Ukuran (matematika)

Ukuran dapat dibayangkan sebagai pasangan antara himpunan dan bilangan positif. Digambarkan di sini sifat monoton, di mana himpunan bagian berukuran lebih kecil

Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.

Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory and Alfred Haar. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam $\mathbb {R} ^{n}$. Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.

Definisi

Misalkan $(X,\Sigma )$ adalah suatu ruang terukur, dengan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar σ pada $X$. Fungsi $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ disebut sebagai ukuran pada $(X,\Sigma )$, jika memenuhi sifat-sifat:

• Non-negatif: tiada himpunan yang berukuran negatif:

$\mu (A)\geq 0$

untuk semua $A\in \Sigma$;

• Himpunan kosong berukuran nol:

$\mu (\varnothing )=0;$

• Aditivitas terhitung atau aditivitas-σ: jika $A_{1}\,$, $A_{2}\,$, $A_{3}\,$, ... adalah suatu barisan terhitung dari himpunan saling lepas pasang-demi-pasang yang termuat dalam $\Sigma$, maka

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$

Anggota dari $\Sigma$ disebut himpunan terukur, dan $(X,\Sigma ,\mu )$ disebut ruang ukuran.

Contoh

Ukuran Lebesgue

Ukuran Lebesgue di $\mathbb {R}$ suatu perumuman dari panjang. Panjang interval $I=[a,b],[a,b),(a,b]$ atau $(a,b)$ didefinisikan $|I|=b-a$. Sekarang misalkan $A\subseteq \mathbb {R}$ suatu himpunan bagian. Keluarga interval $(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ dikatakan meliputi $A$ apabila $A\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$. Ukuran luar $A$ didefinisikan sebagai

$m^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }|I_{i}|:(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\mbox{ meliputi }}A\right\}.$

Tepatnya, $m^{\ast }$ yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian $A$ dari $\mathbb {R}$ bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan $A\subseteq \mathbb {R}$ dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat himpunan tertutup $F\subseteq A$ dan himpunan terbuka $G\supseteq A$ sedemikian sehingga $m^{\ast }(G\setminus F)<\varepsilon$. Sekarang misalkan $\Sigma$ adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya, $\Sigma$ aljabar sigma dan fungsi $m^{\ast }$ yang dibatasi pada $\Sigma$ ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di $\mathbb {R}$) dan dilambangkan dengan $m$.

Ukuran penghitungan

Misalnya $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ himpunan kunasa, yakni $\Sigma$ keluarga semua himpunan bagian dari $X$. Jelas, $\Sigma$ aljabar sigma. Untuk $A\in \Sigma$, nilai $\mu (A)$ definisikan sebagai jumlah unsur himpunan $A$. Fungsi itu $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ dikenal sebagai ukuran penghitungan di $X$.

Fitur

Kaidah perhitungan

Kaidah perhitungan dasar berikut untuk hasil langsung dari definisi $\mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$:

• Aditif hingga: untuk himpunan pemutus dengan $A_{1},\dotsc ,A_{m}\in {\mathcal {A}}$ gilt $\textstyle \mu (A_{1}\cup \ldots \cup A_{m})=\sum _{n=1}^{m}\mu (A_{n})$.
• Subtraktivitas: untuk $A,B\in {\mathcal {A}}$ dengan $B\subseteq A$ dan $\mu (B)<\infty$ dari $\mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B)$.
• Monoton: untuk $A,B\in {\mathcal {A}}$ dengan $B\subseteq A$ dari $\mu (B)\leq \mu (A)$.
• Untuk $A,B\in {\mathcal {A}}$ dengan himpunan $\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)$. Dengan prinsip penyertaan dan pengecualian rumus tersebut dapat digeneralisasikan dalam kasus ukuran hingga untuk penyatuan dan perpotongan dari banyak himpunan terbatas.
• σ-subadditivitas: Untuk sembarang urutan $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dari himpunan ${\mathcal {A}}$ dengan $\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$.

Sifat kontinuitas

Sifat kontinuitas berikut adalah fundamental untuk memperkirakan set terukur dengan σ-aditif.

• σ-kontinuitas bawah: adalah $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dotsb$ urutan himpunan ${\mathcal {A}}$ dan $A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$, kemudian $\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)$.
• σ-kontinuitas atas: Adalah $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \dotsb$ urutan himpunan ${\mathcal {A}}$ dengan $\mu (A_{1})<\infty$ dan $A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$, kemudian $\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)$.

Teorema keunikan

Lihat pula: Ukuran unik

Untuk dimensi $\mu ,\nu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$ di ruang ukur $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ sebagai berikut:

Misalkan produsen ${\mathcal {E}}$ dari ${\mathcal {A}}$, hal itu berlaku ${\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {E}})$ dan untuk $E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}$ ist $E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {E}}$, dengan sifat berikut:

1. Untuk $E\in {\mathcal {E}}$ dengan $\mu (E)=\nu (E)$, dengan $\mu |_{\mathcal {E}}=\nu |_{\mathcal {E}}$, dan
2. Urutan $(E_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dari himpunan ${\mathcal {E}}$ dengan $\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=\Omega$ dan $\mu (E_{n})=\nu (E_{n})<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Kemudian $\mu =\nu$.

Untuk dimensi dengan $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ kondisi 2 otomatis. Secara khusus, dua ukuran probabilitas adalah sama jika keduanya generator dari rata yang stabil dari aljabar.

Teorema keunikan memberikan, misalnya, keunikan kelanjutan dari ukuran ke ukuran dengan menggunakan ukuran luar dan teorema ekstensi ukuran oleh Carathéodory

Himpunan non-ukur

Artikel utama: Himpunan non-ukur

Jika aksioma pilihan dibuktikan tidak semua himpunan bagian dari ruang Euklides adalah ukuran Lebesgue; contoh dari himpunan tersebut termasuk himpunan Vitali, dan himpunan yang tidak dapat diukur yang didalilkan oleh paradoks Hausdorff dan paradoks Banach-Tarski.

Generalisasi

Untuk tujuan tertentu, "ukuran" yang nilainya tidak terbatas pada riil non-negatif atau tak terhingga. Misalnya, aditif terhitung fungsi set dengan nilai dalam bilangan real (bertanda) disebut ukuran tanda, sedangkan fungsi seperti itu dengan nilai-nilai dalam bilangan kompleks disebut ukuran kompleks. Pengukuran yang mengambil nilai dalam ruang Banach telah dipelajari secara ekstensif. Ukuran dari nilai dalam himpunan proyeksi self-adjoint pada ruang Hilbert disebut ukuran nilai proyeksi; digunakan dalam analisis fungsional untuk teorema spektral. Jika untuk membedakan ukuran biasa yang mengambil nilai non-negatif dari generalisasi, istilah digunakan ukuran positif. Pengukuran positif ditutup di bawah kombinasi kerucut tetapi tidak umum kombinasi linear, sedangkan pengukuran bertanda tangan adalah penutupan linier dari pengukuran positif.

Generalisasi lain adalah ukuran aditif hingga, juga dikenal sebagai isi. Ini sama dengan ukuran kecuali bahwa alih-alih membutuhkan aditifitas yang dapat dihitung, kita hanya memerlukan aditifitas yang terbatas. Secara historis, definisi ini digunakan pertama kali. Ternyata secara umum, ukuran aditif hingga terkait dengan pengertian seperti limit Banach, rangkap L^∞ dan pemadatan Stone–Čech. Terkait dalam satu atau lain cara dengan aksioma pilihan. Masalah teknis tertentu di teori ukuran geometris; ini adalah teori ukuran Banach.

Muatan adalah generalisasi di kedua arah: adalah ukuran bertanda tangan aditif hingga.

Lihat pula

• Aljabar Abelian von Neumann
• Hampir di mana-mana
• Teorema perluasan Carathéodory
• Isi (teori pengukuran)
• Teorema Fubini
• Lemma Fatou
• Teori pengukuran Fuzzy
• Teori ukuran geometris
• Ukuran Hausdorff
• Ukuran dalam
• Integrasi Lebesgue
• Pengukuran Lebesgue
• Ruang Lorentz
• Teori pengangkatan
• Kardinal terukur
• Fungsi terukur
• Konten Minkowski
• Ukuran luar
• Ukuran produk
• Ukuran Pushforward
• Ukuran reguler
• Ukuran vektor
• Penilaian (teori ukuran)
• Bentuk volume

Bibliografi

• Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Interscience.
• Bauer, H. (2001), Measure and Integration Theory, Berlin: de Gruyter, ISBN 978-3110167191 
• Bear, H.S. (2001), A Primer of Lebesgue Integration, San Diego: Academic Press, ISBN 978-0120839711 
• Bogachev, V. I. (2006), Measure theory, Berlin: Springer, ISBN 978-3540345138 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0471317160  Second edition.
• Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Jech, Thomas (2003), Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer Verlag, ISBN 3-540-44085-2 
• R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• K. P. S. Bhaskara Rao and M. Bhaskara Rao (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures, London: Academic Press, hlm. x + 315, ISBN 0-12-095780-9 
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
• Teschl, Gerald, Topics in Real and Functional Analysis, (lecture notes) 
• Tao, Terence (2011). An Introduction to Measure Theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 9780821869192. 
• Weaver, Nik (2013). Measure Theory and Functional Analysis. World Scientific. ISBN 9789814508568. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Measure", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Tutorial: Measure Theory for Dummies