Koprima (bilangan): Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 9 Februari 2021 11.51

Dua bilangan bulat a dan b dikatakan koprima (relatif prima atau saling prima) apabila FPB kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1. Karena algoritme Euklidean merupakan cara yang cepat untuk menghitung FPB, algoritme tersebut juga merupakan cara yang cepat untuk memeriksa sifat koprima.

Notasi

Notasi standar untuk bilangan bulat yang relatif prima $a$ dan $b$ adalah: $gcd(a, b) = 1$ (bahasa Indonesia: $fpb(a, b) = 1$ dan $(a, b) = 1$ . Pada makalah tahun 1989, Graham, Knuth, dan Patashnik mengusulkan notasi $a\perp b$ digunakan untuk menandakan bahwa $a$ dan $b$ relatif prima dan istilah "prima" digunakan bukannya koprima (misalnya $a$ prima terhadap $b$ ).^[1]

Sifat

Bilangan 1 dan −1 adalah satu-satunya bilangan bulat yang koprima dengan setiap bilangan bulat, dan satu-satunya yang koprima dengan 0.

Beberapa pernyataan berikut bersifat ekuivalen dengan menyebut $a$ dan $b$ koprima:

Tidak ada bilangan prima yang membagi baik $a$ maupun $b$ .
Terdapat bilangan bulat $x$ dan $y$ sehingga $ax + by = 1$ (see identitas Bézout).
Bilangan bulat $b$ punya invers perkalian modulo $a$ , artinya ada suatu bilangan bulat $y$ yang menyebabkan $by \equiv 1 (mod a)$ .
Setiap pasang relasi kekongruenan dengan variabel $x$ , dalam bentuk $x \equiv k (mod a)$ dan $x \equiv m (mod b)$ , punya penyelesaian (teorema sisa Tiongkok); bahkan penyelesaiannya bisa digambarkan dengan satu relasi kekongruenan modulo $ab$ .
Kelipatan persekutuan terkecil $a$ dan $b$ sama dengan hasil kali $ab$ , dalam bentuk persamaan $lcm(a, b) = ab$ .^[2]

Catatan kaki

^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, hlm. 115, ISBN 0-201-14236-8
^ Ore 1988, p. 47

Daftar rujukan

Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5

Bacaan lebih lanjut

Lord, Nick (March 2008), "A uniform construction of some infinite coprime sequences", Mathematical Gazette, 92: 66–70 .

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[1] Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, hlm. 115, ISBN 0-201-14236-8

[2] Ore 1988, p. 47

[1]

[2]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 {{kembangkan}}
 {{rujukan}}
-Dua [[bilangan bulat]] a dan b dikatakan '''koprima''' ('''relatif prima''' atau '''saling prima''') apabila [[Faktor persekutuan terbesar|FPB]] kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1.
+Dua [[bilangan bulat]] a dan b dikatakan '''koprima''' ('''relatif prima''' atau '''saling prima''') apabila [[Faktor persekutuan terbesar|FPB]] kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1. Karena [[algoritme Euklidean]] merupakan cara yang cepat untuk menghitung [[Faktor persekutuan terbesar|FPB]], algoritme tersebut juga merupakan cara yang cepat untuk memeriksa sifat koprima.
+== Notasi ==
+Notasi standar untuk bilangan bulat yang relatif prima {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} adalah: {{math|1=gcd(''a'', ''b'') = 1}} (bahasa Indonesia: {{math|1=fpb(''a'', ''b'') = 1}} dan {{math|1=(''a'', ''b'') = 1}}. Pada makalah tahun 1989, [[Ronald Graham|Graham]], [[Donald Knuth|Knuth]], dan [[Oren Patashnik|Patashnik]] mengusulkan notasi <math>a\perp b</math> digunakan untuk menandakan bahwa {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} relatif prima dan istilah "prima" digunakan bukannya koprima (misalnya {{mvar|a}} ''prima'' terhadap {{mvar|b}}).<ref>{{citation|first1=R. L.|last1=Graham|first2=D. E.|last2=Knuth|first3=O.|last3=Patashnik|title=Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science|publisher=Addison-Wesley|year=1989|page=115|isbn=0-201-14236-8}}</ref>
+== Sifat ==
+Bilangan 1 dan −1 adalah satu-satunya bilangan bulat yang koprima dengan setiap bilangan bulat, dan satu-satunya yang koprima dengan 0.
+Beberapa pernyataan berikut bersifat ekuivalen dengan menyebut {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} koprima:
+*Tidak ada [[bilangan prima]] yang membagi baik {{math|''a''}} maupun {{math|''b''}}.
+*Terdapat bilangan bulat {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} sehingga {{math|1=''ax'' + ''by'' = 1}} (see [[identitas Bézout]]).
+*Bilangan bulat {{math|''b''}} punya [[invers perkalian modular|invers perkalian]] modulo {{math|''a''}}, artinya ada suatu bilangan bulat {{math|''y''}} yang menyebabkan {{math|''by'' ≡ 1 (mod ''a'')}}.
+*Setiap pasang [[relasi kekongruenan]] dengan variabel {{math|''x''}}, dalam bentuk {{math|''x'' &equiv; ''k'' (mod ''a'')}} dan {{math|''x'' &equiv; ''m'' (mod ''b'')}}, punya penyelesaian ([[teorema sisa Tiongkok]]); bahkan penyelesaiannya bisa digambarkan dengan satu relasi kekongruenan modulo {{math|''ab''}}.
+*[[Kelipatan persekutuan terkecil]] {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} sama dengan hasil kali {{math|''ab''}}, dalam bentuk persamaan {{math|1=lcm(''a'', ''b'') = ''ab''}}.<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 47}}</ref>
+==Catatan kaki==
+{{Reflist}}
+==Daftar rujukan==
+* {{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and Its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5|url-access=registration|url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey}}
+==Bacaan lebih lanjut==
+*{{Citation |last=Lord |first=Nick |title=A uniform construction of some infinite coprime sequences |journal=Mathematical Gazette |volume=92 |date=March 2008 |pages=66–70 }}.
 {{matematika-stub}}
-[[Kategori:Matematika]]
+[[Kategori:Teori bilangan]]