Segitiga siku-siku: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 13 Agustus 2024 18.18

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (yaitu, sudut 90 derajat). Hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku adalah dasar untuk trigonometri.

Sisi yang berseberangan dengan sudut siku-siku disebut hypotenuse (sisi c pada gambar). Sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut kanan disebut kaki (atau catheti, singular: cathetus). Sisi a dapat diidentifikasi sebagai sisi yang berdekatan dengan sudut B dan berlawanan dengan (atau berlawanan) sudut A, sedangkan sisi b adalah sisi yang berdekatan dengan sudut A dan berlawanan dengan sudut B.

Jika panjang ketiga sisi dari segitiga siku-siku adalah bilangan bulat, segitiga tersebut disebut segitiga Pythagoras dan panjang sisinya secara kolektif dikenal sebagai triple Pythagoras.

Sifat utama

Luas

Seperti halnya segitiga apa pun, luasnya sama dengan satu setengah alas yang dikalikan dengan tinggi yang sesuai. Dalam segitiga siku-siku, jika satu kaki diambil sebagai alas maka yang lainnya adalah tinggi, maka luas segitiga siku-siku adalah satu setengah produk dari kedua kaki. Sebagai rumus, Luas T adalah

T={\tfrac {1}{2}}ab

di mana a dan b adalah kaki-kaki segitiga. Jika incircle bersinggungan dengan AB miring pada titik P, maka menunjukkan semi-perimeter(a + b + c) / 2 sebagai s yang kita miliki PA = s − a dan PB = s − b, dan luas diberikan oleh

T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).

Rumus ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.^[1]

Tinggi

Jika tinggi diambil dari titik dengan sudut kanan ke sisi miring maka segitiga dibagi menjadi dua segitiga yang lebih kecil yang keduanya mirip dengan aslinya dan oleh karena itu mirip satu sama lain. Dari ini:

Ketinggian untuk sisi miring adalah rata-rata geometrik (rata-rata proporsional) dari dua segmen sisi miring.^[2]^:243
Setiap kaki dari segitiga adalah proporsi rata-rata dari sisi miring dan segmen sisi miring yang berdekatan dengan kaki.

Dalam persamaan,

\displaystyle f^{2}=de,

(ini kadang-kadang dikenal sebagai teorema tinggi segitiga siku-siku)

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

di mana a, b, c, d, e, f adalah seperti yang ditunjukkan pada diagram.^[3] Jadi

f={\frac {ab}{c}}.

Selain itu, tinggi ke sisi miring terkait dengan kaki-kaki segitiga kanan^[4]^[5]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

Untuk solusi persamaan ini dalam nilai integer a, b, f, dan c, lihat di sini.

Tinggi dari kedua kaki bertepatan dengan kaki lainnya. Karena ini berpotongan di sudut siku-siku, orthocenter segitiga siku-siku — perpotongan tiga ketinggiannya — bertepatan dengan titik puncak sudut siku-siku.

Teori Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:

Dalam setiap segitiga siku-siku, Luas dari bujur sangkar yang sisinya adalah sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kuadrat yang sisi-sisinya adalah dua kaki (dua sisi yang bertemu pada sudut kanan).

Ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai

\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}

di mana c adalah panjang sisi miring, dan a dan b adalah panjang dari dua sisi yang tersisa.

Tripel Pythagoras adalah nilai integer dari a, b, c yang memenuhi persamaan ini.

Inradius dan circumradius

Jari-jari incircle dari segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c adalah

r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Jari-jari lingkaran adalah setengah panjang sisi miring,

R={\frac {c}{2}}.

Jadi jumlah dari circumradius dan inradius adalah setengah dari jumlah kaki:^[6]

R+r={\frac {a+b}{2}}.

Salah satu kaki dapat diekspresikan dalam istilah inradius dan kaki lainnya sebagai

\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.

Karakterisasi

Segitiga ABC dengan sisi $a\leq b<c$ , semiperimeter s, Luas T, tinggi h berlawanan dengan sisi terpanjang, circumradius R, inradius r, exradii r_a, r_b, r_c (bersinggungan dengan a, b, c masing-masing), dan median m_a, m_b, m_c adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika salah satu dari pernyataan dalam enam kategori berikut ini benar. Semuanya tentu saja juga properti dari segitiga siku-siku, karena karakterisasi adalah kesetaraan.

Sisi dan semiperimeter

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{teori Pitagoras}})$
$\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
$\displaystyle s=2R+r.$ ^[7]
$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$ ^[8]

Sudut

A dan B adalah komplementer.^[9]
$\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$ ^[10]^[11]
$\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$ ^[10]^[11]
$\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$ ^[11]
$\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Luas

$\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
$\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
$\displaystyle T=r(2R+r)$
$T=PA\cdot PB,$ di mana P adalah titik singgung incircle di sisi terpanjang AB.^[12]

Inradius dan exradii

$\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
$\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
$\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
$\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
$\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
$\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$ ^[13]

Tinggi dan median

$\displaystyle h={\frac {ab}{c}}$
$\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.$ ^[14]^{:Prob. 954, p. 26}
Panjang satu median sama dengan circumradius.
Tinggi yang terpendek (yang dari sudut dengan sudut terbesar) adalah rata-rata geometris dari segmen garis yang membagi sisi yang berlawanan (terpanjang) menjadi. Ini adalah teorema ketinggian segitiga siku-siku.

Circumcircle dan incircle

Segitiga dapat ditulis dalam setengah lingkaran, dengan satu sisi bertepatan dengan keseluruhan diameter (teorema Thales).
Circumcenter adalah titik tengah dari sisi terpanjang.
Sisi terpanjang adalah diameter lingkaran $\displaystyle (c=2R).$
Lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran sembilan titik.^[15]
Orthocenter terletak di lingkaran.^[16]
Jarak antara incenter dan orthocenter sama dengan ${\sqrt {2}}r$ .^[16]

Rasio trigonometri

Fungsi trigonometri untuk sudut akut dapat didefinisikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Untuk sudut tertentu, segitiga siku-siku dapat dibangun dengan sudut ini, dan sisi berlabel berlawanan, berdekatan dan miring dengan referensi ke sudut ini sesuai dengan definisi di atas. Rasio sisi-sisi ini tidak bergantung pada segitiga siku-siku tertentu yang dipilih, tetapi hanya pada sudut yang diberikan, karena semua segitiga yang dibangun dengan cara ini serupa. Jika, untuk sudut tertentu α, sisi yang berlawanan, sisi yang berdekatan dan sisi miring masing-masing diberi label O, A dan H, maka fungsi trigonometri adalah

\sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.

Untuk ekspresi fungsi hiperbolik sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku, lihat segitiga hiperbolik sektor hiperbolik.

Segitiga siku-siku khusus

Nilai fungsi trigonometri dapat dievaluasi dengan tepat untuk sudut tertentu menggunakan segitiga siku-siku dengan sudut khusus. Ini termasuk segitiga 30-60-90 yang dapat digunakan untuk mengevaluasi fungsi trigonometri untuk kelipatan π/6, dan segitiga 45-45-90 yang dapat digunakan untuk mengevaluasi fungsi trigonometri untuk kelipatan π/4.

Segitiga Kepler

Biarkan H, G, dan A menjadi rata-rata harmonik, rata-rata geometrik, dan rata-rata aritmatika dari dua bilangan positif a dan b dengan a > b. Jika segitiga siku-siku memiliki kaki H dan G dan sisi miring A, maka.^[17]

{\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,

dan

{\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,

dimana $\phi$ adalah rasio emas ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,$ Karena sisi-sisi segitiga siku-siku ini berada dalam perkembangan geometris, ini adalah segitiga Kepler.

Teori Thales

Teorema Thales menyatakan bahwa jika A adalah titik mana pun dari lingkaran dengan diameter BC (kecuali B atau C sendiri) ABC adalah segitiga siku-siku di mana A adalah sudut kanan. Kebalikannya menyatakan bahwa jika segitiga siku-siku tertulis dalam lingkaran maka sisi miring akan menjadi diameter lingkaran. Yang wajar adalah bahwa panjang sisi miring adalah dua kali jarak dari sudut sudut kanan ke titik tengah sisi miring. Juga, pusat lingkaran yang membatasi segitiga kanan adalah titik tengah sisi miring dan jari-jarinya adalah setengah panjang sisi miring.

Garis euler

Dalam segitiga siku-siku, garis euler berisi median pada sisi miring - yaitu, melewati titik sudut kanan dan titik tengah sisi yang berlawanan dengan titik itu. Ini karena orthocenter segitiga kanan, persimpangan ketinggiannya, jatuh pada sudut siku-siku sementara circumcenter-nya, persimpangan garis-garis sisi yang tegak lurus, berada di titik tengah sisi miring.

Referensi

^ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Posamentier
^ Wentworth p. 156
^ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
^ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
^ Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
^ "Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-04-28. Diakses tanggal 2020-06-02.
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu2
^ "Properties of Right Triangles". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-12-31. Diakses tanggal 2020-06-02.
^ ^a ^b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu3
^ ^a ^b ^c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2] Diarsipkan 2013-08-05 di Wayback Machine..
^ Darvasi, Gyula (March 2005), "Converse of a Property of Right Triangles", The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76 .
^ Bell, Amy (2006), "Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Crux2
^ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
^ ^a ^b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Crux4
^ Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Right Triangle". MathWorld.
Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.

Pranala luar

Kalkulator untuk segitiga siku-siku Diarsipkan 2017-09-30 di Wayback Machine.
Kalkulator segitiga siku-siku lengkap

[1] Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.

[Posamentier-2] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Posamentier

[3] Wentworth p. 156

[4] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[5] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[Crux-6] Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].

[7] "Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-04-28. Diakses tanggal 2020-06-02.

[Andreescu2-8] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu2

[9] "Properties of Right Triangles". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-12-31. Diakses tanggal 2020-06-02.

[Andreescu3-10] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu3

[CTK-11] CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2] Diarsipkan 2013-08-05 di Wayback Machine..

[12] Darvasi, Gyula (March 2005), "Converse of a Property of Right Triangles", The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76 .

[Bell-13] Bell, Amy (2006), "Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342

[Crux2-14] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Crux2

[Andreescu4-15] Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.

[Crux4-16] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Crux4

[17] Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 [[Berkas:Rtriangle.svg|jmpl|ka|Segitiga siku-siku]]
-'''Segitiga siku-siku''' adalah segitiga yang satu sudutnya tepat sebesar 90° (tegak lurus atau siku-siku). Dalam bahasa Inggris disebut ''right triangle'' atau or ''right-angled triangle'', dan dulu disebut ''rectangled triangle''. Sisi yang berhadapan dengan sudut tegak lurus tersebut disebut [[hipotenusa]], merupakan sisi terpanjang pada segitiga siku-siku. Sisi-sisi lainnya disebut kaki dari segitiga tersebut (dalam bahasa Inggris [[catheti]] (jamak: cathetus)).
+'''Segitiga siku-siku''' adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (yaitu, sudut 90 derajat). Hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku adalah dasar untuk trigonometri.
+Sisi yang berseberangan dengan sudut siku-siku disebut [[Hipotenusa|''hypotenuse'']] (sisi ''c'' pada gambar). Sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut kanan disebut ''kaki'' (atau ''catheti'', singular: ''[[cathetus]]''). Sisi ''a'' dapat diidentifikasi sebagai sisi yang ''berdekatan'' dengan sudut B dan berlawanan dengan (atau ''berlawanan'') ''sudut A'', sedangkan sisi ''b'' adalah sisi yang ''berdekatan'' dengan ''sudut'' ''A'' dan ''berlawanan'' dengan ''sudut B''.
-Segitiga siku-siku mematuhi [[teorema Pythagoras]]: jumlah kuadrat dari panjang kedua kaki sama dengan kuadrat panjang hipotenusa: a² + b² = c², di mana a dan b adalah panjang masing - masing kaki dan c adalah panjang hipotenusa. Demikian pula sebaliknya, jika panjang masing - masing kaki memenuhi persamaan tersebut, maka segitiga tersebut pasti memiliki sudut siku-siku di seberang sisi terpanjangnya.
+Jika panjang ketiga sisi dari segitiga siku-siku adalah [[bilangan bulat]], segitiga tersebut disebut segitiga Pythagoras dan panjang sisinya secara kolektif dikenal sebagai [[triple Pythagoras]].
-Segitiga siku-siku istimewa adalah segitiga siku-siku yang memiliki sifat yang membuat perhitungannya menjadi lebih mudah. Salah satunya adalah segitiga siku-siku 3–4–5, di mana 3² + 4² = 5². Dalam situasi ini 3, 4, dan 5 adalah tripel Pythagorean. Yang lainnya adalan segitiga sama kaki yang memiliki dua sudut lain sebesar 45°.
+== Sifat utama ==
-Beberapa fakta mengenai segitiga siku-siku:
+=== Luas ===
-* Jumlah sudut-sudut yang bukan siku-siku pasti 90°.
+Seperti halnya segitiga apa pun, luasnya sama dengan satu setengah alas yang dikalikan dengan tinggi yang sesuai. Dalam segitiga siku-siku, jika satu kaki diambil sebagai alas maka yang lainnya adalah tinggi, maka luas segitiga siku-siku adalah satu setengah produk dari kedua kaki. Sebagai rumus, Luas ''T'' adalah
-* Jika kaki-kaki segitiga siku-siku sama panjang, maka sudut yang berseberangan dengan kaki-kaki tersebut akan sama besarnya. Dengan demikian karena sifat pertama di atas, maka sudutnya pasti 45°. Dengan teorema Pythagoras, panjang hipotenusa adalah panjang kaki dikali √2.
-* Di segitiga siku-siku jika besar sudut lainnya 30° dan 60°, maka panjang hipotenusa dua kali panjang kaki terpendek dan panjang kaki yang lebih panjang sama dengan panjang kaki yang lebih pendek dikali √3
+: <math>T=\tfrac{1}{2}ab</math>
+di mana ''a'' dan ''b'' adalah kaki-kaki segitiga. Jika incircle bersinggungan dengan AB miring pada titik P, maka menunjukkan semi-perimeter{{nowrap|(''a'' + ''b'' + ''c'') / 2}} sebagai ''s'' yang kita miliki {{nowrap|PA {{=}} ''s'' − ''a''}} dan {{nowrap|PB {{=}} ''s'' − ''b''}}, dan luas diberikan oleh
+: <math>T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).</math>
+Rumus ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.<ref>Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", ''[[Mathematical Gazette]]'' 87, July 2003, pp. 323-324.</ref>
+=== Tinggi ===
+[[Berkas:Teorema.png|ka|jmpl|Tinggi segitiga siku-siku]]
+Jika tinggi diambil dari titik dengan sudut kanan ke sisi miring maka segitiga dibagi menjadi dua segitiga yang lebih kecil yang keduanya mirip dengan aslinya dan oleh karena itu mirip satu sama lain. Dari ini:
+* Ketinggian untuk sisi miring adalah rata-rata geometrik (rata-rata proporsional) dari dua segmen sisi miring.<ref name="Posamentier" />{{rp|243}}
+* Setiap kaki dari segitiga adalah proporsi rata-rata dari sisi miring dan segmen sisi miring yang berdekatan dengan kaki.
+Dalam persamaan,
+: <math>\displaystyle f^2=de,</math> (ini kadang-kadang dikenal sebagai [[teorema tinggi segitiga siku-siku]])
+: <math>\displaystyle b^2=ce,</math>
+: <math>\displaystyle a^2=cd</math>
+di mana ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'' adalah seperti yang ditunjukkan pada diagram.<ref>Wentworth p. 156</ref> Jadi
+: <math>f=\frac{ab}{c}.</math>
+Selain itu, tinggi ke sisi miring terkait dengan kaki-kaki segitiga kanan<ref>Voles, Roger, "Integer solutions of <math>a^{-2} + b^{-2} = d^{-2}</math>," ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269–271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313–317.</ref>
+: <math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.</math>
+Untuk solusi persamaan ini dalam nilai integer ''a'', ''b'', ''f'', dan ''c'', lihat [[Segitiga sembarang|di sini]].
+Tinggi dari kedua kaki bertepatan dengan kaki lainnya. Karena ini berpotongan di sudut siku-siku, orthocenter segitiga siku-siku — perpotongan tiga ketinggiannya — bertepatan dengan titik puncak sudut siku-siku.
+=== Teori Pythagoras ===
+{{Main|Teorema pythagoras}}
+[[Teorema Pythagoras]] menyatakan bahwa:<blockquote>Dalam setiap segitiga siku-siku, Luas dari [[bujur sangkar]] yang sisinya adalah sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kuadrat yang sisi-sisinya adalah dua kaki (dua sisi yang bertemu pada sudut kanan).</blockquote>Ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai
+: <math>\displaystyle a^2+b^2=c^2</math>
+di mana ''c'' adalah panjang sisi miring, dan a dan b adalah panjang dari dua sisi yang tersisa.
+[[Tripel Pythagoras]] adalah nilai integer dari ''a'', ''b'', ''c'' yang memenuhi persamaan ini.
+=== Inradius dan circumradius ===
+[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.png|jmpl|200x200px|Ilustrasi dari'''Teori Pythagoras''']]
+Jari-jari [[incircle]] dari segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c adalah
+: <math>r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.</math>
+Jari-jari lingkaran adalah setengah panjang sisi miring,
+: <math>R = \frac{c}{2}.</math>
+Jadi jumlah dari circumradius dan inradius adalah setengah dari jumlah kaki:<ref name="Crux">''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>
+: <math>R+r = \frac{a+b}{2}.</math>
+Salah satu kaki dapat diekspresikan dalam istilah inradius dan kaki lainnya sebagai
+: <math>\displaystyle a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}.</math>
+== Karakterisasi ==
+Segitiga ''ABC'' dengan sisi <math>a \le b < c</math>, [[semiperimeter]] ''s'', [[Luas]] ''T'', [[Tinggi (segitiga)|tinggi]] ''h'' berlawanan dengan sisi terpanjang, [[Circumscribed circle|circumradius]] ''R'', [[Incircle and excircles of a triangle#Relation to area of the triangle|inradius]] ''r'', [[Incircle and excircles of a triangle#Relation to area of the triangle|exradii]] ''r<sub>a</sub>'', ''r<sub>b</sub>'', ''r<sub>c</sub>'' (bersinggungan dengan ''a'', ''b'', ''c'' masing-masing), dan [[Median (geometri)|median]] ''m<sub>a</sub>'', ''m<sub>b</sub>'', ''m<sub>c</sub>'' adalah segitiga siku-siku [[jika dan hanya jika]] salah satu dari pernyataan dalam enam kategori berikut ini benar. Semuanya tentu saja juga properti dari segitiga siku-siku, karena karakterisasi adalah kesetaraan.
+=== Sisi dan semiperimeter ===
+* <math>\displaystyle a^2+b^2=c^2\quad (\text{teori Pitagoras})</math>
+* <math>\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)</math>
+* <math>\displaystyle s=2R+r.</math><ref>{{Cite web |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=411120 |title=Triangle right iff s = 2R + r, ''Art of problem solving'', 2011 |access-date=2020-06-02 |archive-date=2014-04-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140428221212/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=411120 |dead-url=yes }}</ref>
+* <math>\displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2.</math><ref name="Andreescu2" />
+=== Sudut ===
+* ''A'' dan ''B'' adalah [[Sudut#Sudut komplementer|komplementer]].<ref>{{Cite web |url=http://www.ricksmath.com/right-triangles.html |title=Properties of Right Triangles |access-date=2020-06-02 |archive-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111231222001/http://www.ricksmath.com/right-triangles.html |dead-url=yes }}</ref>
+* <math>\displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0.</math><ref name="Andreescu3" /><ref name="CTK">CTK Wiki Math, ''A Variant of the Pythagorean Theorem'', 2011, [http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Trigonometry.AVariantOfPythagoreanTheorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130805051705/http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Trigonometry.AVariantOfPythagoreanTheorem|date=2013-08-05}}.</ref>
+* <math>\displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2.</math><ref name="Andreescu3" /><ref name="CTK" />
+* <math>\displaystyle \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1.</math><ref name="CTK" />
+* <math>\displaystyle \sin{2A}=\sin{2B}=2\sin{A}\sin{B}.</math>
+=== Luas ===
+* <math>\displaystyle T=\frac{ab}{2}</math>
+* <math>\displaystyle T=r_ar_b=rr_c</math>
+* <math>\displaystyle T=r(2R+r)</math>
+* <math>T=PA\cdot PB,</math> di mana P adalah titik singgung [[incircle]] di sisi terpanjang ''AB''.<ref>{{citation|last=Darvasi|first=Gyula|journal=The Mathematical Gazette|pages=72–76|title=Converse of a Property of Right Triangles|volume=89|number=514|date=March 2005}}.</ref>
+=== Inradius dan exradii ===
+* <math>\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2</math>
+* <math>\displaystyle r_a=s-b=(a-b+c)/2</math>
+* <math>\displaystyle r_b=s-a=(-a+b+c)/2</math>
+* <math>\displaystyle r_c=s=(a+b+c)/2</math>
+* <math>\displaystyle r_a+r_b+r_c+r=a+b+c</math>
+* <math>\displaystyle r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2</math>
+* <math>\displaystyle r=\frac{r_ar_b}{r_c}.</math><ref name="Bell">{{citation|last=Bell|first=Amy|journal=Forum Geometricorum|pages=335–342|title=Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf|volume=6|year=2006}}</ref>
+=== Tinggi dan median ===
+[[File:Right_angle_altitude.svg|ka|200px|]]
+* <math>\displaystyle h=\frac{ab}{c}</math>
+* <math>\displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2.</math><ref name="Crux2" />{{rp|Prob. 954, p. 26}}
+* Panjang satu [[Median (geometri)|median]] sama dengan [[circumradius]].
+* [[Ketinggian (segitiga)|Tinggi]] yang terpendek (yang dari sudut dengan sudut terbesar) adalah [[rata-rata geometris]] dari [[segmen garis]] yang membagi sisi yang berlawanan (terpanjang) menjadi. Ini adalah [[teorema ketinggian segitiga siku-siku]].
+=== Circumcircle dan incircle ===
+* Segitiga dapat ditulis dalam [[setengah lingkaran]], dengan satu sisi bertepatan dengan keseluruhan diameter ([[teorema Thales]]).
+* Circumcenter adalah titik tengah dari sisi terpanjang.
+* Sisi terpanjang adalah [[diameter]] lingkaran <math>\displaystyle (c=2R).</math>
+* Lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran sembilan titik.<ref name="Andreescu4">Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.</ref>
+* Orthocenter terletak di lingkaran.<ref name="Crux4" />
+* Jarak antara incenter dan orthocenter sama dengan <math>\sqrt{2}r</math>.<ref name="Crux4" />
+== Rasio trigonometri ==
+[[Fungsi trigonometrik|Fungsi trigonometri]] untuk sudut akut dapat didefinisikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Untuk sudut tertentu, segitiga siku-siku dapat dibangun dengan sudut ini, dan sisi berlabel berlawanan, berdekatan dan miring dengan referensi ke sudut ini sesuai dengan definisi di atas. Rasio sisi-sisi ini tidak bergantung pada segitiga siku-siku tertentu yang dipilih, tetapi hanya pada sudut yang diberikan, karena semua segitiga yang dibangun dengan cara ini [[Kesamaan (geometri)|serupa]]. Jika, untuk sudut tertentu α, sisi yang berlawanan, sisi yang berdekatan dan sisi miring masing-masing diberi label O, A dan H, maka fungsi trigonometri adalah
+: <math>\sin\alpha =\frac {O}{H},\,\cos\alpha =\frac {A}{H},\,\tan\alpha =\frac {O}{A},\,\sec\alpha =\frac {H}{A},\,\cot\alpha =\frac {A}{O},\,\csc\alpha =\frac {H}{O}.</math>
+Untuk ekspresi [[fungsi hiperbolik]] sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku, lihat [[Segitiga hiperbolik## Segitiga hiperbolik|segitiga hiperbolik]] [[sektor hiperbolik]].
+== Segitiga siku-siku khusus ==
+Nilai fungsi trigonometri dapat dievaluasi dengan tepat untuk sudut tertentu menggunakan segitiga siku-siku dengan sudut khusus. Ini termasuk segitiga ''30''-''60''-''90'' yang dapat digunakan untuk mengevaluasi fungsi trigonometri untuk kelipatan π/6, dan segitiga ''45''-''45''-''90'' yang dapat digunakan untuk mengevaluasi fungsi trigonometri untuk kelipatan π/4.
+=== Segitiga Kepler ===
+Biarkan ''H'', ''G'', dan ''A'' menjadi [[rata-rata harmonik]], [[rata-rata geometrik]], dan [[rata-rata aritmatika]] dari dua bilangan positif ''a'' dan ''b'' dengan ''a'' > b. Jika segitiga siku-siku memiliki kaki ''H'' dan ''G'' dan sisi miring ''A,'' maka.<ref>Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," ''Mathematical Gazette'' 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.</ref>
+: <math>\frac{A}{H} = \frac{A^{2}}{G^{2}} = \frac{G^{2}}{H^{2}} = \phi \,</math>
+dan
+: <math>\frac{a}{b} = \phi^{3}, \, </math>
+dimana <math>\phi</math> adalah [[rasio emas]] <math>\tfrac{1+ \sqrt{5}}{2}. \,</math> Karena sisi-sisi segitiga siku-siku ini berada dalam [[perkembangan geometris]], ini adalah [[segitiga Kepler]].
+== Teori Thales ==
+[[Berkas:Thm_mediane.svg|ka|jmpl|300x300px|Median sudut siku-siku]]
+'''Teorema Thales''' menyatakan bahwa jika A adalah titik mana pun dari lingkaran dengan diameter BC (kecuali B atau C sendiri) ABC adalah segitiga siku-siku di mana A adalah sudut kanan. Kebalikannya menyatakan bahwa jika segitiga siku-siku tertulis dalam lingkaran maka sisi miring akan menjadi diameter lingkaran. Yang wajar adalah bahwa panjang sisi miring adalah dua kali jarak dari sudut sudut kanan ke titik tengah sisi miring. Juga, pusat lingkaran yang [[Lingkaran terbatas|membatasi]] segitiga kanan adalah titik tengah sisi miring dan jari-jarinya adalah setengah panjang sisi miring.
+== Garis euler ==
+Dalam segitiga siku-siku, [[Garis Euler|garis euler]] berisi median pada sisi miring - yaitu, melewati titik sudut kanan dan titik tengah sisi yang berlawanan dengan titik itu. Ini karena orthocenter segitiga kanan, persimpangan ketinggiannya, jatuh pada sudut siku-siku sementara circumcenter-nya, [[Bisection|persimpangan garis-garis sisi yang tegak lurus]], berada di titik tengah sisi miring.
 == Referensi ==
@@ Baris 18: / Baris 157: @@
 == Pranala luar ==
 {{Commons category|Right triangles}}
-* [http://www.kurztutorial.info/mathematik/trigonometrie/en/dreieck.html Calculator for right triangles]
+* [http://www.kurztutorial.info/mathematik/trigonometrie/en/dreieck.html Kalkulator untuk segitiga siku-siku] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170930064506/http://www.kurztutorial.info/mathematik/trigonometrie/en/dreieck.html |date=2017-09-30 }}
-* [http://www.triangle-calculator.com/?what=rt Advanced right triangle calculator]
+* [http://www.triangle-calculator.com/?what=rt Kalkulator segitiga siku-siku lengkap]
 [[Kategori:Segitiga]]
-[[Kategori:Matematika]]
+[[Kategori:Geometri segitiga]]