Sifat asosiatif

Templat:Kaidah transformasi

Dalam matematika, sifat asosiatif^[1] adalah sifat dari beberapa operasi biner, yang berarti bahwa mengatur ulang tanda kurung dalam ekspresi yang tidak mengubah hasilnya. Dalam logika proposisional, asosiativitas adalah valid kaidah penggantian untuk ekspresi dalam bukti logika.

Dalam ekspresi dengan dua atau lebih dari satu baris dari operasi asosiatif, urutan operasi untuk urutan operand yang tidak berubah. Artinya, menata ulang tanda kurung dalam ekspresi tersebut tidak akan mengubah nilainya. Perhatikan persamaan berikut:

(2+3)+4=2+(3+4)=9\,

2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24.

Meskipun tanda kurung diatur ulang pada setiap baris, nilai ekspresi tersebut tidak diubah. Karena penjumlahan dan perkalian terdapat pada bilangan riil, maka dikatakan bahwa "penjumlahan dan perkalian bilangan riil adalah operasi asosiatif".

Asosiatif berbeda dengan komutativitas, dengan urutan dua operan memengaruhi hasil. Misalnya, urutan tidak menjadi masalah dalam perkalian bilangan riil, yaitu a × b = b × a, jadi perkalian bilangan riil adalah operasi komutatif.

Operasi asosiatif dalam matematika; pada kenyataannya, banyak struktur aljabar (yaitu semigrup dan kategori) secara eksplisit membutuhkan operasi biner untuk menjadi asosiatif.

Namun, terdapat operasi yang bukan asosiatif yaitu nonasosiatif; beberapa contoh termasuk pengurangan, eksponen, dan perkalian silang vektor. Berbeda dengan sifat teoritis bilangan riil, penambahan bilangan titik pengambangan dalam ilmu komputer yang tidak bersifat asosiatif, dan pilihan cara mengaitkan ekspresi dapat berpengaruh signifikan pada kesalahan pembulatan.

Definisi

Secara formal, sebuah operasi biner $*$ pada sebuah himpunan $S$ disebut asosiatif jika memenuhi hukum asosiatif.

$(x*y)*z=x*(y*z)$ , untuk semua $x,y,z$ dalam $S$

Disini $*$ digunakan untuk menggantikan simbol operasi, yang mungkin merupakan simbol apapun, dan meskipun ketiadaan dari simbol (penjajaran) sebagai untuk perkalian.

$(xy)z=x(yz)=xyz$ , untuk semua $x,y,z$ dalam $S$ .

Hukum asosiatif bisa juga diekspresikan dalam notasi fungsional jadiː $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ .

Hukum asosiatif yang digeneralisasikan

Jika sebuah operasi biner adalah asosiatif, penerapan berulang dari operasi menghasilkan hasil yang sama terlepas dan bagaimana pasangan tanda kurung yang sah disisipkan dalam ekspresi.^[2] Ini disebut hukum asosiatif yang digeneralisasi. Misalnya, sebuah porduk fari empat anggota bisa ditulis bisa ditulis, tanpa menggantikan urutan dari faktor-faktor, dalam lima kemungkinanː

((ab)c)d

(ab)(cd)

(a(bc))d

a((bc)d)

a(b(cd))

Jika operasi produk adalah asosiatif, hukum asosiatif yang digeneralisasi mengatakan bahwa semua rumus-rumus ini akan menghasilkan hasil yang sama. Jadi kecuali rumus dengan tanda kurung yang dihilangkan sudah memiliki sebuah arti yang berbeda (lihat bawah), tanda kurung bisa dianggap tidak perlu dan produk"nya" bisa ditulis dengan jelas sebagaiː

abcd.

Sebagai bilangan dari anggota-anggota meningkat, bilangan dari kemungkinan cara untuk memasukkan tanda kurung tumbuh dengan cepat, tetapi tidak perlu untuk disambiguasi.

Sebuah contoh di mana tidak bekerja adalah bikondisional logis $\leftrightarrow$ . Ini adalah asosiatif, demikian $A\leftrightarrow (B\leftrightarrow C)$ ekuivalen dengan $(A\leftrightarrow B)\leftrightarrow C$ , namun $A\leftrightarrow B\leftrightarrow C$ paling umum mengartikan ( $A\leftrightarrow B$ dan $B\leftrightarrow C$ ), yang tidak ekuivalen

Contoh

Beberapa contoh dari operasi-operasi asosiatif termasuk yang berikut ini.

Penggabungan dari tiga rangkaian "hello", " ", "world" bisa dihitung oleh penggabungan dua rangkaian pertama (diberikan "hello ") dan menambhakan rangkaian ketiga ("world"), atau dengan menggabungkan rangkaian kedua atau ketiga (diberikan " world") dan menggabungkan rangkaian pertama ("hello") dengan hasilnya. Keuda metodenya menghasilkan hasil yang sama, penggabungan rangkaian adalah asosiatig (tetapi bukan komutatif).
Dalam aritmetika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif, yaitu,

\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{untuk semua }}x,y,z\in \mathbb {R} .

Karena asosiatif, pengelompokan tanda kurung bisa dihilangkan tanpa kemenduaan.

Operasi biasa $x*y=x$ (artinya, hasilnya adalah argumen pertama, tidak peduli apa argumen keduanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif. Demikian juga, operasi trivial $x\circ y=y$ (artinya, hasilnya adalah argumen kedua, tidak peduli apa argumen kepertamanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif.
Penjumlahan dan peralian dari bilangan kompleks dan kuaternion adalah asosiatif. Penjumlahan dari oktonion juga asosiatif, tetapi perkalian dari oktonion adalah tidak asosiatif.
Fungsi faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil bersifat secara asosiatif.

\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ for all }}x,y,z\in \mathbb {Z} .

Mengambil irisan atau gabungan dari himpunan-himpunanː

\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for all sets }}A,B,C.

Jika $M$ adalah beberapa himpunan dan $S$ melambangkan himpunan dari semua fungsi dari $M$ ke $M$ , maka operasi dari komposisi fungsi pada $S$ adalah asosiatifː

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{for all }}f,g,h\in S.

Sedikit lebih umum, diberikan empat himpunan $M$ , $N$ , $P$ , dan $Q$ , dengan $h$ ː $M$ ke $N$ , $g$ ː $N$ ke $P$ , dan $f$ ː $P$ ke $Q$ , makaː

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h

seperti sebelumnya. Pendeknya, komposisi dari peta selalu asosiatif.

Tinjaulah sebuah himpunan dengan tiga anggota, $A$ , $B$ , dan $C$ . Operasi berikut iniː


×	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

asosiatif. Demikian, sebagai contoh,

A(BC)=(AB)C=A

. Operasi ini tidak komutatif.

Karena matriks mewakili fungsi linear, dan perkalian matriks mewakili komposisi fungsi, salah satunya bisa secepatnya menyimpulkan bahwa perkalian matriks adalah asosiatif.^[3]

Logika proposisional

Aturan penggantian

Dalam logika proposisional kebenaran fungsional standar, asosiasi,^[4]^[5] atau asosiatif^[6] adalah dua aturan penggantian yang sah. Peraturannya memungkinkan salah satunya untuk memindahkan tanda kurung dalam ekspresi logis dalam bukti logis. Aturan (menggunakan notasi penghubung logis adalahː

(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

dan

(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),

dimana " $\Leftrightarrow$ " adalah simbol metalogis mewakili "bisa menggantikan dalam sebuah bukti dengan."

Penghubung fungsional kebenaran

Asosiatif adalah sebuah sifat dari beberapa penghubung logis. Kesetaraan logis berikut mendemonstrasikan bahwa asosiatif adalah sebuah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah tautologi fungsional kebenaran.^[7]

Asosiatif dari disjungsi

((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))

(P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

Asosatif dari konjungsi

((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))

(P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)

Asosatif dari kesetaraan

((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))

(P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)

Penolakan bersama adalah sebuah contoh dari sebuah penghubung fungsional kebenaran yang bukan asosiatif.

Operasi nonasosiatif

Sebuah operasi biner $*$ pada sebuah himpunan $S$ yang tidak memenuhi hukum asosiatif disebut nonasosiatif. Secara simbolis,

Untuk sebuah operasi, urutan dari evaluasi itu penting. Sebagai contohː

Pengurangan

(5-3)-2\,\neq \,5-(3-2)

Pembagian

$4\div (2\div 2)\neq (4\div 2)\div 2$

Eksponensiasi/Eksponen

2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}

Studi tentang struktur-struktur nonasosiatif muncul dari alasan-alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik. Satu area dalam aljabar nonasosiatif yang tumbuh sangat besar adalah aljabar Lie. Disana hukum asosiatif dignatikan oleh identitas Jacobi. Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari transformasi infinitesimal, dan telah menjadi di mana-mana dalam matematika.

Terdapat jenis-jenis tertentu lainnya yang telah dipelajari secara mendalam; ini cenderung berasal dari beberapa penerapan yang spesifik atau bidang-bidang seperti matematika kombinatorial. Contoh lainnya adalah kuasigrup, kuasibidang, gelanggang nonasosiatif, aljabar nonasosiatif dan magma nonasosiatif komutatif.

Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambang

Dalam matematika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif. Sebaliknya, dalam ilmu komputer, penjumlahan dan perkalian dari bilangan titik mengambang tidak asosiatif, sebagai galat pembulatan diperkenalkan ketika nilai-nilai berukuran berbeda digabungkan berbeda.^[8]

Untuk mengilustrasikan ini, tinjaulah sebuah representasi titik mengambang dengan sebuah mantissa 4-bit.

(1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁰) + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2¹ + 1.000₂×2⁴ = 1.001₂×2⁴

1.000₂×2⁰ + (1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴) = 1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2⁴

Meskipun sebagian besar komputer-komputer menghitung dengan 24 atau 53 bit mantissa,^[9] ini adalah sumber yang penting dari galat pembulatan, dan mendekati seperti algoritma penjumlahan Kahan adalah cara untuk memperkecil galat-galatnya. Itu bisa sangat berpengalaman dlam komputer paralel.^[10]^[11]

Notasi untuk operasi-operasi nonasosiastif

Secara umum, tanda kurung pasti digunakan untuk menunjukkan urutan evaluasi jika sebuah operasi nonasosiatif muncul lebih dari satu dalam sebuah ekspresi (kecuali notasinya menentukan urutannya dengan cara lain, seperti ${\frac {2}{3/4}}$ ). Namun, matematikawan setuju pada sebuah urutan evaluasi tertentu untuk beberapa umum operasi nonasosiatif. Ini meyederhanakan sebuah konvensi notasi untuk menghindari tanda kurung.

Sebuah operasi asosiatif kiri adalah operasi nonasosiatif yang secara konvensional dievaluasikan dari kiri ke kanan, yaitu,

\left.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{for all }}w,x,y,z\in S

sedangkan sebuah operasi asosiatif kanan secara konvensional dievaluasikan dari kanan ke kiri.

\left.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{for all }}w,x,y,z\in S

Kedua operasi asosiatif kiri dan asosiatif kanan terjadi. Operasi asosiatif kiri termasuk yang berikut ini.

Pengurangan dan pembagian dari bilangan realː^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]
Penerapanː fungsi

(f\,x\,y)=((f\,x)\,y)

Notasi ini bisa dimotivasi dengan currying isomorfisme.

Operasi asosiatif kanan termasuk yang berikut ini.

Eksponensiasi atau bilangan real dalam notasi superskripː

x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}

Eksponensiasi biasanya digunakan dengan tanda kurung atau asosatif kanan karena sebuah operasi eksponensiasi asosiatif kiri yang berulang tidak banyak digunakan. Pangkat berulang sering ditulis ulang dengan perkalian

(x^{y})^{z}=x^{(yz)}

Diformat dengan benar, supeskrip secara inheren berperilaku sebagai sebuah himpunan dari tanda kurung; misalnya, dalam ekspresi

2^{x+3}

, penjumlahan dilkaukan sebelum eksponensiasi meskipun tidak ada tanda kurung eksplisit

2^{(x+3)}

melilitnya. Demikian diberikan sebuah ekspresi seperti

x^{y^{z}}

, eksponen penuh

y^{z}

dari dasar

x

dievaluasikan pertama. Namun, dalam beberapa konteks, termasuk tulis tangan, perbedaan antara

{x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}

,

x^{yz}=x^{(yz)}

dan

x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}

bisa jadi sulit untuk dilihat. Dalam kasus seperti itu, asosiatif kanan biasanya tersirat.

Definisi fungsi

Menggunakan notasi asosiatif kanan untuk operasi-operasi ini bisa dimotivasi oleh korespondensi Curry-Howard dan dengan currying isomorfisme.

Operasi nonasosiatif untuk yang urutan evaluasi yang tidak konvensional didefinisikan termasuk sebagai berikut.

Eksponensiasi dari bilangan real dalam notasi infiks.^[17]

(x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z)

Operator panah atas Knuth

a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c

a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c

Mengambil produk silang
Mengambil rata-rata berpasangan dari bilangan realː

{(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}x\neq z.

Mengambil komplemen relatif dari himpunan $(A\backslash B)\backslash C$ tidak sama dengan $A\backslash (B\backslash C)$ . (Membandingkan nonimplikasi material dalam logika.)

Lihat pula

Uji asosiatif Light
Deret teleskopik, penggunaan dari asosatif penjumlahan untuk membatalkan istilah dalam sebuah deret tak terhingga
Sebuah semigrup adalah sebuah himpunan dengan operasi biner asosiatif.
Komutatif dan distributif adalah dua lainnya yang sering dibahas sifat-sifat dari operasi-operasi biner.
Asosiatif pangkat, alternatif, fleksibilitas, dan asosiatif N-ari adalah bentuk-bentuk yang lemah dari asosiatif.
Identitas Moufang juga memberikan bentuk yang lemah dari asosiatif.

Referensi

^ Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (edisi ke-1st). Springer. hlm. 24. ISBN 978-0387905181. Definisi 1.1 (i)a (bc) = (ab) c untuk semua a, b, c dalam G.
^ Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. hlm. 78. ISBN 978-0-471-51001-7. If $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)$ are elements of a set with an associative operation, then the product $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product
^ "Matrix product associativity". Khan Academy. Diakses tanggal 5 June 2016.
^ Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. hlm. 321. ISBN 9781259690877.
^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th edition). Essex: Pearson Education. hlm. 387. ISBN 9781292024820.
^ Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (13th edition). Boston: Cengage Learning. hlm. 427. ISBN 9781305958098.
^ "Symbolic Logic Proof of Associativity". Math.stackexchange.com. 22 March 2017.
^ Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2
^ IEEE Computer Society (29 August 2008). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.
^ Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, Effects of Floating-Point nonassociativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems (PDF), diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 15 February 2013, diakses tanggal 8 April 2014
^ Goldberg, David (March 1991). "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic". ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-04-06. Diakses tanggal 20 January 2016. (,)
^ George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
^ Education Place: The Order of Operations Diarsipkan 2017-06-08 di Wayback Machine.
^ Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s
^ Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties Diarsipkan 2022-07-16 di Wayback Machine., section 9
^ Bronstein: de:Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
^ Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 August 2016. Retrieved 20 September 2016.

[1] Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (edisi ke-1st). Springer. hlm. 24. ISBN 978-0387905181. Definisi 1.1 (i)a (bc) = (ab) c untuk semua a, b, c dalam G.

[2] Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. hlm. 78. ISBN 978-0-471-51001-7. If $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)$ are elements of a set with an associative operation, then the product $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product

[3] "Matrix product associativity". Khan Academy. Diakses tanggal 5 June 2016.

[4] Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. hlm. 321. ISBN 9781259690877.

[5] Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th edition). Essex: Pearson Education. hlm. 387. ISBN 9781292024820.

[6] Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (13th edition). Boston: Cengage Learning. hlm. 427. ISBN 9781305958098.

[7] "Symbolic Logic Proof of Associativity". Math.stackexchange.com. 22 March 2017.

[8] Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2

[9] IEEE Computer Society (29 August 2008). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.

[10] Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, Effects of Floating-Point nonassociativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems (PDF), diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 15 February 2013, diakses tanggal 8 April 2014

[Goldberg_1991-11] Goldberg, David (March 1991). "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic". ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-04-06. Diakses tanggal 20 January 2016. (,)

[12] George Mark Bergman: Order of arithmetic operations

[13] Education Place: The Order of Operations Diarsipkan 2017-06-08 di Wayback Machine.

[14] Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s

[15] Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties Diarsipkan 2022-07-16 di Wayback Machine., section 9

[Bronstein_1987-16] Bronstein: de:Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3

[Codeplea_2016-17] Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 August 2016. Retrieved 20 September 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]