Darab (matematika)

Dalam matematika, darab adalah hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor untuk dikalikan. Misalnya, 30 adalah produk dari 6 dan 5 (hasil perkalian), dan $x\cdot (2+x)$ adalah hasil kali $x$ dan $(2+x)$ (menunjukkan bahwa kedua faktor tersebut harus dikalikan bersama).

Dimana urutan real atau kompleks adalah perkalian tidak berpengaruh pada darab; ini dikenal sebagai hukum komutatif dari perkalian. Ketika matriks atau anggota dari berbagai aljabar asosiatif lainnya dikalikan, darab biasanya tergantung pada urutan faktor. Perkalian matriks, misalnya, bukan komutatif, demikian juga perkalian dalam aljabar lain secara umum.

Ada banyak jenis darab dalam matematika: selain dapat mengalikan bilangan saja, polinomial atau matriks, apabila mendefinisikan produk pada banyak struktur aljabar yang berbeda.

Darab dari dua bilangan

Artikel utama: perkalian

Darab dari dua bilangan asli

3 kali 4 adalah 12

Menempatkan beberapa batu ke dalam pola persegi panjang dengan baris $r$ dan kolom $s$ memberikan

$r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ kali}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+jsa\cdots +s} _{r{\text{ kali}}}$

Darab dari dua bilangan bulat

Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. Darab ditentukan oleh darab dari jumlah positif mereka, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

${\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}$

Kaidah ini merupakan konsekuensi yang diperlukan dari menuntut distributivitas perkalian terhadap penjumlahan, dan bukan merupakan kaidah tambahan.

Dengan kata-kata, kita memiliki:

• Minus kali Minus memberi Plus
• Minus kali Plus memberi Minus
• Plus kali Minus memberi Minus
• Plus kali Plus memberi Plus

Perkalian dua pecahan

Dua pecahan apabila dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya, adalah:

${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}$

Darab dua bilangan real

Untuk definisi yang tepat dari darab dua bilangan real, lihat Konstruksi bilangan real.

Rumus

Teorema — Misalkan a > 0 dan b > 0. Jika 1 < p < ∞ dan q := pp - 1 maka

ab = min0 < t < ∞ t ^p a ^pp + t ^{- q} b ^qq.

Bukti —

Tentukan fungsi bernilai real f pada bilangan real positif dengan

f (t) := t ^p a ^pp + t ^−q b ^qq

untuk setiap t > 0 lalu hitung minimumnya.

Darab dari dua bilangan kompleks

Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa $i^{2}=-1$, sebagai berikut:

${\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\cdot c\,i+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}$

Makna geometris dari perkalian kompleks

Bilangan kompleks dalam koordinat polar.

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam koordinat polar:

$a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }$

Selain itu,

$c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },$

apabila memperoleh

$(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.$

Arti geometris adalah bahwa besaran dikalikan dan argumen ditambahkan.

Darab dari dua kuaternion

Produk dari dua quaternions dapat ditemukan di artikel quaternions. Perhatikan, dalam hal ini, bahwa $a\cdot b$ dan $b\cdot a$ secara umum berbeda.

Darab barisan

Lihat pula: Perkalian § Darab barisan

Operator perkalian untuk darab barisan dilambangkan dengan huruf Yunani kapital pi ∏ (dalam analogi penggunaan huruf kapital Sigma ∑ sebagai simbol penjumlahan). Misalnya, ekspresi $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$ adalah cara lain untuk menulis $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$.

Darab dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan adalah bilangan-diri; darab dari tidak ada faktor sama sekali dikenal sebagai darab kosong, dan sama dengan 1.

Gelanggang komutatif

Gelanggang komutatif memiliki operasi darab.

Kelas residu bilangan bulat

Artikel utama: kelas residu

Kelas residu di gelanggang $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ dapat ditambahkan:

$(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}$

dan dikalikan:

$(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}$

Konvolusi

Artikel utama: konvolusi

Konvolusi gelombang persegi dengan sendiri memberikan fungsi segitiga

Dua fungsi dari real ke sendiri apabila dikalikan dengan cara lain, yang disebut konvolusi.

Jika

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{dan}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,$

maka integralnya

$(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

didefinisikan dengan rapi dan disebut konvolusi.

Dibawah transformasi Fourier, konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-lawan.

Gelanggang polinomial

Artikel utama: gelanggang polinomial

Darab dari dua polinomial diberikan oleh yang berikut:

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}$

dengan

$c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}$

Darab dalam aljabar linear

Ada banyak jenis produk dalam aljabar linear. Beberapa diantaranya memiliki nama yang mirip (darab luar (outer), darab luar (eksterior)) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (darab luar, darab tensor, darab Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Penjelasan singkat tentang ini diberikan di bagian berikut:

Perkalian skalar

Artikel utama: perkalian skalar

Dengan definisi ruang vektor, apabila produk skalar dengan vektor, diberikan peta $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$.

Darab skalar

Artikel utama: darab skalar

Darab skalar adalah peta bi-linear:

$\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}$

dengan ketentuan sebagai berikut, bahwa $v\cdot v>0$ untuk semua $0\not =v\in V$.

Dari produk skalar, apabila mendefinisikan norma dengan $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$.

Darab skalar juga memungkinkan untuk menentukan sudut antara dua vektor:

$\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}$

Dalam ruang Euklidean dimensi-$n$, darab skalar standar (disebut darab titik) diberikan oleh:

$\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}$

Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi

Artikel utama: perkalian silang

Perkalian silang dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus terhadap dua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajar genjang yang direntang oleh dua faktor.

Perkalian silang juga dinyatakan sebagai formal determinan:

$\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}$

Komposisi pemetaan linear

Artikel utama: komposisi fungsi

Pemetaan linear didefinisikan sebagai fungsi f antara dua ruang vektor V dan W dengan bidang dasar F, yang memenuhi

$f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .$

Jika hanya mempertimbangkan ruang vektor dimensi hingga, maka

$f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},$

dimana b_V dan b_W menunjukkan basis dari V dan W, dan v_i menunjukkan komponen dari v pada b_Vⁱ, dan konvensi penjumlahan Einstein diterapkan.

Sekarang kita mempertimbangkan komposisi dua pemetaan linear antara ruang vektor dimensi hingga. Biarkan pemetaan linier f memetakan V ke W, dan pemetaan linear g memetakan W ke U. Apabila jika bisa mendapatkan

$g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.$

Atau dalam bentuk matriks:

$g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,$

di mana elemen kolom i-baris, j-kolom F, dilambangkan dengan F_ij, adalah f^j_i, dan G_ij=g^j_i.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear diwakilan dengan cara yang sama oleh kaidah perkalian matriks.

Darab dari dua matriks

Artikel utama: darab matriks

Diberikan dua matriks

$A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ dan $B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}$

darab diberikan oleh

$B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}$

Komposisi fungsi linear sebagai darab matriks

Ada hubungan antara komposisi fungsi linear dan darab dua matriks. Untuk melihat ini, misalkan r = redup(U), s = redup(V) dan t = redup(W) adalah dimensi (hingga) dari ruang vektor U, V dan W. Maka ${\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ menjadi basis dari U, ${\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$ menjadi basis dari V dan ${\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}$ menjadi basis dari W. Dalam hal dasar ini, mari $A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ menjadi matriks yang mewakili f : U → V dan $B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}$ menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Maka

$B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}$

adalah matriks yang mewakili $g\circ f:U\rightarrow W$.

Dengan kata lain: darab matriks adalah deskripsi dalam koordinat komposisi fungsi linear.

Darab tensor dari ruang vektor

Artikel utama: Darab tensor

Diberikan dua ruang vektor berdimensi hingga V dan W, hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai tensor-(2,0) yang memenuhi:

$V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},$

dimana V^* dan W^* menunjukkan ruang ganda dari V dan W.

Untuk ruang vektor dimensi tak hingga, satu juga memiliki:

• Darab tensor ruang Hilbert
• Darab tensor topologi.

Darab tensor, darab luar dan darab Kronecker semuanya menyampaikan ide umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa darab Kronecker hanyalah darab tensor dari matriks, hubungan dengan basis yang ditetapkan sebelumnya, sedangkan darab tensor biasanya diberikan dalam definisi intrinsik. Darab luar hanyalah darab Kronecker, hingga pada vektor (bukan matriks).

Kelas semua objek dengan darab tensor

Secara umum, setiap memiliki dua objek matematis yang digabungkan sedemikian rupa sehingga perilaku seperti darab tensor aljabar linear, maka ini dipahami secara umum sebagai darab internal dari kategori monoid. Artinya, kategori monoidal menangkap secara tepat arti dari darab tensor; itu menangkap dengan tepat gagasan mengapa darab tensor perilaku. Lebih tepatnya, kategori monoid adalah kelas dari semua hal (dari tipe) yang memiliki darab tensor.

Darab lain dalam aljabar linear

Jenis darab lain dalam aljabar linear meliputi:

• Darab Hadamard
• Darab Kronecker
• Darab dari tensor:
  • Darab baji atau darab eksterior
  • Darab dalam
  • Darab luar
  • Darab tensor

Darab Kartesius

Dalam teori himpunan, darab Kartesius adalah operasi matematika yang mengembalikan himpunan (atau himpunan darab) dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan A dan B, darab Kartesius A × B adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b)—dimana a ∈ A dan b ∈ B.

Kelas semua benda (dari jenis tertentu) yang memiliki darab Kartesius disebut kategori Kartesius. Banyak diantaranya adalah Kategori tertutup Kartesius. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

Darab kosong

Darab kosong pada bilangan dan sebagian besar struktur aljabar bernilai 1 (elemen identitas perkalian), sama seperti jumlah kosong memiliki nilai 0 (elemen identitas tambahan). Namun, konsep dara kosong lebih umum, dan memerlukan perlakuan khusus dalam logika, teori himpunan, pemrograman komputer dan teori kategori.

Darab atas struktur aljabar lainnya

Darab atas jenis struktur aljabar lainnya meliputi:

• darab Cartesian dari himpunan
• darab langsung grup, dan juga darab setengah langsung, darab rajutan dan darab karangan bunga
• darab bebas dari grup
• darab gelanggang
• ranah darab
• darab ruang topologi
• darab sumbu dari variabel acak
• cap, cangkir, Massey dan darab miring dalam topologi aljabar
• darab hancur dan jumlah sisi (terkadang disebut wedge product) di homotopi

Beberapa darab atas adalah contoh gagasan umum tentang darab internal dalam kategori monoid; sisanya dapat dijelaskan dengan gagasan umum tentang darab dalam teori kategori.

Darab dalam teori kategori

Semua contoh sebelumnya adalah kasus khusus atau contoh pengertian umum dari suatu darab. Untuk perlakuan umum pada konsep darab, lihat darab (teori kategori), yang menjelaskan cara menggabungkan dua objek dari beberapa jenis untuk membuat objek, mungkin dari jenis yang berbeda. Namun juga, dalam teori kategori, apabila memiliki:

• darab serat atau halangan,
• kategori darab, kategori yang merupakan darab dari kategori.
• ultradarab, dalam teori model.
• darab dalam dari kategori monoid, yang menangkap esensi darab tensor.

Darab lainnya

• Sebuah darab integral yang sebagai fungsi ekuivalen kontinu dengan produk barisan atau sebagai versi perkalian dari integral normal/standar/aditif. Darab integral juga dikenal sebagai "darab kontinu" atau "kali".
• Perkalian kompleks, teori kurva eliptik.

Lihat pula

• Desain darab tensor kategori abelian – hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan
• Darab tak tentu
• Produk tak terbatas
• Operasi biner berulang – hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan
• Perkalian – operasi matematika dan Perkalian, Perkalian, Dengan, Kali, Banyak

Bibliografi

• Templat:Jarchow Locally Convex Spaces