Integral

Halaman ini berisi artikel tentang konsep integral tentu dalam kalkulus. Untuk integral taktentu, lihat antiturunan. Untuk himpunan bilangan, lihat bilangan bulat. Untuk Penggunaan lain, lihat Integral (disambiguasi).

Integral tentu dari suatu fungsi dapat diartikan sebagai luas bertanda dari daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut dan sumbu horizontal. Pada grafik di atas sebagai contoh, integral dari $f(x)$ adalah luas berwarna biru (+) dikurangi oleh luas berwarna kuning (-).

Dalam matematika, integral adalah versi kontinu dari konsep penjumlahan, yang digunakan untuk menghitung luas, volume, dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalam kalkulus; operasi yang lain adalah turunan. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika dan fisika, seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan.

Integral tentu dari suatu fungsi $f$ menghitung luas bertanda dari daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut di antara dua titik di garis horizontal. Berdasarkan konvensi, luas daerah yang terletak di atas garis horizontal memiliki luas yang bernilai positif, sedangkan yang terletak di bawah memiliki luas negatif. Integral juga mencakup konsep antiturunan, yakni suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi $f$; dalam hal ini, suatu fungsi tersebut disebut integral taktentu. Teorema dasar kalkulus memberikan hubungan antara integral tentu dengan turunan, dan cara menghitung integral tentu dari suatu fungsi yang antiturunannya diketahui; turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan.

Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejak jaman Yunani kuno, prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebar infinitesimal (takhingga kecilnya). Bernhard Riemann kemudian memberikan definisi cermat (rigorous) dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerah kurvilinear dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20, Henri Lebesgue memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagai integral Lebesgue; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue.

Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupun domain atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh, integral garis didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, dan selang dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan pada integral permukaan, kurva digantikan oleh sepotong permukaan di ruang dimensi tiga.

Terminologi dan notasi

Secara umum, integral dari sebuah fungsi bernilai riil $f(x)$ terhadap variabel riil $x$ pada suatu selang $[a,\,b]$ dituliskan sebagai$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$Simbol integral ${\textstyle \int }$ menandakan integrasi. Fungsi $f(x)$ disebut integran. Simbol $dx$, terkadang ditulis sebagai ${\text{d}}x$, disebut diferensial dari variabel $x$, dan menandakan variabel dari integrasi adalah $x.$ Titik $a$ dan $b$ disebut batas (atau limit) dari integrasi, dan integrasi disebut dilakukan pada selang $[a,\,b]$. Sebuah fungsi disebut terintegralkan jika integral fungsi tersebut pada domainnya bernilai hingga. Jika batas integrasi disertakan, integral disebut integral tentu.

Ketika batas integrasi tidak ada, misalnya seperti$$\int f(x)\,dx,$$maka integral disebut sebagai integral taktentu. Integral ini menyatakan suatu kelompok fungsi (antiturunan) yang turunannya adalah integran. Teorema dasar kalkulus menyatakan hubungan antara integral tentu dengan integral taktentu. Terdapat beberapa perumuman notasi dari integral, masing-masing untuk mencakup integrasi yang dilakukan pada domain yang takterbatas dan/atau dimensi tinggi (lihat bagian Perumuman di artikel ini).

Dalam pembahasan tingkat lanjut, cukup umum untuk tidak menuliskan $dx$ ketika hanya menggunakan integral Riemann yang sederhana, atau ketika integral dapat berlaku secara umum. Sebagai contoh, sifat linearitas dari integral dapat dituliskan ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$, simbol $dx$ tidak dituliskan karena sifat tersebut berlaku bagi integral Riemann dan semua perumumannya.

Interpretasi

Hampiran integral ${\sqrt {x}}$ pada nilai $x=0$ hingga $x=1$, menggunakan 5 partisi titik akhir kanan (warna kuning) dan 12 partisi titik akhir kiri (warna hijau).

Integrasi muncul dalam banyak masalah umum. Bila suatu kolam renang berbentuk kotak dengan dasar yang datar, maka dari panjang, lebar, dan kedalamannya kita dengan mudah dapat menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk membuat pembatas). Namun jika kolam renang berbentuk oval dengan dasar yang melengkung, semua masalah tadi membutuhkan integral. Tentu perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sederhana seperti itu, tetapi integral diperlukan dalam ilmu teknik yang membutuhkan ketelitian dan nilai yang presisi. Dalam masing-masing cara tadi, besaran yang ingin ditentukan (misal panjang pembatas) dapat dihitung dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil (atau sampai infinitesimal), lalu menjumlahkan bagian-bagian tadi untuk mendapatkan perkiraan yang akurat.

Sebagai contoh lain, misal seseorang ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ pada selang $x=0$ sampai $x=1$. Ia dapat memperkirakan luasnya dengan membagi selang menjadi lima bagian $(0,\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {2}{5}},\,\cdots ,\,1)$, lalu membuat persegi-persegi panjang dengan tinggi nilai fungsi di batas kanan setiap subselang -- sehingga tinggi masing-masingnya adalah ${\sqrt {\tfrac {1}{5}}},\,{\sqrt {\tfrac {2}{5}}},\,\cdots ,\,{\sqrt {\tfrac {5}{5}}}$, kemudian menjumlahkan semua persegi panjang tadi untuk mendapatkan hampiran$$\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0,7497,$$yang lebih besar daripada nilai sebenarnya. Hampiran lain dapat dilakukan menggunakan batas kiri setiap subselang, namun nilai yang didapatkan lebih kecil daripada sebenarnya: dengan 12 subselang akan menghasilkan luas $0,6203$. Tetapi ketika banyak subselang diperbanyak sampai tak hingga, luas yang dihitung akan mencapai suatu limit yang sama dengan sama dengan luas daerah yang ingin dicari (dalam kasus ini bernilai ${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$). Menggunakan notasi integral, ini ditulis sebagai$$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},$$yang mengartikan ${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$ adalah jumlah berbobot dari nilai-nilai fungsi, ${\sqrt {x}}$, dikalikan dengan lebar yang infinitesimal, yang disimbolkan dengan $dx$, pada selang $[0,\,1]$.

Jumlah Darboux

Jumlah Darboux atas untuk fungsi y = x²

Contoh jumlah Darboux bawah untuk fungsi y = x²

Definisi formal

jumlah Riemann yang konvergen ke luas bertanda dari fungsi

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tapi tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar terjadi untuk menangani kasus-kasus khusus yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi terkadang juga terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann didefinisikan menggunakan jumlah Riemann dari fungsi terhadap partisi bertanda dari sebuah interval. Partisi bertanda dari sebuah selang tertutup $[a,\,b]$ pada garis riil adalah barisan terbatas$$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$$Partisi ini memecah selang $[a,\,b]$ menjadi $n$ subselang $[x_{i-1},\,x_{i}]$ yang diindeks oleh $i$, dan masing-masing "menandai" suatu titik $t_{i}\in [x_{i-1},\,x_{i}]$. Mesh dari partisi tersebut adalah subselang di partisi dengan lebar terbesar, ${\textstyle \max _{i=1,\cdots ,n}\Delta _{i}}$. Selanjutnya, jumlah Riemann dari sebuah fungsi $f$ terhadap partisi bertanda tersebut didefinisikan sebagai$$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};$$sehingga setiap suku dalam penjumlahan menyatakan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada suatu nilai di subselang tersebut, dan dengan lebar sama dengan lebar subselang, $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$.

Akhirnya, integral Riemann dari sebuah fungsi $f$ pada selang $[a,\,b]$ didefinisikan sama dengan $S$ jika:

Untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian sehingga, untuk sebarang partisi bertanda $[a,b]$ dengan mesh lebih kecil dari $\delta$, berlaku hubungan $$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$$

Jika tanda setiap subselang yang dipilih adalah maksimum (atau serupa dengan itu, minimum) dari nilai fungsi pada subselang tersebut, maka jumlah Riemann akan sama dengan jumlah Darboux atas (atau serupa dengan itu, bawah); memperlihatkan kaitan erat antara integral Riemann dan integral Darboux.

Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue

Integral Riemann (atas) dan integral Lebesgue (bawah)

Baik dalam teori maupun penerapan, seringkali perhitungan perlu memindahkan limit ke "sisi" dalam integral. Sebagai contoh, suatu barisan fungsi sering dibuat untuk menghampiri, dalam konteks yang masuk akal, solusi (dalam rupa fungsi) dari sebuah masalah. Dalam hal ini, integral dari fungsi solusi sewajarnya sama dengan limit dari integral fungsi hampiran. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat dihasilkan dari limit tidak terintegralkan-Riemann, sehingga teorema limit seperti itu tidak berlaku ketika menggunakan integral Riemann. Akibatnya, diperlukan suatu definisi integral yang memungkinkan lebih banyak jenis fungsi yang dapat terintegralkan.

Integral yang memenuhi syarat tersebut adalah integral Lebesgue, yang menggunakan fakta berikut untuk memungkinkan lebih banyak jenis fungsi dapat terintegralkan: jika nilai dari fungsi disusun ulang atas domainnya, integral dari fungsi tersebut harus tidak berubah. Alhasil Henri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, dan menjelaskan integral ini dalam surat ke Paul Montel:

Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya, dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai total uang tersebut. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku, saya dapat mengurutkan uang kertas dan koin berdasarkan nilai mereka dan baru kemudian saya membayar beberapa tumpukan [nilai uang] satu-demi-satu kepada kreditor. Ini adalah integral saya.

— (Siegmund-Schultze 2008)

Folland menyampaikan konsep integral ini seperti berikut: "Untuk menghitung integral Riemann dari $f$, seseorang perlu mempartisi domain $[a,\,b]$ sebagai sub-subselang, sedangkan dalam integral Lebesgue, dia mempartisi [rentang] nilai dari $f$." Definisi dari integral Lebesgue didasarkan dengan sebuah ukuran, $\mu$. Dalam kasus paling sederhana, ukuran Lebesgue $\mu (A)$ dari selang $A=[a,\,b]$ adalah lebarnya, $b-a$, sehingga hasil integral Lebesgue sama dengan integral Riemann ketika keduanya ada. Pada kasus yang lebih rumit, ukuran dari himpunan dapat sangat terpecah-pecah, tanpa kekontinuan dan tidak memiliki kemiripan apapun dengan selang.

Menggunakan sudut pandang "mempartisi rentang nilai dari $f$", integral dari sebuah fungsi non-negatif $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ akan menyatakan penjumlahan terhadap $t$, dari luas-luas (mungkin beberapa) strip horizontal tipis yang terletak di antara $y=t$ dan $y=t+dt$. Luas dari strip ini adalah $\mu (\{x:f(x)>t\})dt$. Misalkan $f^{*}(t)=\mu (\{x:f(x)>t\})$. Integral Lebesgue dari $f$ selanjutnya didefinisikan sebagai$$\int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt$$dengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentuk integral takwajar Riemann biasa (fungsi $f^{*}$ adalah fungsi positif yang menurun tegas (strictly decreasing), sehingga memiliki integral takwajar Riemann). Definisi ini berlaku untuk suatu kelompok fungsi yang sesuai (yakni fungsi terukur).

Sebarang fungsi terukur $f$ terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsi $f$ dan sumbu-$x$ bernilai hingga; secara matematis:$$\int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .$$Dalam kasus tersebut, integralnya adalah selisih luas daerah diatas sumbu-$x$ dengan luas dibawah sumbu-$x$; sama seperti integral Riemann. Dituliskan dalam bentuk matematis:$$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu$$dengan$${\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{jika }}f(x)>0,\\0,&{\text{lainnya,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{jika }}f(x)<0,\\0,&{\text{lainnya.}}\end{cases}}\end{alignedat}}$$

Integral lainnya

Walau integral Riemann dan Lebesgue adalah definisi integral yang paling umum digunakan, ada beberapa definisi integral lainnya, termasuk diantaranya:

• Integral Darboux, yang didefinisikan menggunakan jumlah Darboux (kasus khusus dari jumlah Riemann), tapi setara dengan integral integral Riemann. Suatu fungsi terintegralkan-Darboux jika dan hanya jika fungsi tersebut terintegralkan-Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan ketimbang integral Riemann.
• Integral Riemann–Stieltjes, perumuman dari integral Riemann yang mengintegrasi terhadap sebuah fungsi ketimbang sebuah variabel.
• Integral Lebesgue–Stieltjes, dikembangkan lebih lanjut oleh Johann Radon, memperumum integral Riemann–Stieltjes dan integral Lebesgue.
• Integral Daniell, yang mengubah integral Lebesgue dan Lebesgue-Stieltjes sehingga tidak bergantung pada konsep ukuran.
• Integral Haar, digunakan untuk integrasi pada grup topologis yang kompak secara lokal, diperkenalkan oleh Alfréd Haar pada tahun 1933.
• Integral Henstock–Kurzweil, didefinisikan oleh Arnaud Denjoy, Oskar Perron, dan (secara lebih elegan sebagai gauge integral) Jaroslav Kurzweil, dan dikembangkan oleh Ralph Henstock.
• Integral Itô dan integral Stratonovich, yang mendefinisikan integrasi terhadap semimartingales seperti gerak Brown.
• Integral Young, salah satu jenis integral Riemann–Stieltjes terhadap suatu jenis fungsi dengan unbounded variation.
• Integral rough path, didefinisikan untuk fungsi yang dilengkapi oleh suatu struktur "rough path" tambahan dan memperumum integrasi stokastik baik terhadap semimartingales dan proses seperti gerak Brown fraksional.
• Integral Choquet, sebuah integral subaditif atau superaditif yang dibuat oleh matematikawan Prancis Gustave Choquet pada tahun 1953.
• Integral Bochner, sebuah perumuman dari integral Lebesgue ke suatu kelompok fungsi yang lebih luas, yakni fungsi yang domain merupakan ruang Banach.

Sifat

Kelinearan

Himpunan semua fungsi terintegralkan-Riemann pada suatu selang tertutup $[a,\,b]$ akan membentuk sebuah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan setitik (pointwise addition) dan perkalian dengan skalar. Operasi integrasi$$f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx$$merupakan bentuk linear pada ruang vektor tersebut. Akibatnya, himpunan fungsi terintegralkan bersifat tertutup dibawah kombinasi linear, dan integral dari sebuah kombinasi linear sama dengan kombinasi linear dari integral:$$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$$Mirip dengan hal itu, himpunan fungsi terintegralkan-Lebesgue bernilai-riil pada suatu ruang ukuran $E$ dengan ukuran $\mu$, bersifat tertutup dibawah proses membuat kombinasi linear, sehingga menghasilkan sebuah ruang vektor. Integral Lebesgue$$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu$$merupakan bentuk linear dalam ruang vektor tersebut, sehingga:$$\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .$$Secara umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua fungsi terukur pada ruang ukuran $(E,\,\mu )$, dengan nilai di ruang vektor topologis yang lengkap dan kompak lokal $V$ atas suatu lapangan topologis kompak lokal $K$, $f:E\to V.$ Kita dapat mendefinisikan pemetaan integrasi abstrak yang memadankan setiap fungsi $f$ masing-masing dengan sebuah elemen di $V$ atau simbol $\infty$,$$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,$$yang kompatibel dengan kombinasi linear. Dalam kasus ini, kelinearan berlaku untuk subruang dari fungsi yang integralnya adalah suatu elemen dari $V$ (dengan kata lain, "bernilai hingga"). Kasus penting yang spesial muncul ketika $K$ berupa $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, atau perluasan hingga dari lapangan bilangan p-adic $\mathbb {Q} _{p}$, dan $V$ adalah suatu ruang vektor dimensi-hingga atas $K$; dan ketika $K=\mathbb {C}$ dan $V$ adalah ruang Hilbert kompleks.

Kelinearan, bersama dengan beberapa sifat kekontinuan dan normalisasi untuk suatu kelompok fungsi "sederhana", dapat digunakan untuk membuat definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan yang dilakukan integral Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada sebuah himpunan $X$; dan diperumum oleh Nicolas Bourbaki ke fungsi-fungsi dengan nilai yang terletak di ruang vektor topologis kompak lokal. Lihat Hildebrandt 1953 untuk karakterisasi aksiomatik dari integral ini.

Pertidaksamaan

Beberapa pertidaksamaan umum berlaku untuk fungsi-fungsi terintegralkan-Riemann yang terdefinisi pada selang tertutup dan terbatas $[a,\,b]$, dan dapat diperluas ke bentuk-bentuk integral lainnya (seperti Lebesgue). Pertidaksamaan tersebut meliputi:

• Batas bawah dan batas atas. Sebarang fungsi $f$ yang terintegralkan pada $[a,\,b]$ haruslah terbatas pada selang tersebut. Artinya, ada bilangan riil $m$ dan $M$ sehingga $m\leq f(x)\leq M$ untuk sebarang $x\in [a,\,b].$ Karena jumlah batas bawah dan batas atas dari $f$ pada $[a,\,b]$ secara berurutan sama dengan $m(b-a)$ dan $M(b-a)$, dapat disimpulkan $$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).$$
• Pertidaksamaan antar fungsi. Jika $f(x)\leq g(x)$ untuk setiap $x\in [a,\,b],$ maka jumlah batas bawah dan atas dari $f$ dibatasi dari-atas masing-masing oleh jumlah batas bawah dan atas dari $g.$ Akibatnya,$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$Ini adalah perumuman dari pertidaksamaan sebelumnya, karena $M(b-a)$ sama saja dengan integral dari fungsi konstan bernilai $M$ pada $[a,\,b].$ Lebih lanjut, jika pertidaksamaan antar fungsi bersifat tegas, maka pertidaksamaan antar integral juga tegas. Artinya, jika $f(x)<g(x)$ untuk setiap $x\in [a,\,b],$ berlaku$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$
• Subselang. Jika $[c,\,d]$ adalah subselang dari $[a,\,b],$ dan $f(x)$ bernilai non-negatif untuk $x\in [a,\,b],$ maka$$\int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$
• Hasil kali dan nilai mutlak dari fungsi. Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi, maka perkalian setitik (pointwise products), perpangkatan, dan nilai mutlak dari kedua fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai: $$(fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.$$ Jika $f$ terintegralkan-Riemann pada $[a,\,b],$ maka hal yang sama juga berlaku untuk $|f|,$ dan$$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.$$ Lebih lanjut, jika $g$ juga terintegralkan-Riemann pada selang yang sama, maka $fg$ juga terintegralkan-Riemann, dengan $$\left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).$$Pertidaksamaan ini, dikenal sebagai pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, memainkan peran penting dalam teori ruang Hilbert; sisi kiri diintepretasikan sebagai hasil kali dalam dari dua fungsi terintegralkan-kuadrat $f$ dan $g$ pada $[a,\,b].$
• Pertidaksamaan Hölder. Misalkan $p$ dan $q$ adalah dua bilangan riil, dengan $1\leq p,q\leq \infty$ dan ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$ Misalkan pula $f$ dan $g$ adalah fungsi terintegralkan-Riemann. Dapat dibuktikan bahwa fungsi $|f|^{p}$ dan $|g|^{q}$ terintegralkan dan memenuhi pertidaksamaan Hölder berikut: $$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$$ Untuk $p=q=2,$ pertidaksamaan Hölder tereduksi menjadi pertidaksamaan Cauchy–Schwarz.
• Pertidaksamaan Minkowski. Misalkan $p\geq 1$ adalah sebuah bilangan riil, dan $f$ dan $g$ adalah fungsi terintegralkan-Riemann. Dapat dibuktikan bahwa fungsi $|f|^{p},$ $|g|^{p},$ dan $|f+g|^{p},$ juga terintegralkan-Riemann dan memenuhi pertidaksamaan Minkowski berikut: $$\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$$ Versi integral Lebesgue dari pertidaksamaan ini digunakan dalam konstruksi ruang L^p.

Konvensi

Di bagian ini, $f$ adalah fungsi bernilai-riil yang terintegralkan-Riemann. Integral $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$pada selang $[a,\,b]$ terdefinisi jika $a<b.$ Hal ini mengartikan batas bawah dan atas dari penjumlahan nilai fungsi $f$ dievaluasi pada partisi $a=x_{0}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}=b$ dengan nilai $x_{i}$ yang semakin meningkat. Secara geometris, proses mengintegralkan dimaknai dilakukan "dari kiri ke kanan", mengevaluasi nilai $f$ pada subselang $[x_{i},\,x_{i+1}]$ dengan ujung kanan subselang tepat bersebelahan dengan ujung kiri subselang indeks selanjutnya. Nilai $a$ dan $b$, kedua ujung dari selang, disebut sebagai batas (atau limit) dari integrasi dari $f.$ Integral juga dapat didefinisikan untuk $a>b$ sebagai berikut:$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.$$Pada kasus $a=b,$ ini mengartikan $$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.$$Konvensi pertama diperlukan dalam mengintegrasi pada sub-subselang dari $[a,\,b].$ Sedangkan konvensi kedua mengartikan integral pada selang degenerat, yakni yang sama saja dengan sebuah titik, akan bernilai nol. Lebih lanjut terkait konvensi pertama, salah alasan ini diperlukan adalah bahwa keintegralan dari $f$ pada $[a,\,b]$ mengartikan $f$ dapat diintegralkan pada sebarang subselang $[c,\,d]$ dari $[a,\,b]$. Secara khusus, untuk sebarang elemen $c\in [a,\,b]$ berlaku:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

Dengan adanya konvensi pertama, hubungan

${\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}$

terdefinisi dengan baik untuk semua permutasi siklik dari a, b, dan c.

Teorema dasar kalkulus

Lihat pula: Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan (invers): jika sebarang fungsi kontinu diintegralkan kemudian diturunkan, hasilnya akan sama dengan fungsi semula. Satu akibat penting dari pernyataan tersebut, terkadang disebut teorema dasar kalkulus kedua, memungkinkan perhitungan integrasi dilakukan menggunakan antiturunan dari fungsi yang diintegrasi.

Teorema pertama

Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai-riil yang terdefinisi pada selang tertutup $[a,\,b].$ Selanjutnya, misalkan $F$ adalah fungsi yang didefinisikan, untuk setiap $x$ di $[a,\,b],$ sebagai$$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$$Maka, fungsi $F$ kontinu pada $[a,\,b],$ terturunkan (terdiferensialkan) pada selang buka $(a,\,b),$ dan $$F'(x)=f(x)$$untuk sebarang $x$ di $(a,\,b).$

Teorema kedua

Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai-riil yang terdefinisi pada selang tertutup $[a,\,b],$ dan $F$ adalah fungsi kontinu pada $[a,\,b]$ yang merupakan suatu antiturunan dari $f$ pada $(a,\,b).$ Artinya, untuk $x\in [a,\,b]$ berlaku $$F'(x)=f(x).$$Jika $f$ terintegralkan pada $[a,\,b],$ maka $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Perhitungan

Analitik

Teknik paling sederhana dalam menghitung integral tentu dari fungsi satu variabel bernilai riil, adalah dengan menggunakan teorema dasar kalkulus. Misalkan $f(x)$ adalah fungsi dari $x$ yang akan diintegralkan pada suatu selang $[a,\,b].$ Maka selanjutnya antiturunan dari $f$ perlu dicari; yakni, sebuah fungsi $F$ sedemikian sehingga $F'=f$ pada selang tersebut. Mengasumsikan integran dan integral tidak memiliki singularitas pada selang integrasi, maka menggunakan teorema dasar kalkulus,$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Terkadang satu atau beberapa dari banyak teknik menyelesaikan integral perlu digunakan. Kebanyakan dari teknik ini menuliskan integral dalam bentuk lain yang diharapkan lebih mudah diselesaikan. Teknik-teknik tersebut meliputi integrasi dengan substitusi, integrasi secara parsial, integrasi dengan subtitusi trigonometri, dan integrasi dengan pecahan parsial.

Ada beberapa metode alternatif untuk menghitung integral yang lebih rumit. Banyak integral dari fungsi non-elementer dapat dijabarkan sebagai deret Taylor lalu diintegralkan suku-demi-suku. Terkadang, hasil deret takhingga yang didapatkan bisa dijumlahkan secara analitis. Metode konvolusi menggunakan fungsi-G Meijer juga dapat digunakan, mengasumsikan integran dapat dituliskan sebagai hasil perkalian fungsi-fungsi-G Meijer. Ada banyak cara lain yang tidak dikenal umum untuk menghitung integral tentu. Sebagai contoh, identitas Parseval dapat digunakan untuk mengubah integral atas daerah berbentuk persegi panjang menjadi penjumlahan takhingga. Terkadang pula, ada integral yang dapat diselesaikan menggunakan suatu trik; sebagai contoh kasus ini, lihat integral Gauss.

Perhitungan integral yang menyangkut volume suatu benda putar umumnya dilakukan dengan metode cakram atau metode kulit.

Cara-cara spefisik dari banyak teknik lainnya disusun dan dikumpulkan dalam tabel integral.

Simbolik

Artikel utama: Integrasi simbolik

Banyak masalah dalam matematika, fisika, dan teknik berurusan dengan integrasi yang memerlukan hasil berupa rumus eksplisit. Untuk membantu hal ini, tabel integral yang komprehensif telah disusun dan diterbitkan selama bertahun-tahun. Seiring penggunaan komputer yang makin marak, banyak tenaga profesional, pendidik, dan siswa beralih ke sistem aljabar komputer yang secara khusus dirancang untuk melakukan tugas-tugas yang sulit dan/atau melelahkan, termasuk integrasi. Integrasi simbolik telah menjadi salah satu motivasi untuk mengembangkan sistem yang dapat melakukannya, seperti Macsyma dan Maple.

Kesulitan matematis utama dalam integrasi simbolik adalah bahwa dalam banyak kasus, fungsi yang relatif sederhana tidak memiliki integral yang dapat dituliskan (diekspresikan) dalam bentuk tertutup yang hanya melibatkan fungsi-fungsi elementer, yang meliputi fungsi rasional dan eksponensial, logaritma, fungsi trigonometri, dan fungsi invers trigonometri, serta operasi-operasi terkait perkalian dan komposisi. Algoritma Risch memberikan kriteria umum untuk menentukan apakah antiturunan dari suatu fungsi elementer bersifat elementer (dan cara untuk menghitung integral jika memang bersifat elementer). Namun, fungsi-fungsi dengan ekspresi antiturunan yang tertutup adalah kasus khusus: sistem aljabar komputer secara umum tidak mampu menemukan antiturunan dari fungsi elementer yang dibuat secara acak. Sisi positifnya, jika "blok pembangun" untuk antiturunan dapat ditetapkan di awal, sistem mungkin dapat menentukan apabila antiturunan dari suatu fungsi dapat dinyatakan menggunakan blok-blok pembangun tersebut, dan solusi simboliknya jika dapat ditemukan. Algoritam Risch yang diterapkan dalam Mathematica, Maple, dan sistem-sistem lainnya melakukan hal tersebut untuk fungsi dan antiturunan yang dibangun dari fungsi-fungsi rasional, akar, logaritma, dan/atau eksponensial.

Beberapa integran khusus muncul cukup sering sehingga wajar untuk dipelajari lebih lanjut. Secara khusus, mungkin dapat berguna untuk memiliki antiturunan dari fungsi-fungsi spesial (seperti fungsi-fungsi Legendre, hipergeometrik, gamma, dll.). Memperluas algoritma Risch untuk mencakup fungsi-fungsi tersebut dimungkinkan walau kesulitannya yang menantang; hal ini sedang menjadi subjek penelitian yang aktif.

Cara lain yang baru dikembangkan belakangan ini adalah menggunakan fungsi-fungsi hingga-D (D-finite functions), yang merupakan solusi dari persamaan diferensial linear dengan koefisien-koefisien polinomial. Sebagian besar dari fungsi-fungsi elementer dan spesial merupakan hingga-D, dan integral dari fungsi hingga-D juga merupakan fungsi hingga-D. Hal ini memberikan suatu algoritma untuk menyatakan antiturunan dari fungsi hingga-D sebagai solusi dari persamaan diferensial.

Sistem integrasi berbasis-aturan juga dapat membantu masalah integrasi. Rubi, sistem aljabar komputer menggunakan daftar pola yang mencocokan integral dengan lebih dari 6600 aturan integrasi simbol untuk banyak jenis integran.

Numerik

Artikel utama: Integrasi numerik

Beberapa metode kuadratur numerik: metode persegi, metode jajargenjang, metode Romberg, dan kuadratur Gauss.

Nilai dari integral tentu dapat dihampiri menggunakan beberapa metode integrasi numerik. Metode persegi panjang melakukan ini dengan membagi daerah dibawah fungsi menjadi suatu barisan persegi panjang yang bersesuian dengan nilai-nilai dari fungsi, lalu mengalikannya dengan lebar langkah (step width) dan menjumlahkannya untuk mendapatkan hasilnya. Nilai hampiran yang lebih baik adalah dengan menggunakan aturan trapesium, yang mengganti persegi panjang dengan trapesium. Ide yang mendasar aturan trapesium, bangun yang lebih mirip dengan grafik akan menghasilkan taksiran integral yang lebih baik, dapat dikembangkan lebih lanjut: aturan Simpson menghampiri integran dengan potongan-potongan fungsi kuadratik.

Jumlah Riemann, aturan trapesium, dan aturan Simpson adalah contoh dari kelompok aturan kuadratur yang disebut rumus Newton–Cotes. Rumus Newton–Cotes derajat $n$ menghampiri kurva fungsi pada setiap subselang dengan sebuah polinomial derajat $n.$ Polinomial tersebut dipilih sedemikian sehingga dapat menginterpolasi nilai-nilai fungsi pada selang integrasi. Polinomial dengan derajat lebih tinggi dapat menghasilkan hampiran yang lebih akurat, tetapi juga memerlukan perhitungan fungsi yang lebih banyak, dan dapat mengalami ketakcermatan (inaccuracy) numerik akibat fenomena Runge. Salah satu solusi dari masalah tersebut adalah kuadratur Clenshaw–Curtis, yang menghampiri integran dengan menjabarkannya dalam suku-suku berupa polinomial Chebyshev.

Metode Romberg membagi lebar langkah menjadi setengahnya secara iteratif, pada setiap tahap menghasilkan hampiran trapesium $T(h_{0}),$ $T(h_{1}),$ dan seterusnya; dengan $h_{k+1}={\tfrac {1}{2}}h_{k}.$ Untuk setiap lebar langkah yang baru, hanya setengah dari nilai-nilai fungsi integran yang perlu dicari; sisanya menggunakan dari hasil perhitungan lebar langkah sebelumnya. Kemudian metode ini menginterpolasi sebuah polinomial berdasarkan hampiran-hampiran yang didapatkan, lalu mengekstrapolasi ke $T(0).$ Kuadratur Gauss mengevaluasi integran di akar-akar dari suatu himpunan polinomial ortogonal. Metode Gauss $n$-titik tepat (exact) untuk polinomial sampai derajat $2n-1.$

Perhitungan integral dimensi tinggi (sebagai contoh, perhitungan volume) menggunakan alternatif lain seperti integrasi Monte Carlo.

Mekanikal

Luas dari sebarang bangun dua dimensi dapat ditentukan menggunakan instrumen yang disebut planimeter. Volume dari objek yang tidak beraturan dapat diukur dengan teliti menggunakan banyaknya air yang dipindahkan ketika objek dicelupkan.

Penerapan

Integral sering digunakan dalam banyak hal. Sebagai contoh, dalam teori peluang, integral digunakan untuk menentukan peluang dari variabel acak berada di suatu rentang tertentu. Lebih lanjut, integral dari keseluruhan fungsi kepadatan peluang harus bernilai 1, yang memberi cara mengecek apakah fungsi tanpa nilai negatif dapat menjadi fungsi kepadatan atau tidak.

Dalam fisika, pada bidang seperti kinematika, integral digunakan untuk mencari besaran seperti perpindahan, waktu, dan kecepatan. Sebagai contoh, dalam gerak lurus, total perpindahan dari objek pada selang waktu $[a,b]$ dapat dihitung dengan $$x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,$$dengan $v(t)$ menyatakan kecepatan sebagai fungsi terhadap waktu. Besar usaha $F(x)$ yang digunakan (ditulis sebagai fungsi terhadap posisi) dari posisi $A$ ke posisi tujuan $B$ adalah: $$W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.$$Integral juga digunakan dalam termodinamika, dengan integrasi termodinamika dipakai untuk menghitung selisih energi bebas diantara dua keadaan.

Perumuman

Integral takwajar

Artikel utama: Integral takwajar

Integral takwajar$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$ memiliki selang yang tak-terbatas untuk domain dan nilai dari fungsi.

Integral lipat

Artikel utama: Integral lipat

Integral lipat dua yang menghitung volume dibawah permukaan $z=f(x,y)$

Integral garis dan integral permukaan

Artikel utama: Integral garis dan Integral permukaan

Integral garis menjumlahkan elemen-elemen (panah berwarna hijau) sepanjang kurva (berwarna biru).

Integral kontur

Artikel utama: Integral kontur

Integral dari bentuk diferensial

Artikel utama: Bentuk diferensial

Sejarah

Lihat pula: Sejarah kalkulus

Integrasi pra-kalkulus

Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah metode penghabis dari Yunani kuno astronom Eudoksos (ca. 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh Archimedes pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung luas lingkaran, luas permukaan dan volume bola, luas elips, luas di bawah parabola, volume segmen revolusi paraboloid, volume segmen hiperboloid revolusi, dan luas spiral.

Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh Liu Hui, yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari volume bola (Shea 2007; Katz 2004, hlm. 125–126).

Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai Alhazen (ca 965 AD) menurunkan rumus untuk jumlah pangkat empat s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan paraboloid.

Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya Cavalieri dengan metode Indivisibles miliknya, dan karya Fermat, mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari xⁿ dengan derajat nilai n = 9 dalam rumus kuadrat Cavalieri. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh Barrow dan Torricelli, yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari teorema fundamental kalkulus. John Wallis menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai x menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.

Leibniz dan Newton

Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dari teorema dasar kalkulus oleh Leibniz dan Newton. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modern kalkulus, yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.

Formalisasi

Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajat rigor. Bishop Berkeley secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "hantu dari jumlah yang telah pergi". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembangan limit. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, oleh Riemann. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteks analisis Fourier yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, dan Lebesgue merumuskan definisi integral yang berbeda, didirikan di teori ukuran (subbidang dari analisis nyata). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagai bagian standar dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistem bilangan hiperreal.

Notasi sejarah

Notasi untuk integral tak tentu diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154). Dia mengadaptasi simbol integral, ∫, dari lambang berbentuk ſ, singkatan dari summa (ditulis sebagai ſumma; dari Bahasa Latin "sum" atau "total"). Notasi modern untuk integral pasti, dengan batas di atas dan di bawah integral, pertama kali digunakan oleh Joseph Fourier Mémoires dari Akademi Prancis sekitar tahun 1819–2020, dicetak ulang dalam bukunya tahun 1822 (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).

Isaac Newton menggunakan batang vertikal kecil di atas variabel untuk menunjukkan integrasi, atau menempatkan variabel di dalam kotak. Bilah vertikal mudah dikacaukan pada nilai .x atau x′, yang digunakan untuk menunjukkan diferensiasi, dan notasi kotak sulit untuk direproduksi oleh printer, jadi notasi tersebut tidak digunakan secara luas.

Penggunaan pertama dari istilah tersebut

Istilah ini pertama kali dicetak dalam bahasa Latin pada tahun 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur" (Bernoulli, Opera 1744, Vol. 1, hal. 423).

Istilah ini digunakan dalam paragraf yang mudah dipahami dari Guillaume de l'Hôpital pada tahun 1696:

Dans tout cela il n'y a encore que la premiere partie du calcul de M. Leibniz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entiéres à leur différences infiniment petites, et à comparer entr'eux ces infiniment petits de quelque genre qu'ils soient: c'est ce qu'on appel calcul différentiel. Pour l'autre partie, qu'on appelle Calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs ou aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avois aussi dessein de le donner. Mais M. Leibniz m'ayant écrit qu'il y travailloit dans un Traité qu'il intitule De Scientia infiniti, je n'ay eu garde de prive le public d'un si bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la Méthode inverse des Tangentes...

"Dalam semua itu, hanya ada bagian pertama dari kalkulus M. Leibniz, yang terdiri dari turun dari besaran integral ke perbedaan kecil tak terhingga, dan dalam membandingkan antara satu sama lain yang sangat kecil tak terhingga dari jenis yang mungkin: inilah yang disebut kalkulus diferensial. Adapun bagian lain, yang disebut kalkulus integral, dan itu terdiri dari kembali ke atas dari yang sangat kecil ke kuantitas, atau bagian penuh dari perbedaan mereka, yaitu untuk menemukan jumlah mereka, saya juga berniat untuk mengungkapkannya. Tetapi mengingat M. Leibniz menulis kepada saya bahwa dia sedang mengerjakannya di sebuah buku yang dia sebut De Scientia infiniti, Saya berhati-hati untuk tidak menghilangkan publik dari karya yang begitu indah yang karena mengandung semua yang paling aneh dalam metode kebalikan dari garis singgung..."

Lihat pula

• Permukaan integral
• Tabel integral
• Turunan
• Integral geometri

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-567-X.  (Indonesia)

Pranala luar

• (Indonesia) Operator Integrasi Berulang