  '''Z'''/''p'''''Z''' formed by the numbers modulo an odd [[prime number]] {{mvar|p}}. A non-zero element of this field is called a [[quadratic residue]] if it is a square in '''Z'''/''p'''''Z''', and otherwise, it is called a quadratic non-residue. Zero, while a square, is not considered to be a quadratic residue. Every finite field of this type has exactly {{math|(''p'' − 1)/2}} quadratic residues and exactly {{math|(''p'' − 1)/2}} quadratic non-residues. The quadratic residues form a [[group (mathematics)|group]] under multiplication. The properties of quadratic residues are widely used in [[number theory]].
+<blockquote>0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...</blockquote>Jumlah dari <math>n</math> bilangan [[Pangkat tiga|kubik]] pertama sama dengan kuadrat dari jumlah <math>n</math> bilangan positif pertama. Hubungan ini dikenal dengan [[teorema Nicomachu]].
+== Dalam teori bilangan dan aljabar abstrak ==
-More generally, in rings, the squaring function may have different properties that are sometimes used to classify rings.
+{{See also|Residu kuadratik}}
+Konsep pengkuadratan berperan penting dalam [[Medan hingga|lapangan hingga]] <math>\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}</math>, yang dibentuk dari bilangan-bilangan bulat [[Operasi modulus|modulo]] [[bilangan prima]] ganjil <math>p</math>. Elemen tak-nol dari lapangan ini disebut ''[[residu kuadratik]]'' jika ia merupakan kuadrat di <math>\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}</math>, dan selain itu disebut ''nonresidu kuadratik''. Nol, walau merupakan kuadrat, tidak dianggap sebagai residu kuadratik. Setiap lapangan hingga jenis ini memiliki tepat <math>(p-1)/2</math> residu kuadratik dan tepat <math>(p-1)/2</math> nonresidu kuadratik. Residu-residu kuadratik membentuk sebuah [[Grup (matematika)|grup]] terhadap perkalian. Sifat-sifat dari residu kuadrat banyak digunakan dalam [[teori bilangan]].
-Zero may be the square of some non-zero elements. A [[commutative ring]] such that the square of a non zero element is never zero is called a [[reduced ring]]. More generally, in a commutative ring, a [[radical ideal]] is an ideal&nbsp;{{mvar|I}} such that <math>x^2 \in I</math> implies <math>x \in I</math>. Both notions are important in [[algebraic geometry]], because of [[Hilbert's Nullstellensatz]].
+Fungsi kuadrat terdefinisi di sembarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] maupun [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Elemen dari hasil pemetaan dari fungsi ini disebut ''kuadrat'', sedangkan elemen invers pemetaannya disebut [[Akar kuadrat|''akar kuadrat'']]. Lebih umum, fungsi kuadrat pada gelanggang yang berbeda dapat memiliki sifat-sifat yang berbeda, yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan gelanggang.
-An element of a ring that is equal to its own square is called an [[idempotent]]. In any ring, 0 and 1 are idempotents. {{anchor|integral domains}}There are no other idempotents in fields and more generally in [[integral domain]]s. However,
-the ring of the integers [[modular arithmetic|modulo]]&nbsp;{{mvar|n}} has [[power of two|{{math|2<sup>''k''</sup>}}]] idempotents, where {{mvar|k}} is the number of distinct [[integer factorization|prime factors]] of&nbsp;{{mvar|n}}.
-A commutative ring in which every element is equal to its square (every element is idempotent) is called a [[Boolean ring]]; an example from [[computer science]] is the ring whose elements are [[binary number]]s, with [[Bitwise operation|bitwise AND]] as the multiplication operation and bitwise XOR as the addition operation.
+Elemen nol mungkin merupakan kuadrat dari suatu elemen tak-nol. [[Gelanggang komutatif]] yang setiap kuadrat elemen tak-nolnya tidak bernilai nol, disebut dengan [[gelanggang tereduksi]]. Secara umum, [[ideal radikal]] adalah [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>I</math> yang memenuhi sifat: <math>x^2 \in I</math> mengakibatkan <math>x \in I</math>.
-In a [[supercommutative algebra]] ([[away from 2]]), the square of any ''odd'' element equals to zero.
+Elemen gelanggang yang bernilai sama dengan kuadratnya sendiri disebut [[idempoten]]. Pada sembarang gelanggang, 0 dan 1 bersifat idempoten. Selain dua elemen tersebut, tidak ada idempoten lain pada lapangan (dan secara umum pada [[Ranah integral|domain integral]]). Tapi, pada gelanggang dari bilangan-bilangan bulat modulo <math>n</math> akan terdapat sebanyak <math>2^k</math> idempoten, dengan <math>k</math> adalah banyaknya faktor prima unik dari <math>n</math>.  Gelanggang komutatif yang setiap elemennya sama dengan kuadratnya disebut dengan [[gelanggang Boolean]].
-==In complex numbers and related algebras over the reals==
-{{anchor|In complex analysis}}
-[[Image:Conformz2.jpg|thumb|right|256px|The [[function composition|composition]] of the tiling [[:Image:ConformId.jpg]] (understood as a function on the complex plane) with the complex square function]]
-{{see also|Exponentiation #Powers of complex numbers}}
-The [[complex numbers|complex]] square function&nbsp;{{math|''z''<sup>2</sup>}} is a twofold cover of the [[complex plane]], such that each non-zero complex number has exactly two square roots. This map is related to [[parabolic coordinates]].<!-- unfortunately, incompatible coefficients and orientation conventions hinder a simple explanation such as σ+iτ → (σ,τ)-parabolic -->
-<!--
-{{anchor|{{!}}z{{!}}²}}Another, more well known, function is the square of the [[absolute value]] {{math|1=&#124; ''z'' &#124;<sup>2</sup> = ''z'' [[complex conjugate|''{{overline|z}}'']]|class=nounderlines}}, which is real-valued. It is very important for [[quantum mechanics]]: see [[probability amplitude]] and [[Born rule]]. Complex numbers form one of [[Hurwitz's theorem (composition algebras)|four possible Euclidean Hurwitz algebras]] that are defined with a real quadratic form {{mvar|q}}; here {{math|1=''q''(''z'') = &#124; ''z'' &#124;<sup>2</sup>}}. In a Euclidean Hurwitz algebra this {{mvar|q}} equals to the square of the distance to 0 discussed [[#r²|above]], and the absolute value {{math|&#124; ''z'' &#124;}} can be defined as the (arithmetical) square root of {{math|''q''(''z'')}}. Multiplicativity of {{mvar|q}} in these algebras explains (or relies upon) certain algebraic identities (see [[#Related identities|below]]).
+Pada [[Gelanggang terurut|gelanggang terurut total]], berlaku {{math|''x''<sup>2</sup> ≥ 0}} untuk sembarang {{mvar|x}}. Lebih lanjut {{math|1=''x''<sup>2</sup> = 0}} berlaku jika dan hanya jika  {{math|1=''x'' = 0}}.
-== Other uses ==
-Squares are ubiquitous in algebra, more generally, in almost every branch of mathematics, and also in [[physics]] where many [[unit of measurement|units]] are defined using squares and [[multiplicative inverse|inverse]] squares: see [[#Related physical quantities|below]].
+== Dalam sistem bilangan real ==
-[[Least squares]] is the standard method used with [[overdetermined system]]s.
+[[Berkas:Parabola2.svg|jmpl|266x266px|Kurva [[fungsi kuadrat]] {{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}} mempunyai bentuk [[parabola]]. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu [[hukum kuadrat]].]]
+Pada [[Bilangan riil|bilangan real]], fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai [[Peta (matematika)|pemetaan]] dari himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real nonnegatif. Fungsi kuadrat melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu [[fungsi monotonik]] pada [[Interval (matematika)|interval]] {{tutup-buka|0, +∞}}. Sedangkan pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval {{buka-tutup|−∞,0}}. Kedua hal tersebut mengartikan bilangan [[nol]] merupakan nilai [[minimum]] global dari fungsi kuadrat. Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan suatu bilangan {{mvar|x}} menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari {{mvar|x}}, yaitu ketika {{math|0 < ''x'' < 1}}. Kasus ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu bilangan bulat tidak pernah bernilai lebih kecil daripada bilangan bulat tersebut.
+Setiap [[bilangan real]] positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan [[nol]] hanya merupakan kuadrat dari satu bilangan saja, yakni nol itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi [[akar kuadrat]], yang memadankan bilangan real non-negatif <math>y</math> dengan bilangan nonnegatif <math>x</math> yang kuadratnya sama dengan <math>y</math>.
-Squaring is used in [[statistics]] and [[probability theory]] in determining the [[standard deviation]] of a set of values, or a [[random variable]]. The deviation of each value&nbsp;{{mvar|x<sub>i</sub>}} from the [[mean]]&nbsp;<math>\overline{x}</math> of the set is defined as the difference <math>x_i - \overline{x}</math>. These deviations are squared, then a mean is taken of the new set of numbers (each of which is positive). This mean is the [[variance]], and its square root is the standard deviation. In [[finance]], the [[volatility (finance)|volatility]] of a financial instrument is the standard deviation of its values.
--->
+Bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat dalam sistem bilangan real, karena sifat kuadrat dari sembarang bilangan real bernilai nonnegatif. Ketidakadaan akar kuadrat untuk bilangan negatif dapat digunakan untuk memperumum sistem bilangan real menjadi [[Bilangan kompleks|sistem bilangan kompleks]]. Perumuman ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan suatu [[unit imajiner]] <math>i</math>, yang nilainya sama dengan akar kuadrat dari -''&nbsp;''1. Sifat kuadrat pada sistem bilangan real juga dapat diperumum ke konsep ''lapangan real tertutup'', yakni [[lapangan terurut]] yang setiap elemen nonnegatifnya merupakan kuadrat dan setiap polinomial berderajat ganjil memiliki sebuah akar. Lapangan real tertutup tidak dapat dibedakan dari sistem bilangan real hanya dari sifat-sifat aljabar mereka. Hal ini mengartikan setiap sifat sistem bilangan real yang dapat dinyatakan lewat [[Logika predikat tingkat pertama|logika tingkat-pertama]] juga berlaku bagi sembarang lapangan real tertutup, dan sebaliknya.
-==Lihat pula ==
-<!--
+== Dalam sistem bilangan kompleks ==
-* [[von Neumann regular ring]], a ring such that every ideal is generated by an idempotent
+{{see also|Eksponensiasi#Eksponensial kompleks}}Kuadrat dari [[nilai absolut]] suatu bilangan kompleks disebut dengan ''kuadrat absolut'' atau ''modulus kuadrat.''<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Absolute Square|url=https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteSquare.html|website=mathworld.wolfram.com}}</ref>{{better source|date=April 2023}} Kuadrat ini dihasilkan dari perkalian bilangan kompleks dengan [[Konjugat kompleks|konjugat kompleksnya]], dan nilainya sama dengan jumlah dari kuadrat bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut. Kuadrat absolut dari sembarang bilangan kompleks selalu bernilai nonnegatif, dan bernilai 0 hanya ketika bilangan kompleksnya adalah 0. Fungsi ini lebih mudah dihitung ketimbang mencari nilai absolut (tidak menggunakan fungsi akar kuadrat) dan merupakan [[fungsi mulus]] bernilai real. Karena dua sifat ini, fungsi kuadrat absolut cenderung digunakan ketimbang fungsi nilai absolut, dalam komputasi numerik dan ketika metode-metode [[Analisis matematis|analisis matematika]] digunakan (misalnya terkait [[optimisasi]] dan [[Integral|integrasi]]).
- too remote from the topic? -->
-* [[Exponentiation by squaring]]
+== Dalam geometri ==
-* [[Polynomial SOS]], the representation of a non-negative polynomial as the sum of squares of polynomials
+Terdapat beberapa penggunaan fungsi kuadrat yang umum dalam geometri. Dalam pendefinisian [[luas]] misalnya, luas dari [[persegi]] dengan sisi sepanjang&nbsp;''{{mvar|l}}'' adalah {{math|''l''<sup>2</sup>}}. Luas daerah ini bergantung kuadratik dengan panjang sisi: persegi dengan sisi ''{{mvar|n}}''&nbsp;kali lebih panjang memiliki luas {{math|''n''<sup>2</sup>}}&nbsp;kali lebih besar. Sifat ini juga berlaku pada luas di dimensi tiga; sebagai contoh, luas permukaan [[Bola (geometri)|bola]] sebanding dengan kuadrat panjang radiur bola tersebut. Pada dunia nyata, sifat ini terlihat dalam [[Hukum kuadrat terbalik|hukum kuadrat-terbalik]] yang menjelaskan kekuatan besaran-besaran fisika (kekuatan gravitasi, gaya elektrostatik, intensitas suara) berubah bergantung jarak dari pemancarnya.
-* [[Hilbert's seventeenth problem]], for the representation of [[positive polynomial]]s as a sum of squares of [[rational function]]s
-* [[Square-free polynomial]]
+Fungsi kuadrat memiliki hubungan dengan besaran [[Jarak Euklides|jarak]] lewat [[teorema Pythagoras]] dan perumumannya, [[hukum jajaran genjang]].
-* [[Kubik (matematika)]]
-* [[Metric tensor]]
+[[Produk dot|Hasil kali titik]] dari sembarang [[vektor Euklides]] dengan dirinya sendiri, akan sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut: <math>\mathbf{v}\cdot \mathbf{v} = \lVert \mathbf{v} \rVert^2</math>. Sifat ini selanjutnya dapat diperumum ke [[bentuk kuadratik]] dalam [[ruang vektor]] dengan menggunakan bantuan [[hasil kali dalam]]. Secara fisik, sifat ini menunjukkan hubungan antara [[momen inersia]] dengan jarak (ukuran) benda.
+Terdapat tak hingga banyaknya [[tripel Pythagoras]], yakni pasangan tiga bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah dari kuadrat dua bilangan yang lain. Setiap tripel ini menghasilkan segitiga siku-siku yang panjang setiap sisinya berupa bilangan bulat.
+== Penggunaan lainnya ==
+Konsep pengkuadratan berperan penting dalam aljabar maupun hampir di semua bidang matematika lainnya, juga dalam [[fisika]]. Bilangan kuadrat dapat diperumum ke beberapa sistem bilangan lainnya. Pada sistem bilangan rasional, bilangan kuadrat dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dari dua bilangan bulat kuadrat; sebagai contoh, <math>\textstyle \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2</math>.
+Dalam [[analisis regresi]], metode [[kuadrat terkecil]] umum dipakai dalam sistem ''overdetermined'' (sistem yang memiliki lebih banyak persamaan ketimbang variabel).
+Pengkuadratan juga digunakan dalam [[Statistika matematika|statistika]] dan [[teori probabilitas]] dalam menentukan [[simpangan baku]] dari suatu himpunan nilai atau suatu [[variabel acak]]. Penyimpangan setiap nilai&nbsp;''{{mvar|x<sub>i</sub>}}'' dari [[Rata-rata|rerata himpunan]] &nbsp;<math>\overline{x}</math> didefinisikan sebagai deviasi <math>x_i - \overline{x}</math>. [[Varians]] himpunan didefinisikan sebagai rerata dari hasil pengkuadratan setiap deviasi. Sedangkan akar kuadrat dari varians disebut simpangan baku.
+== Lihat pula ==
 * [[Persamaan kuadrat]]
-* [[Cincin polinomial]]
+* [[Pangkat tiga]]
+* [[Eksponensiasi dengan kuadrat]]
+* [[Polinomial SOS]], representasi dari sebuah polinomial tak negatif sebagai penjumlahan kuadrat polinomial
+* [[Masalah ketujuhbelas Hilbert]], untuk representasi [[polinomial positif]] sebagai sebuah penjumlahan kuadrat [[fungsi rasional]]
+* [[Polinomial bebas-persegi]]
+* [[Tensor metrik]]
+* [[Gelanggang polinomial]]
 === Identitas terkait ===
-; Aljabar<span style="font-weight:400"> (membutuhkan suatu [[commutative ring]])</span>:
+; Aljabar<span style="font-weight:400"> (membutuhkan suatu [[gelanggang komutatif]])</span>
-* [[Difference of two squares]]
+* [[Selisih dua kuadrat]]
-* [[Persamaan Brahmagupta–Fibonacci]], related to complex numbers [[#.7Cz.7C²|in the sense discussed above]]
+* [[Identitas Brahmagupta–Fibonacci]], berkaitan dengan bilangan kompleks [[#.7Cz.7C²|dalam arti yang dibahas di atas]]
-* [[Persamaan Euler's four-square]], related to [[quaternion]]s in the same way
+* [[Identitas Euler empat kuadrat]], berkaitan dengan [[kuaternion]] dengan cara yang sama
-* [[Persamaan Degen's eight-square]], related to [[octonion]]s in the same way
+* [[Identitas Degen delapan kuadrat]], berkaitan dengan [[oktonion]] dengan cara yang sama
-* [[Persamaan Lagrange]]
+* [[Identitas Lagrange]]
 ; Lain-lain
+* [[Identitas trigonometrik Pythagoras]]
-* [[Persamaan Pythagorean trigonometric]]
-* [[Persamaan Parseval]]
+* [[Identitas Parseval]]
 === Kuantitas fisik terkait ===
-* [[percepatan]], panjang per kuadrat waktu
+* [[Percepatan]], panjang per kuadrat waktu
-* [[cross section (physics)]], suatu kuantitas berdimensi area
+* [[Penampang lintang (fisika)]], suatu kuantitas berdimensi area
-* [[coupling constant]] (mempunyai muatan kuadrat pada denominator, dan dapat diekspresikan dengan jarak kuadrat pada numerator)
+* [[Konstanta kopling]] (mempunyai muatan kuadrat pada penyebut, dan dapat diekspresikan dengan jarak kuadrat pada numerator)
-* [[energi kinetik]] (ketergantungan kuadrat pada kecepatan)
+* [[Energi kinetik]] (ketergantungan kuadrat pada kecepatan)
+* [[Energi spesifik]], sebuah kuantitas berdimensi (kecepatan kuadrat)
-* [[specific energy]], a (square velocity)-dimensioned quantity
 == Referensi ==
 {{reflist}}
-==Pustaka tambahan==
+== Pustaka tambahan ==
-* Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
+* Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. {{isbn|978-0-8218-4402-1}}, {{isbn|0-8218-4402-4}}
-* {{cite book |title=Squares |volume=171 |series=London Mathematical Society Lecture Note Series |first=A. R. |last=Rajwade |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1993 |isbn=0-521-42668-5 |zbl=0785.11022 }}
+* {{cite book|last=Rajwade|first=A. R.|year=1993|title=Squares|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-42668-5|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|volume=171|zbl=0785.11022}}
+* [[J.H. Conway|Conway, J. H.]] and [[R.K. Guy|Guy, R. K.]] ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp.&nbsp;30–32, 1996. {{isbn|0-387-97993-X}}
+* Kiran Parulekar. ''Amazing Properties of Squares and Their Calculations''. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC
+{{Authority control}}
-[[Category:Eksponensial]]
+[[Kategori:Eksponensial]]
-[[Category:Aljabar]]
+[[Kategori:Aljabar]]
-[[Category:Aritmetika]]
+[[Kategori:Aritmetika]]