Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi
Pembenaran istilah, dan menambahkan beberapa penjelasan |
WillsonEP09 (bicara | kontrib) k Mengembalikan suntingan oleh Bebasnama (bicara) ke revisi terakhir oleh Hadithfajri Tag: Pengembalian Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
(41 revisi perantara oleh 17 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
[[Berkas:24x60.svg|jmpl|Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.]] |
|||
Dalam [[matematika]], '''Faktor Persekutuan Terbesar''' (FPB) dari dua atau lebih bilangan adalah [[bilangan bulat]] positif terbesar yang membagi semua bilangan tersebut. |
|||
Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12. |
|||
Dua bilangan atau lebih disebut [[Koprima (bilangan)|saling prima]] jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan [[bilangan prima]]) |
|||
Dalam [[bahasa Inggris]], FPB dikenal dengan ''Greatest Common Divisor'' (GCD), sering djiuga disebut sebagai ''Greatest Common Factor'' (GCF) atau ''Highest Common Factor'' (HCF). |
|||
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam [[aritmatika]] dan [[teori bilangan]]. |
|||
Dua buah bilangan dikatakan saling prima [[Jika dan hanya jika|jika dan hanya]] jika FPB dari kedua bilangan tersebut bernilai 1. |
|||
== |
== Definisi == |
||
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus. |
|||
Pada artikel ini, FPB dari dua buah bilangan a dan b ditulis sebagai fpb(a, b). Beberapa penulis menuliskannya sebagai (a, b). |
|||
Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:<ref name=":02">{{Cite book|last=Sukirman|first=|date=2016|url=|title=Teori Bilangan|location=Tangerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-602-392-047-1|language=|url-status=live}}</ref> |
|||
== Contoh == |
|||
* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan |
|||
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 [[bilangan]] yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar dapat digunakan cara pemfaktoran. |
|||
* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math> |
|||
bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math><ref>{{Cite book|date=2023|title=Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A|location=Bandung|publisher=Tim KTO Matematika|url-status=live}}</ref> atau <math>(a,b)</math><ref name=":02" />. |
|||
=== Cara sederhana === |
|||
=== Peristilahan === |
|||
Mencari FPB dari '''12''' dan '''20''': |
|||
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,'''<ref>{{Cite book|last=Achmad Arifin|date=2000|title=Aljabar|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=979-9299-13-6|url-status=live}}</ref> atau '''pembagi bersama terbesar''',<ref>{{Cite book|last=Wono Setya Budhi|date=2006|title=Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika|location=Jakarta|publisher=Ricardo|isbn=979-98175-0-1|url-status=live}}</ref> dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.<ref>{{Cite book|last=Eka Susilowati|date=2017|title=Teori Bilangan|location=Yogyakarta|publisher=Matematika|url-status=live}}</ref> |
|||
* Faktor dari 12 = 1, 2, 3, '''4''', 6 dan 12 |
|||
* Faktor dari 20 = 1, 2, '''4''', 5, 10 dan 20 |
|||
* FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''4'''. |
|||
Mencari FPB dari '''15''' dan '''25''': |
|||
* Faktor dari 15 = 1, 3, '''5''', dan 15 |
|||
* Faktor dari 25 = 1, '''5''', dan 25 |
|||
* FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''5'''. |
|||
== Contoh == |
|||
Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231: |
|||
* Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan: |
|||
147 189 231 |
|||
/\ /\ /\ |
|||
3 49 3 63 3 77 |
|||
/\ /\ /\ |
|||
7 7 7 9 7 11 |
|||
/\ |
|||
3 3 |
|||
* Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorisasinya: |
|||
:Faktorisasi 147 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>2</sup>''' |
|||
:Faktorisasi 189 = '''3<sup>3</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' |
|||
:Faktorisasi 231 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' x '''11<sup>1</sup>''' |
|||
* Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini '''3''' dan '''7'''. |
|||
* Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' = 21. |
|||
* Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah '''21'''. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231. |
|||
* Anom dalam Intelegen of East, KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil. |
|||
== Algoritme Euklidean == |
|||
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math> |
|||
Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritme Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut: |
|||
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math> |
|||
Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. |
|||
:* a<sub>1</sub> = maximum(a,b)-minimum(a,b) |
|||
::b<sub>1</sub> = minimum(a,b) |
|||
== Perhitungan FPB == |
|||
:* a<sub>2</sub> = maximum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)-minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>) |
|||
::b<sub>2</sub> = minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>) |
|||
=== Faktorisasi prima === |
|||
:::'''.''' |
|||
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor |
|||
:::'''.''' |
|||
:::'''.''' |
|||
[[Berkas:Factor_Tree_60.svg|nirbing|190x190px]][[Berkas:Factor_Tree_24.svg|nirbing|190x190px]] |
|||
:* a<sub>i</sub> = maximum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)-minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>) |
|||
::b<sub>i</sub> = minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>) |
|||
diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2 \times 3 = 12</math>. |
|||
Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>. |
|||
=== Algoritma Euklides === |
|||
FPB dari a dan b adalah a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>. |
|||
{{Main|Algoritme Euklides|l1=Algoritma Euklides}} |
|||
Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre> |
|||
1. masukkan nilai a dan b; |
|||
2. misalkan u:=a dan v:=b; |
|||
3. selama u ≠ v, ulangi |
|||
u = maximum (u,v) - minimum (u,v) |
|||
v = minimum (u,v); |
|||
4. FPB(a,b)=u; |
|||
</pre> |
|||
== Sifat == |
|||
Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut: |
|||
Untuk sebarang bilangan bulat <math>a,b,c</math>, dengan <math>|a|</math> adalah [[Nilai absolut|nilai multak]] dari <math>a</math>, berlaku: |
|||
<math>\ |
* [[Sifat komutatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>. |
||
* [[Sifat asosiatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b,c)=\operatorname{FPB}(a,\operatorname{FPB}(b,c))=\operatorname{FPB}(\operatorname{FPB}(a,b),c)</math>. |
|||
* [[Sifat distributif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(ac,bc) = c \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math> |
|||
* Jika <math>c</math> faktor persekutuan <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>c \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>, dan <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{\operatorname{FPB}(a,b)}{c}</math>, sehingga jika <math>d=\operatorname{FPB}(a,b)</math> maka <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math> |
|||
* <math>\operatorname{FPB}(\pm a,\pm b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math> |
|||
* <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(a,b-a)=\operatorname{FPB}(a,b+a)=\operatorname{FPB}(a,b-ca)</math> |
|||
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = |a|</math> |
|||
* <math>\operatorname{FPB}(a,1) = 1</math> |
|||
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika '''<math>b</math>''' habis membagi <math>a</math>. |
|||
== Koprima == |
|||
<math>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)</math> |
|||
{{Main|Koprima (bilangan)}} |
|||
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|archive-date=2023-04-06|dead-url=no|access-date=2021-11-20}}</ref> |
|||
== Penerapan == |
|||
=== Menyederhanakan pecahan === |
|||
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web|title=Greatest Common Factor|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|website=www.mathsisfun.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|archive-date=2005-10-29|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref>. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai |
|||
: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>. |
|||
=== Kelipatan persekutuan terkecil === |
|||
Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar <math>O(\log(\min(a, b)))</math> pembagian. |
|||
{{Main|Kelipatan persekutuan terkecil}} |
|||
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Common Multiple|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|archive-date=2023-05-16|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref></blockquote> |
|||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
* [[Kelipatan |
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK) |
||
== Rujukan == |
|||
<references responsive="1"></references> |
|||
{{Authority control}} |
|||
[[Kategori:Matematika]] |
[[Kategori:Matematika]] |
Revisi terkini sejak 29 Juli 2024 10.25
Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan.
Definisi
[sunting | sunting sumber]Suatu bilangan disebut faktor persekutuan bilangan dan jika habis membagi bilangan dan sekaligus.
Suatu bilangan disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:[1]
- faktor persekutuan bilangan dan ; dan
- jika faktor persekutuan bilangan dan maka berlaku
bilangan ditulis sebagai [2] atau [1].
Peristilahan
[sunting | sunting sumber]Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar,[3] atau pembagi bersama terbesar,[4] dilambangkan dengan . Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi , berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.[5]
Contoh
[sunting | sunting sumber]- Faktor dari adalah
- Faktor dari adalah
Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan .
Perhitungan FPB
[sunting | sunting sumber]Faktorisasi prima
[sunting | sunting sumber]FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
diperoleh dan . Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, .
Algoritma Euklides
[sunting | sunting sumber]Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan dan adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:
1. masukkan nilai a dan b; 2. misalkan u:=a dan v:=b; 3. selama u ≠ v, ulangi u = maximum (u,v) - minimum (u,v) v = minimum (u,v); 4. FPB(a,b)=u;
Sifat
[sunting | sunting sumber]Untuk sebarang bilangan bulat , dengan adalah nilai multak dari , berlaku:
- Sifat komutatif, yaitu .
- Sifat asosiatif, yaitu .
- Sifat distributif, yaitu
- Jika faktor persekutuan dan , maka , dan , sehingga jika maka
- Untuk sebarang bilangan bulat positif , jika dan hanya jika habis membagi .
Koprima
[sunting | sunting sumber]Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.[6]
Penerapan
[sunting | sunting sumber]Menyederhanakan pecahan
[sunting | sunting sumber]Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan[7]. Sebagai contoh, pecahan dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari dan adalah . Kita tuliskan sebagai
- .
Kelipatan persekutuan terkecil
[sunting | sunting sumber]Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.
.[8]
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Rujukan
[sunting | sunting sumber]- ^ a b Sukirman (2016). Teori Bilangan. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-602-392-047-1.
- ^ Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika. 2023.
- ^ Achmad Arifin (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 979-9299-13-6.
- ^ Wono Setya Budhi (2006). Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika. Jakarta: Ricardo. ISBN 979-98175-0-1.
- ^ Eka Susilowati (2017). Teori Bilangan. Yogyakarta: Matematika.
- ^ Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-06. Diakses tanggal 2021-11-20.
- ^ "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-10-29. Diakses tanggal 2021-11-21.
- ^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-16. Diakses tanggal 2021-11-21.