Lompat ke isi

Identitas Bézout

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam teori bilangan elementer, identitas Bézout, atau disebut juga lema Bézout, menyatakan teorema berikut:

Identitas Bézout — Misalkan dan adalah bilangan bulat dengan faktor persekutuan terbesar , maka akan ada bilangan bulat dan sehingga bilangan . Lebih umumnya lagi, bilangan bulat dengan bentuk adalah kelipatan dari .

Bilangan bulat dan disebut koefisien Bézout untuk , dan bilangan-bilangan tersebut tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dihitung dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas (extended Euclidean algorithm). Jika dan tidak nol, algoritma Euklides diperluas menghasilkan salah satu dari dua pasangan sedemikian rupa sehingga dan . Kesamaan tersebut dapat terjadi hanya jika salah satu dari dan adalah kelipatan dari bilangan lain.

Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar, seperti lema Euklides atau teorema sisa Tiongkok, dihasilkan dari identitas Bézout.

Struktur penyelesaian

[sunting | sunting sumber]

Jika dan adalah bukan bilangan tak nol, serta satu buah pasangan koefisien Bézout telah dihitung (katakanlah dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas), maka semua pasangan dapat dinyatakan berikut:dengan menyatakan sebarang bilangan bulat, merupakan faktor persekutuan terbesar dari dan . Pada bentuk tersebut, pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat. Sebaliknya, jika dan adalah bilangan tak nol, maka tepatnya akan ada dua dari pasangan tersebut memenuhi dan , dan kesamaan tersebut hanya dapat terjadi jika salah satu dari dan membagi bilangan lain.

Solusi ini bergantung pada sifat pembagian Euklides, yang mengatakan sebagai berikut: diberikan dua bilangan bulat dan . Jika tidak membagi , maka terdapat satu buah pasangan sehingga dan , dan sehingga juga dan .

Dua pasangan dari koefisien Bézout kecil diperoleh dari pasangan dengan memilih salah satu dari dua bilangan bulat tersebut di dekat untuk di rumus sebelumnya.

Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal tersebut.

Misalkan dan , sehingga . Identitas Bézout berikut, dengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya, ditulis sebagai berikut:

Jika adalah pasangan asli dari koefisien Bézout , akan menghasilkan pasangan minimal berikut dengan memilih dan , yaitu: , dan .

Diberikan bilangan bulat taknol dan , dan misalkan Himpunan tidak kosong karena berisi ataupun (dengan dan ). Karena adalah himpunan bilangan bulat positif takkosong, memiliki anggota minimum , berdasarkan well-ordering principle. Untuk membuktikan bahwa adalah faktor persekutuan terbesar dari dan , maka harus dibuktikan bahwa adalah pembagi persekutuan dari dan , dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya , maka .

Pembagian Euklides dari oleh dapat ditulis dengan . Sisa pembagian terdapat di , sebabDengan demikian, adalah bilangan dari bentuk , dan karena itu . Akan tetapi, dan adalah bilangan bulat positif terkecil di S, maka sisa pembagian tidak terdapat di , sehingga mengakibatkan menjadi 0. Maka dari itu, dapat disiratkan bahwa pembagi . Dengan cara yang serupa, juga pembagi , dan demikian adalah pembagi persekutuan dari dan .

Sekarang, misalkan adalah sebarang pembagi persekutuan dari dan , dalam artian bahwa akan ada dan sehingga dan . Jadi,Maka dapat dikatakan bahwa adalah pembagi , dan demikian bahwa .

Perumuman

[sunting | sunting sumber]

Perumuman untuk tiga bilangan bulat atau lebih

[sunting | sunting sumber]

Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jikamaka akan terdapat bilangan bulat sehingga memiliki sifat berikut bahwa adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan .

Perumuman untuk polinomial

[sunting | sunting sumber]

Tak selamanya bahwa identitas Bézout berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, ketika mengerjakan gelanggang polinomial bilangan bulat, faktor persekutuan terbesar dari 2x dan x2 adalah x, tetapi hasil pembagian persekutuan tersebut tidak mempunyai sebarang koefisien bilangan bulat dan yang memenuhi 2xp + x2q = x.

Sayangnya, identitas Bézout's bekerja untuk polinomial univariat atas lapangan, yang dilakukan dengan cara yang sama untuk bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dihitung menggunakan algoritma Euklides diperluas (extended Euclidean algorithm).

Karena akar dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan teorema dasar aljabar mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat f dan g dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial dan sehingga af + bg = 1 jika dan hanya jika f dan g tidak memiliki akar di sebarang lapangan tertutup secara aljabar (biasanya di lapangan bilangan kompleks).

Perumuman untuk PID

[sunting | sunting sumber]

Identitas Bézout tidak hanya berlaku di gelanggang bilangan bulat, tetapi juga berlaku di PID yang lain. PID pada konteks ini berarti principle ideal domain. Jika R adalah PID, a dan b merupakan anggota R, seta d merupakan faktor persekutuan terbesar dari a dan b, maka akan ada anggota x dan y di R sehingga Hal ini dikarenakan bahwa ideal adalah principal dan sama dengan

identitas Bézout yang berlaku dalam suatu domain integral disebut domain Bézout.

Seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama Étienne Bézout membuktikan identitas Bezout untuk polinomial.[1] Sayangnya, pernyataan untuk bilangan bulat ini sudah ditemukan dalam karya sebelumnya milik seorang matematikawan berkebangsaan Prancis lainnya yang bernama Claude Gaspard Bachet de Méziriac.[2][3][4]

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres. 
  2. ^ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6. 
  3. ^ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (edisi ke-2nd). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. hlm. 18–33.  Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." Masalah ini, yaitu , adalah kasus istimewa dari persamaan Bézout, persamaan tersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang ditemukan di halaman 199 ff.
  4. ^ See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]