Matriks persegi: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) semuanya menggunakan sitasi pendek, mari dicoba untuk menyamakannya (kalau bisa). Ganti harvard citations dengan sfn. Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Referensi: url Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
||
(2 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 71: | Baris 71: | ||
Matriks persegi <math>A</math> ''[[matriks terbalikkan|dapat dibalik]]'' jika terdapat matriks <math>B</math> sehingga |
Matriks persegi <math>A</math> ''[[matriks terbalikkan|dapat dibalik]]'' jika terdapat matriks <math>B</math> sehingga |
||
<math display="block">AB=BA=I_n</math>.<ref>{{harvnb| |
<math display="block">AB=BA=I_n</math>.<ref>{{harvnb|Brown|1991|nb=yes|loc=Definition I.2.28}}; {{harvnb|Brown|1991|nb=yes|loc=Definition I.5.13}}</ref> |
||
Matriks <math>A</math> juga dikatakan ''dapat diinvers'' dan ''tidak singular''. Jika matriks <math>B</math> ada, maka matriks tersebut unik/tunggal, dan disebut [[matriks invers]] dari <math>A</math>, dan dinyatakan sebagai <math>A^{-1}</math>. |
Matriks <math>A</math> juga dikatakan ''dapat diinvers'' dan ''tidak singular''. Jika matriks <math>B</math> ada, maka matriks tersebut unik/tunggal, dan disebut [[matriks invers]] dari <math>A</math>, dan dinyatakan sebagai <math>A^{-1}</math>. |
||
Baris 98: | Baris 98: | ||
Determinan dari matriks berukuran 2 ''x'' 2 didapatkan dengan menghitung |
Determinan dari matriks berukuran 2 ''x'' 2 didapatkan dengan menghitung |
||
<math display="block">\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math> |
|||
Determinan matriks 3 ''x'' 3 dapat dihitung dengan [[metode Sarrus]]. [[Teorema Leibniz untuk determinan|Teorema Leibniz]] memperumum rumus determinan untuk sembarang dimensi. |
Determinan matriks 3 ''x'' 3 dapat dihitung dengan [[metode Sarrus]]. [[Teorema Leibniz untuk determinan|Teorema Leibniz]] memperumum rumus determinan untuk sembarang dimensi.{{sfn|Brown|1991|loc=Definition III.2.1}} |
||
Determinan dari perkalian dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinan kedua matriks::{{sfn| |
Determinan dari perkalian dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinan kedua matriks::{{sfn|Brown|1991|loc=Theorem III.2.12}} |
||
<math display="block">\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)</math> |
|||
Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain pada matriks, atau kelipatan suatu kolom ke kolom lain, tidak mengubah nilai determinan. Namun, menukar dua baris atau dua kolom akan mengubah tanda dari determinan (sama dengan mengalikan determinan dengan -1).{{sfn| |
Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain pada matriks, atau kelipatan suatu kolom ke kolom lain, tidak mengubah nilai determinan. Namun, menukar dua baris atau dua kolom akan mengubah tanda dari determinan (sama dengan mengalikan determinan dengan -1).{{sfn|Brown|1991|loc=Corollary III.2.16}} Menggunakan operasi-operasi tersebut, setiap matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas (atau bawah). Hal ini memberikan cara untuk menghitung determinan sebarang matriks, karena determinan determinan dari matriks segitiga adalah hasil perkalian setiap elemen diagonal utamanya. |
||
[[Rumus Laplace]] menyatakan determinan dalam operasi terhadap [[Minor (aljabar linear)|minor]], yakni, determinan dari matriks yang berukuran lebih kecil.{{sfn| |
[[Rumus Laplace]] menyatakan determinan dalam operasi terhadap [[Minor (aljabar linear)|minor]], yakni, determinan dari matriks yang berukuran lebih kecil.{{sfn|Mirsky|1990|loc=Theorem 1.4.1}} Rumus ini dapat digunakan secara rekusif untuk menghitung determinan berukuran sebarang, dan dapat ditunjukkan rumus ini setara dengan teorema Leibniz. |
||
Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan [[sistem linear]] menggunakan [[aturan Cramer]], dengan pembagian dua determinan yang sesuai akan menghasilkan nilai dari variabel pada sistem.{{sfn| |
Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan [[sistem linear]] menggunakan [[aturan Cramer]], dengan pembagian dua determinan yang sesuai akan menghasilkan nilai dari variabel pada sistem.{{sfn|Brown|1991|loc=Theorem III.3.18}} |
||
== Catatan == |
== Catatan == |
||
Baris 118: | Baris 118: | ||
* {{citation|last1=Brown|first1=William C.|title=Matrices and vector spaces|publisher=[[Marcel Dekker]]|location=New York, NY|isbn=978-0-8247-8419-5|year=1991|url-access=registration|url=https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow}} |
|||
* {{citation |
* {{citation |
||
|last = Brown |first = William C. |
|||
|last1 = Horn |first1 = Roger A. |author1-link = Roger Horn |
|||
|title = Matrices and vector spaces |
|||
|last2 = Johnson |first2 = Charles R. |author2-link = Charles Royal Johnson |
|||
|publisher = [[Marcel Dekker]] |
|||
|title = Matrix Analysis |
|||
|location = New York, NY |
|||
|publisher = Cambridge University Press |
|||
|isbn = 978-0- |
|isbn = 978-0-8247-8419-5 |
||
|year = |
|year = 1991 |
||
|url-access = registration |
|||
|url = https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow}} |
|||
* {{citation |
* {{citation |
||
|last1 = Lembang |first1 = Suri Toding |
|last1 = Lembang |first1 = Suri Toding |
||
Baris 132: | Baris 133: | ||
|year = 2019 |
|year = 2019 |
||
|publisher = Deepublish |
|publisher = Deepublish |
||
| |
|url = https://books.google.com/books?id=DdDLDwAAQBAJ&pg=PA7 |
||
|page = 7 |
|page = 7 |
||
|isbn = 978-623-02-0265-0 |
|isbn = 978-623-02-0265-0 |
||
Baris 143: | Baris 144: | ||
|isbn=978-0-486-66434-7 |
|isbn=978-0-486-66434-7 |
||
|year=1990}} |
|year=1990}} |
||
* [http://www.math.u-szeged.hu/~ngaba/felmeg/sajatertek.pdf Néhány hasznos állítás komplex mátrixok sajátértékeiről] |
|||
* [http://math.uni-pannon.hu/~leitolda/Matrixok.pdf dr. Leitold Adrien: Mátrixok] |
|||
* [https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2015/balint_timea.pdf Bálint Tímea: Négyzetes mátrixok hatványozása - ELTE] |
|||
* |
|||
{{Aljabar linear}} |
{{Aljabar linear}} |
||
[[Kategori:Matriks|*]] |
[[Kategori:Matriks|*]] |
Revisi terkini sejak 8 Mei 2023 16.56
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Arbitrary_square_matrix.gif/220px-Arbitrary_square_matrix.gif)
Dalam matematika, matriks persegi (atau matriks bujur sangkar)[1] adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran n x n adalah matriks persegi berukuran . Sebarang dua matriks persegi berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikalikan.
Matriks persegi sering digunakan untuk mewakili transformasi linear sederhana, seperti shearing atau rotasi. Sebagai contoh, jika adalah matriks persegi yang mewakili suatu rotasi (matriks rotasi) dan adalah vektor kolom dari suatu titik di ruang, maka hasil perkalian adalah vektor yang melambangkan titik akibat rotasi tersebut. jika adalah vektor baris, transformasi yang sama didapatkan dengan menghitung , dengan matriks adalah hasil transpos dari .
Diagonal utama
[sunting | sunting sumber]Elemen (untuk i = 1, ..., n) pada matriks disebut dengan diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada ruas garis khayal yang menghubungkan elemen paling kiri atas matriks dengan elemen paling kanan bawah matriks. Sebagai contoh, pada matriks persegi di atas, diagonal utamanya berisi elemen a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.
Diagonal lain dari matriks persegi, yang menghubungkan elemen paling kiri bawah dengan elemen paling kanan atas, disebut dengan antidiagonal.
Bentuk khusus
[sunting | sunting sumber]Nama Contoh dengan n = 3 Matriks diagonal Matriks segitiga bawah Matriks segitiga atas
Matriks diagonal dan matriks segitiga
[sunting | sunting sumber]Jika setiap elemen matriks yang bukan diagonal utama bernilai nol, matriks disebut dengan matriks diagonal. Jika hanya setiap entri yang terletak "di atas" (atau "di bawah") diagonal utama yang bernilai nol, matriks disebut dengan matriks segitiga bawah (atau matriks segitiga atas).
Matriks identitas
[sunting | sunting sumber]Matriks identitas berukuran adalah matriks berukuran dengan semua elemen diagonal utamanya bernilai 1, dan semua elemen lainnya bernilai 0. Secara matematiks,
Matriks ini adalah matriks persegi berukuran , dan juga bentuk khusu dari matriks diagonal. Matriks ini disebut matriks identitas karena perkalian dengan matriks lain tidak mengubah nilai matriks lain tersebut. Secara lebih formal, untuk setiap matriks berukuran m x n berlaku .
Matriks yang dapat dibalik dan inversnya
[sunting | sunting sumber]Matriks persegi dapat dibalik jika terdapat matriks sehingga
.[2]
Matriks juga dikatakan dapat diinvers dan tidak singular. Jika matriks ada, maka matriks tersebut unik/tunggal, dan disebut matriks invers dari , dan dinyatakan sebagai .
Operasi
[sunting | sunting sumber]Teras
[sunting | sunting sumber]Teras dari matriks persegi , ditulis sebagai , adalah jumlah dari setiap elemen diagonal utamanya. Walau perkalian matriks tidak komutatif, teras dari perkalian dua matriks tidak bergantung pada urutan perkalian. Dengan kata lain,
Hal ini dapat terlihat dengan menggunakan definisi perkalian matriks:
Selain itu, nilai dari teras suatu matriks sama dengan nilai teras dari transposnya, maksudnya:
.
Determinan
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Determinant_example.svg/300px-Determinant_example.svg.png)
Determinan dari matriks persegi , ditulis sebagai atau , adalah sebuah bilangan yang mendeskripsikan beberapa sifat dari matriks tersebut. Sebuah matriks dapat dibalik jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak bernilai nol. Nilai absolut dari determinan sama dengan luas daerah (di ) atau volume (di ) dari citra persegi satuan (atau kubus satuan). Tanda dari determinan (bernilai negatif atau positif) berhubungan dengan orientasi dari hasil pemetaan linear matriks tersebut: determinan bernilai positif jika dan hanya jika orientasi hasil pemetaan tidak berubah.
Determinan dari matriks berukuran 2 x 2 didapatkan dengan menghitung
Determinan matriks 3 x 3 dapat dihitung dengan metode Sarrus. Teorema Leibniz memperumum rumus determinan untuk sembarang dimensi.[3]
Determinan dari perkalian dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinan kedua matriks::[4]
Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain pada matriks, atau kelipatan suatu kolom ke kolom lain, tidak mengubah nilai determinan. Namun, menukar dua baris atau dua kolom akan mengubah tanda dari determinan (sama dengan mengalikan determinan dengan -1).[5] Menggunakan operasi-operasi tersebut, setiap matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas (atau bawah). Hal ini memberikan cara untuk menghitung determinan sebarang matriks, karena determinan determinan dari matriks segitiga adalah hasil perkalian setiap elemen diagonal utamanya.
Rumus Laplace menyatakan determinan dalam operasi terhadap minor, yakni, determinan dari matriks yang berukuran lebih kecil.[6] Rumus ini dapat digunakan secara rekusif untuk menghitung determinan berukuran sebarang, dan dapat ditunjukkan rumus ini setara dengan teorema Leibniz.
Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem linear menggunakan aturan Cramer, dengan pembagian dua determinan yang sesuai akan menghasilkan nilai dari variabel pada sistem.[7]
Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ Lembang & Natsir 2019, hlm. 7.
- ^ Brown 1991, Definition I.2.28; Brown 1991, Definition I.5.13
- ^ Brown 1991, Definition III.2.1.
- ^ Brown 1991, Theorem III.2.12.
- ^ Brown 1991, Corollary III.2.16.
- ^ Mirsky 1990, Theorem 1.4.1.
- ^ Brown 1991, Theorem III.3.18.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces
, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Lembang, Suri Toding; Natsir, Irmawaty (2019), Aljabar Linier, Deepublish, hlm. 7, ISBN 978-623-02-0265-0
- Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)