Fungsi poligamma: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Dibuat dengan menerjemahkan halaman "Polygamma function" |
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
(5 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
[[Berkas:Mplwp_polygamma03.svg|jmpl|300x300px|Grafik dari fungsi poligamma <math>\psi</math>, <math>\psi^{(1)}</math>, <math>\psi^{(2)}</math>, dan <math>\psi^{(3)}</math> dari argumen real]] |
{{Periksa terjemahan|en|Polygamma function}}[[Berkas:Mplwp_polygamma03.svg|jmpl|300x300px|Grafik dari fungsi poligamma <math>\psi</math>, <math>\psi^{(1)}</math>, <math>\psi^{(2)}</math>, dan <math>\psi^{(3)}</math> dari argumen real]] |
||
Dalam matematika, '''fungsi poligamma urutan''' <math>m </math> adalah [[fungsi meromorfik]] pada [[bilangan kompleks]] <math>\C </math> didefinisikan sebagai [[Turunan dari logaritma|turunan]] ke <math>(m + 1)</math> [[Turunan dari logaritma|pada logaritma]] dari [[fungsi gamma]]ː |
Dalam matematika, '''fungsi poligamma urutan''' <math>m </math> adalah [[fungsi meromorfik]] pada [[bilangan kompleks]] <math>\C </math> didefinisikan sebagai [[Turunan dari logaritma|turunan]] ke <math>(m + 1)</math> [[Turunan dari logaritma|pada logaritma]] dari [[fungsi gamma]]ː |
||
Baris 41: | Baris 41: | ||
Pengaturan <math>m = 0</math> pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus <math>m = 0</math> di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan <math>\frac{e^t}{t}</math> |
Pengaturan <math>m = 0</math> pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus <math>m = 0</math> di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan <math>\frac{e^t}{t}</math> |
||
== |
== Relasi pengulangan == |
||
Itu memenuhi [[ |
Itu memenuhi [[Relasi pengulangan|relasi perulangan]] |
||
: <math>\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\,m!}{z^{m+1}}</math> |
: <math>\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\,m!}{z^{m+1}}</math> |
||
Baris 56: | Baris 56: | ||
untuk semua <math>n \in \N</math>. Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain <math>\N</math> (lihat [[bilangan asli]]) [[Tunggal (matematika)|tunggal]] ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan <math>\psi^{(m)}(1)</math>, kecuali dalam kasus <math>m = 0 </math> dimana kondisi tambahan dari [[Fungsi monotonik|monotonisitas]] yang ketat pada <math>\R ^+</math> masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari [[teorema Bohr–Mollerup]] untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada <math>\R ^+ </math> dimnita tambahannya. Kasus <math>m = 0 </math> harus diperlakukan berbeda karena <math>\psi^{(0)}</math> tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen). |
untuk semua <math>n \in \N</math>. Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain <math>\N</math> (lihat [[bilangan asli]]) [[Tunggal (matematika)|tunggal]] ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan <math>\psi^{(m)}(1)</math>, kecuali dalam kasus <math>m = 0 </math> dimana kondisi tambahan dari [[Fungsi monotonik|monotonisitas]] yang ketat pada <math>\R ^+</math> masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari [[teorema Bohr–Mollerup]] untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada <math>\R ^+ </math> dimnita tambahannya. Kasus <math>m = 0 </math> harus diperlakukan berbeda karena <math>\psi^{(0)}</math> tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen). |
||
== |
== Relasi refleksi == |
||
: <math>(-1)^m \psi^{(m)} (1-z) - \psi^{(m)} (z) = \pi \frac{d^m}{d z^m} \cot{(\pi z)} = \pi^{m+1} \frac{P_m(\cos(\pi z))}{\sin^{m+1}(\pi z)}</math> |
: <math>(-1)^m \psi^{(m)} (1-z) - \psi^{(m)} (z) = \pi \frac{d^m}{d z^m} \cot{(\pi z)} = \pi^{m+1} \frac{P_m(\cos(\pi z))}{\sin^{m+1}(\pi z)}</math> |
||
Baris 81: | Baris 81: | ||
: <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m! \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}</math> |
: <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m! \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}</math> |
||
yang berlaku untuk <math>m > 0 </math> dan setiap kompleks <math>z</math> tidak sama dengan |
yang berlaku untuk <math>m > 0 </math> dan setiap kompleks <math>z</math> tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk [[fungsi zeta Hurwitz]] sebagai |
||
: <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m!\, \zeta (m+1,z)</math>. |
: <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m!\, \zeta (m+1,z)</math>. |
||
Sebagai kemungkinan lain, zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat. |
Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat. |
||
Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh [[Schlömilch]], |
Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh [[Schlömilch]], |
||
Baris 103: | Baris 103: | ||
: <math>\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}}\right)</math> |
: <math>\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}}\right)</math> |
||
Dimana <math>\delta_{n0}</math> adalah [[ |
Dimana <math>\delta_{n0}</math> adalah [[delta Kronecker]]. |
||
Juga [[transenden |
Juga [[transenden Lerch]] |
||
: <math>\Phi(-1, m+1, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(z+k)^{m+1}}</math> |
: <math>\Phi(-1, m+1, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(z+k)^{m+1}}</math> |
||
Baris 156: | Baris 156: | ||
yang lengkap. |
yang lengkap. |
||
Oleh karena itu, untuk semua <math>m \ge 1</math>, dan <math>x > 0</math>, |
|||
: <math>\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{2x^{m+1}} \le (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x) \le \frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{x^{m+1}}</math>. |
: <math>\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{2x^{m+1}} \le (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x) \le \frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{x^{m+1}}</math>. |
||
Baris 170: | Baris 170: | ||
== Referensi == |
== Referensi == |
||
* {{Cite book|last=Abramowitz|first=Milton|last2=Stegun|first2=Irene A.|date=1964|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]|location=New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-61272-0|chapter=Section 6.4|chapter-url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm}} |
* {{Cite book|last=Abramowitz|first=Milton|last2=Stegun|first2=Irene A.|date=1964|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]|location=New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-61272-0|chapter=Section 6.4|chapter-url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm|access-date=2020-11-17|archive-date=2009-09-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20090902084750/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm|dead-url=no}} |
||
{{Daftar fungsi matematika}} |
|||
⚫ | |||
⚫ |
Revisi terkini sejak 26 Juli 2023 13.57
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Polygamma function di en.wiki-indonesia.club. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Mplwp_polygamma03.svg/300px-Mplwp_polygamma03.svg.png)
Dalam matematika, fungsi poligamma urutan adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai turunan ke pada logaritma dari fungsi gammaː
- ,
Dengan demikian
berlaku dimana adalah fungsi digamma dan adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada . Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan . Fungsi terkadang disebut fungsi trigamma.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Representasi integral
[sunting | sunting sumber]Ketika dan , fungsi poligamma sama dengan
Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari . Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk dan real dan tak negatif, adalah fungsi sepenuhnya monoton.
Pengaturan pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan
Relasi pengulangan
[sunting | sunting sumber]Itu memenuhi relasi perulangan
yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː
dan
untuk semua . Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan , kecuali dalam kasus dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada dimnita tambahannya. Kasus harus diperlakukan berbeda karena tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).
Relasi refleksi
[sunting | sunting sumber]dimana adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien . Mereka mematuhi persamaan rekursi
Teorema perkalian
[sunting | sunting sumber]Teorema perkalian memberikan
dan
untuk fungsi digamma.
Representasi deret
[sunting | sunting sumber]Fungsi poligamma memiliki representasi deret
yang berlaku untuk dan setiap kompleks tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai
- .
Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.
Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,
- .
Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː
.
Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː
- .
Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː
Dimana adalah delta Kronecker.
Juga transenden Lerch
bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma
Deret Taylor
[sunting | sunting sumber]Deret Taylor pada adalah
dan
yang konvergen untuk . Disini, adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.
Ekspansi asimtotik
[sunting | sunting sumber]Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː
dan
dimana kita memilih , yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.
Pertidaksamaan
[sunting | sunting sumber]Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan
- ,
dan ini menyiratkan bahwa fungsi
adalah tak negatif untuk semua dan . Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa
benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas menyiratkan bahwa
adalah tak negatif untuk semua dan , sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas
yang lengkap.
Oleh karena itu, untuk semua , dan ,
- .
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Referensi
[sunting | sunting sumber]- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). "Section 6.4". Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-09-02. Diakses tanggal 2020-11-17.