Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 29 Juli 2024 10.25

Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan.

Definisi

Suatu bilangan $c$ disebut faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ jika $c$ habis membagi bilangan $a$ dan $b$ sekaligus.

Suatu bilangan $d$ disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:^[1]

$d$ faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ ; dan
jika $c$ faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ maka berlaku $c\leq d$

bilangan $d$ ditulis sebagai $FPB(a,b)$ ^[2] atau $(a,b)$ ^[1].

Peristilahan

Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar,^[3] atau pembagi bersama terbesar,^[4] dilambangkan dengan ${\text{PBT}}(a,b)$ . Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi ${\text{gcd}}(a,b)$ , berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.^[5]

Contoh

Faktor dari $12$ adalah $1,2,3,{\color {red}{4}},6,12$
Faktor dari $20$ adalah $1,2,{\color {red}{4}},5,10,20$

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan $\operatorname {FPB} (12,20)=4$ .

Perhitungan FPB

Faktorisasi prima

FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

diperoleh $60={\color {red}{2}}^{2}\times {\color {red}{3}}\times 5$ dan $24={\color {red}{2}}^{3}\times {\color {red}{3}}$ . Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, $\operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}\times 3=12$ .

Algoritma Euklides

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan $a$ dan $b$ adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:

1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

Sifat

Untuk sebarang bilangan bulat $a,b,c$ , dengan $|a|$ adalah nilai multak dari $a$ , berlaku:

Sifat komutatif, yaitu $\operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (b,a)$ .
Sifat asosiatif, yaitu $\operatorname {FPB} (a,b,c)=\operatorname {FPB} (a,\operatorname {FPB} (b,c))=\operatorname {FPB} (\operatorname {FPB} (a,b),c)$ .
Sifat distributif, yaitu $\operatorname {FPB} (ac,bc)=c\cdot \operatorname {FPB} (a,b)$
Jika $c$ faktor persekutuan $a$ dan $b$ , maka $c\mid \operatorname {FPB} (a,b)$ , dan $\operatorname {FPB} \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)={\frac {\operatorname {FPB} (a,b)}{c}}$ , sehingga jika $d=\operatorname {FPB} (a,b)$ maka $\operatorname {FPB} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1$
$\operatorname {FPB} (\pm a,\pm b)=\operatorname {FPB} (b,a)$
$\operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (a,b-a)=\operatorname {FPB} (a,b+a)=\operatorname {FPB} (a,b-ca)$
$\operatorname {FPB} (a,0)=|a|$
$\operatorname {FPB} (a,1)=1$
Untuk sebarang bilangan bulat positif $a,b$ , $\operatorname {FPB} (a,b)=b$ jika dan hanya jika $b$ habis membagi $a$ .

Koprima

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.^[6]

Penerapan

Menyederhanakan pecahan

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan^[7]. Sebagai contoh, pecahan ${\frac {4}{8}}$ dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari $4$ dan $8$ adalah $\operatorname {FPB} (4,8)=2$ . Kita tuliskan sebagai

{\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}

.

Kelipatan persekutuan terkecil

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

$\operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}$ .^[8]

Lihat pula

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Rujukan

^ ^a ^b Sukirman (2016). Teori Bilangan. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-602-392-047-1.
^ Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika. 2023.
^ Achmad Arifin (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 979-9299-13-6.
^ Wono Setya Budhi (2006). Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika. Jakarta: Ricardo. ISBN 979-98175-0-1.
^ Eka Susilowati (2017). Teori Bilangan. Yogyakarta: Matematika.
^ Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-06. Diakses tanggal 2021-11-20.
^ "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-10-29. Diakses tanggal 2021-11-21.
^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-16. Diakses tanggal 2021-11-21.

[:02-1] Sukirman (2016). Teori Bilangan. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-602-392-047-1.

[2] Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika. 2023.

[3] Achmad Arifin (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 979-9299-13-6.

[4] Wono Setya Budhi (2006). Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika. Jakarta: Ricardo. ISBN 979-98175-0-1.

[5] Eka Susilowati (2017). Teori Bilangan. Yogyakarta: Matematika.

[:0-6] Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-06. Diakses tanggal 2021-11-20.

[7] "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-10-29. Diakses tanggal 2021-11-21.

[8] Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-16. Diakses tanggal 2021-11-21.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+[[Berkas:24x60.svg|jmpl|Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.]]
-{{Under construction}}
+Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
-Dalam [[matematika]], khususnya [[teori bilangan]], [[faktor persekutuan terbesar]] atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan <math>\operatorname{FPB}</math><ref name=":4">{{Cite web|last=Itsnaini|first=Faqihah Muharroroh|title=Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya|url=https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya|website=detikedu|language=id-ID|access-date=2021-11-14}}</ref> atau <math>\operatorname{PBT}</math><ref>Suci Yuniati, [https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”], hlm. 158</ref> dalam bahasa Indonesia, dan <math>\gcd</math> dalam bahasa Inggris, [[Daftar singkatan matematis|abreviasi]] dari kata ''greatest common divisor''<ref>{{Cite web|title=Definition of greatest common divisor {{!}} Dictionary.com|url=https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2021-11-14}}</ref>) terhadap dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat.
+Dua bilangan atau lebih disebut [[Koprima (bilangan)|saling prima]] jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan [[bilangan prima]])
-Dua buah bilangan dikatakan saling prima [[Jika dan hanya jika|jika dan hanya]] jika FPB dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
+Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam [[aritmatika]] dan [[teori bilangan]].
-== Notasi ==
-Untuk <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai <math>\operatorname{FPB}(a,b)</math> atau <math>\operatorname{PBT}(a,b)</math>. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai <math>\gcd(a,b)</math> atau <math>\operatorname{GCD}(a,b)</math>. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu <math>\operatorname{g.c.d}(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-20}}</ref>
-== Contoh ==
+== Definisi ==
+Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.
-Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 [[bilangan]] yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar dapat digunakan cara pemfaktoran.
+Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:<ref name=":02">{{Cite book|last=Sukirman|first=|date=2016|url=|title=Teori Bilangan|location=Tangerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-602-392-047-1|language=|url-status=live}}</ref>
-=== Cara sederhana ===
+* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
-Mencari FPB dari '''12''' dan '''20''':
+* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>
-* Faktor dari 12 = 1, 2, 3, '''4''', 6 dan 12
-* Faktor dari 20 = 1, 2, '''4''', 5, 10 dan 20
-* FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''4'''.
-Mencari FPB dari '''15''' dan '''25''':
-* Faktor dari 15 = 1, 3, '''5''', dan 15
-* Faktor dari 25 = 1, '''5''', dan 25
-* FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''5'''.
+bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math><ref>{{Cite book|date=2023|title=Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A|location=Bandung|publisher=Tim KTO Matematika|url-status=live}}</ref> atau <math>(a,b)</math><ref name=":02" />.
-=== Cara pemfaktoran ===
-Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:
-* Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
-189             231
-               /\          /\              /\
-49        3  63           3  77
-                /\           /\              /\
-7         7  9            7  11
-                               /\
-3
+=== Peristilahan ===
-* Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorisasinya:
+Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,'''<ref>{{Cite book|last=Achmad Arifin|date=2000|title=Aljabar|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=979-9299-13-6|url-status=live}}</ref> atau '''pembagi bersama terbesar''',<ref>{{Cite book|last=Wono Setya Budhi|date=2006|title=Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika|location=Jakarta|publisher=Ricardo|isbn=979-98175-0-1|url-status=live}}</ref> dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.<ref>{{Cite book|last=Eka Susilowati|date=2017|title=Teori Bilangan|location=Yogyakarta|publisher=Matematika|url-status=live}}</ref>
-:Faktorisasi 147 = '''3<sup>1</sup>''' x 7<sup>2</sup>
-:Faktorisasi 189 = 3<sup>3</sup> x '''7<sup>1</sup>'''
-:Faktorisasi 231 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' x 11<sup>1</sup>
+== Contoh ==
-* Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini '''3''' dan '''7'''.
-* Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' = 21.
-* Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah '''21'''. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.
-* Contoh soal
-** Ibu Rogu memiliki 96 buah rambutan, 48 buah mangga serta 72 buah apel. Buah-buahan dibagikan secara rata-rata kepada teman-teman Rogu. Berapa banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata? berapa jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak?
-: 96 = 2<sup>5</sup> x 3
-: 48 = 2<sup>4</sup> x 3
-: 72 = 2<sup>3</sup> x 3<sup>3</sup>
-FPB dari 48, 72 dan 96 adalah 2<sup>3</sup> x 3 = 24 anak
+* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
-jadi banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata adalah 24.
+* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
+Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>.
-untuk masing-masing buah
-: 96/24 = 4; 48/24 = 2; 72/24 = 3
+== Perhitungan FPB ==
-jadi jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak adalah 4 buah rambutan, 2 buah mangga serta 3 buah apel.
+=== Faktorisasi prima ===
-Untuk pembahasan mengenai [https://penapengajar.com/materi-kpk-dan-fpb-kelas-4/ materi KPK dan FPB] kelas 4 secara lengkap, bisa anda baca ditautan ini.
+FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
+[[Berkas:Factor_Tree_60.svg|nirbing|190x190px]][[Berkas:Factor_Tree_24.svg|nirbing|190x190px]]
-=== Contoh soal cerita yang berkaitan dengan FPB ===
+diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2 \times 3 = 12</math>.
-# Untuk lauk buka nanti sore Ibu menggoreng 15 tempe dan 25 tahu. Setelah itu tempe dan tahu goreng diletakkan di atas piring dengan jumlah yang sama. Maka Ibu harus menyediakan pring sebanyak . . . buah.
-# Ratna membuat rangkaian bunga dari 60 tangkai mawar merah, 90 tangkai mawar putih, dan 105 tangkai mawar merah muda. Setiap rangkaian bunga terdiri dari bunga mawar merah, mawar putih, dan mawar merah muda dengan jumlah yang sama banyak. Maka rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah . . .  buah.
+=== Algoritma Euklides ===
-Jawaban:
+{{Main|Algoritme Euklides|l1=Algoritma Euklides}}
+Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
+. masukkan nilai a dan b;
+. misalkan u:=a dan v:=b;
+. selama u ≠ v, ulangi
+   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
+   v = minimum (u,v);
+. FPB(a,b)=u;
+</pre>
+== Sifat ==
-. 15 = 3 x 5
+Untuk sebarang bilangan bulat <math>a,b,c</math>, dengan <math>|a|</math> adalah [[Nilai absolut|nilai multak]] dari <math>a</math>, berlaku:
+* [[Sifat komutatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>.
-= 5 x 5 atau 5²
+* [[Sifat asosiatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b,c)=\operatorname{FPB}(a,\operatorname{FPB}(b,c))=\operatorname{FPB}(\operatorname{FPB}(a,b),c)</math>.
+* [[Sifat distributif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(ac,bc) = c \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>
+* Jika <math>c</math> faktor persekutuan <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>c \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>, dan <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{\operatorname{FPB}(a,b)}{c}</math>, sehingga jika <math>d=\operatorname{FPB}(a,b)</math> maka <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math>
+* <math>\operatorname{FPB}(\pm a,\pm b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>
+* <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(a,b-a)=\operatorname{FPB}(a,b+a)=\operatorname{FPB}(a,b-ca)</math>
+* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = |a|</math>
+* <math>\operatorname{FPB}(a,1) = 1</math>
+* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika '''<math>b</math>''' habis membagi <math>a</math>.
+== Koprima ==
-Maka FPB dari 15 dan 25 adalah 5. Jadi jumlah piring yang harus disediakan oleh ibu adalah 5 buah piring.
+{{Main|Koprima (bilangan)}}
+Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|archive-date=2023-04-06|dead-url=no|access-date=2021-11-20}}</ref>
+== Penerapan ==
+=== Menyederhanakan pecahan ===
+Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web|title=Greatest Common Factor|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|website=www.mathsisfun.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|archive-date=2005-10-29|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref>. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai
+: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.
-. 60 = 2 x 2 x 3 x 5 atau 2² x 3 x 5
+=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
-= 2 x 3 x 3 x 5 atau 2 x 3² x 5
+{{Main|Kelipatan persekutuan terkecil}}
+Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Common Multiple|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|archive-date=2023-05-16|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref></blockquote>
-= 3 x 5 x 7
-Maka FPB dari 60, 90 dan 105 adalah 3 x 5 = 15. Jadi jumlah rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah 15 buah.
-== Algoritme Euklidean ==
-Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritme Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:
-:* a<sub>1</sub> = maximum(a,b)-minimum(a,b)
-::b<sub>1</sub> = minimum(a,b)
-:* a<sub>2</sub> = maximum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)-minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
-::b<sub>2</sub> = minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
-:::'''.'''
-:::'''.'''
-:::'''.'''
-:* a<sub>i</sub> = maximum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)-minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
-::b<sub>i</sub> = minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
-Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>.
-FPB dari a dan b adalah a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>.
-Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:
-<math>\gcd(a, 0) = 0</math>
-<math>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)</math>
-dengan <math>a \, \mathrm{mod} \, b</math> adalah [[operasi modulus]].
-Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar <math>O(\log(\min(a, b)))</math> pembagian.
 == Lihat pula ==
 * [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
 == Rujukan ==
+<references responsive="1"></references>
 {{Authority control}}