Subobjek: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 9 Mei 2021 15.45

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, Subobjek adalah objek dalam objek lain yaitu kategori. Generalisasi untuk konsep himpunan bagian dari teori himpunan, subgrup dari teori grup,^[1] dan subruang dari topologi. Karena struktur detail objek non-material dalam teori kategori, mendefinisikan subobjek dengan morfisme dari satu objek dalam objek lain untuk penggunaan elemen.

Konsep ganda untuk subobjek adalah objek hasil bagi. Untuk menggeneralisasi konsep himpunan hasil bagi, grup hasil bagi, ruang hasil bagi, grafik hasil bagi, dll.

Definisi

Secara detail, maka $A$ adalah objek dari beberapa kategori. Diberikan dua monomorfisme

u:S\to A\ {\text{dan}}\ v:T\to A

dengan kodomain $A$ , untuk $u\leq v$ jika $u$ faktor melalui $v$ , jika $\phi :S\to T$ dengan $u=v\circ \phi$ . Relasi biner $\equiv$ didefinisikan oleh

u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{dan}}\ v\leq u

adalah relasi ekuivalen pada monomorfisme dengan kodomain $A$ , dan kelas kesetaraan dari monomorfisme adalah subobjek dari $A$ . Ekuivalen didefinisikan sebagai relasi ekuivalen dengan $u\equiv v$ jika dan hanya jika isomorfisme $\phi :S\to T$ with $u=v\circ \phi$ .)

Relasi ≤ induksi sebuah urutan parsial pada himpunan sub-objek dari $A$ .

Himpunan sub-objek dari sebuah objek berupa kelas; pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika himpunan sub-objek dari setiap objek adalah himpunan disebut sebagai pangkat well atau terkadang pangkat kecil lokal.

Contoh

Lihat pula Kategori: Objek hasil bagi

Dalam Himpunan, kategori himpunan, subobjek dari A dengan himpunan bagian B dari A, atau himpunan semua peta dari himpunan ekuipoten B dengan citra. Urutan parsial subobjek dari Himpunan untuk himpunan bagian kisi.
Dalam Grp, kategori grup, sub-objek dari A dengan subgrup dari A.
Diberikan kelas berurutan parsial P = (P, ≤), membentuk kategori dengan elemen P sebagai objek, dan satu panah dari p ke q jika dan hanya jika p ≤ q. Jika P menggunakan elemen terbesar, urutan parsial subobjek dari elemen terbesar. Semua panah dalam kategori adalah monomorfisme.
Subobjek dari objek terminal disebut objek subterminal.

Lihat pula

Catatan

^ Mac Lane, p. 126

Referensi

Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (edisi ke-2nd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.

[Mac_Lane-1] Mac Lane, p. 126

[1]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''Subobjek''' adalah, secara kasar, sebuah [[Objek (teori kategori) | objek]] yang berada di dalam objek lain dalam [[kategori (matematika) | kategori]] yang sama. Gagasan tersebut adalah generalisasi konsep seperti [[himpunan bagian]] dari [[teori himpunan]], [[subgrup]] dari [[teori grup]],<ref name="Mac Lane">Mac Lane, p. 126</ref> dan [[subruang (topologi) | subruang]] dari [[topologi]]. Karena struktur detail objek tidak material dalam teori kategori, Definisi subobjek bergantung pada [[morphism]] yang mendeskripsikan bagaimana satu objek berada di dalam objek lain, daripada bergantung pada penggunaan elemen.
+Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''Subobjek''' adalah [[Objek (teori kategori)|objek]] dalam objek lain yaitu [[kategori (matematika)|kategori]]. Generalisasi untuk konsep [[himpunan bagian]] dari [[teori himpunan]], [[subgrup]] dari [[teori grup]],<ref name="Mac Lane">Mac Lane, p. 126</ref> dan [[subruang (topologi)|subruang]] dari [[topologi]]. Karena struktur detail objek non-material dalam teori kategori, mendefinisikan subobjek dengan [[morfisme]] dari satu objek dalam objek lain untuk penggunaan elemen.
-Konsep [[ganda (teori kategori) | ganda]] untuk subobjek adalah '''{{visible anchor|objek hasil bagi}}'''. Ini menggeneralisasi konsep seperti [[kumpulan hasil bagi]], [[grup hasil bagi]], [[ruang hasil (topologi) | ruang hasil bagi]], [[grafik hasil bagi]], dll.
+Konsep [[ganda (teori kategori)|ganda]] untuk subobjek adalah '''{{visible anchor|objek hasil bagi}}'''. Untuk menggeneralisasi konsep [[himpunan hasil bagi]], [[grup hasil bagi]], [[ruang hasil bagi (topologi)|ruang hasil bagi]], [[grafik hasil bagi]], dll.
 == Definisi ==
-Secara detail, maka ''<math> A </math>'' menjadi objek dari beberapa kategori. Diberikan dua [[monomorfisme]]
+Secara detail, maka ''<math> A </math>'' adalah objek dari beberapa kategori. Diberikan dua [[monomorfisme]]
 :<math>u: S \to A \ \text{dan} \ v: T\to A</math>
-dengan [[codomain]] ''<math>A</math>'', kami menulis <math>u \leq v</math> jika <math>u</math> [[Jargon matematika#Faktor melalui|faktor melalui]] ''<math>v</math>'', Artinya, jika ada <math>\phi: S \to T</math> seperti <math>u = v \circ \phi</math>.  Hubungan biner <math>\equiv</math> didefinisikan oleh
+dengan [[kodomain]] ''<math>A</math>'', untuk <math>u \leq v</math> jika <math>u</math> [[Jargon (matematika)#Faktor melalui|faktor melalui]] ''<math>v</math>'', jika <math>\phi: S \to T</math> dengan <math>u = v \circ \phi</math>.  Relasi biner <math>\equiv</math> didefinisikan oleh
 :<math>u \equiv v \iff u \leq v \ \text{dan} \ v\leq u </math>
-adalah [[hubungan kesetaraan]] pada monomorfisme dengan codomain ''<math>A</math>'', dan [[kelas kesetaraan | kelas kesetaraan]] yang sesuai dari monomorfisme ini adalah '''subobjek''' dari ''<math>A</math>''.  (Secara ekuivalen, seseorang dapat mendefinisikan relasi ekivalen dengan <math>u \equiv v</math>  jika dan hanya jika ada isomorfisme <math>\phi: S \to T</math> with <math>u = v \circ \phi</math>.)
+adalah [[relasi ekuivalen]] pada monomorfisme dengan kodomain ''<math>A</math>'', dan [[kelas kesetaraan]] dari monomorfisme adalah '''subobjek''' dari ''<math>A</math>''. Ekuivalen didefinisikan sebagai relasi ekuivalen dengan <math>u \equiv v</math> jika dan hanya jika isomorfisme <math>\phi: S \to T</math> with <math>u = v \circ \phi</math>.)
-Relasi ≤ menginduksi sebuah [[urutan parsial]] pada kumpulan sub-objek dari <math>A</math>.
+Relasi ≤ induksi sebuah [[urutan parsial]] pada himpunan sub-objek dari <math>A</math>.
-Kumpulan sub-objek dari sebuah objek sebenarnya bisa berupa kelas yang sesuai; Artinya pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika kumpulan sub-objek dari setiap objek adalah [[Himpunan (matematika) | himpunan]], kategorinya disebut ''bertenaga baik'' atau terkadang ''kecil lokal''.
+Himpunan sub-objek dari sebuah objek berupa kelas; pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika himpunan sub-objek dari setiap objek adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] disebut sebagai ''pangkat well'' atau terkadang ''pangkat kecil lokal''.
 == Contoh ==
 {{Cat see also|Objek hasil bagi}}
+* Dalam '''Himpunan''', [[kategori himpunan]], subobjek dari ''A'' dengan [[himpunan bagian]] ''B'' dari ''A'', atau himpunan semua peta dari himpunan [[ekuipoten]] ''B'' dengan [[Citra (matematika)|citra]]. Urutan parsial subobjek dari '''Himpunan''' untuk himpunan bagian [[Kisi (order)|kisi]].
+* Dalam '''Grp''', [[kategori grup]], sub-objek dari ''A'' dengan [[subgrup]] dari ''A''.
+* Diberikan [[kelas berurutan parsial]] '''P''' = (''P'', ≤), membentuk kategori dengan elemen ''P'' sebagai objek, dan satu panah dari ''p'' ke ''q'' jika dan hanya jika ''p'' ≤ ''q''. Jika '''P''' menggunakan elemen terbesar, urutan parsial subobjek dari elemen terbesar. Semua panah dalam kategori adalah monomorfisme.
+* Subobjek dari [[objek terminal]] disebut [[objek subterminal]].
 == Lihat pula ==
@@ Baris 33: / Baris 37: @@
 * {{cite book | editor1-last=Pedicchio | editor1-first=Maria Cristina | editor2-last=Tholen | editor2-first=Walter | title=Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=97 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2004 | isbn=0-521-83414-7 | zbl=1034.18001 }}
-[[Category:Objects (category theory)]]
+[[Kategori:Objek (teori kategori)]]