Bilangan besar

Untuk melihat daftar bilangan besar lihat: daftar bilangan besar, nama-nama bilangan besar.

Bilangan besar adalah bilangan yang secara signifikan lebih besar dari bilangan biasa yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari. misal, perhitungan dasar atau transaksi keuangan. Bilangan besar sering muncul didalam matematika, kosmologi, astronomi, kriptografi dan mekanika statistika. Bilangan-bilangan tersebut biasanya berupa bilangan bulat positif besar, atau lebih umum lagi, bilangan riil positif besar, tetapi bisa juga berupa bilangan lain dalam konteks lain pula. Googologi adalah studi tentang nomenklatur dan sifat-sifat bilangan besar.

Notasi ilmiah untuk bilangan besar dan kecil

Notasi ilmiah diciptakan untuk menangani berbagai macam nilai yang terjadi dalam studi ilmiah. 1,0 × 10⁹, misalnya, berarti satu miliar, atau angka 1 yang diikuti oleh sembilan angka nol: 1.000.000.000. Kebalikannya, 1,0 × 10-9, berarti sepersatu miliar, atau 0,000 000 001. Menulis 10⁹ alih-alih menulis angka satu diikuti sembilan angka nol akan menghemat tenaga pembaca, dan menghindari kesalahan saat membaca angka nol yang banyak yang menyebabkan disinformasi. Selain notasi ilmiah (pangkat 10), contoh-contoh berikut ini mencakup nomenklatur sistematis (skala pendek) untuk bilangan besar.

Bilangan besar dalam dunia sehari-hari

Contoh bilangan besar yang menggambarkan objek dunia nyata sehari-hari meliputi:

• Jumlah sel dalam tubuh manusia diperkirakan mencapai 3,72 × 10¹³, atau 37,2 triliun
• Jumlah bit pada hard disk komputer pada tahun 2024, biasanya mencapai sekitar 10¹³, 1-2 TB, atau 10 triliun
• Jumlah koneksi sel saraf di otak manusia diperkirakan mencapai 10¹⁴, atau 100 triliun
• Konstanta Avogadro adalah jumlah “entitas elementer” biasanya atom atau molekul dalam satu mol; jumlah atom dalam 12 gram karbon-12 - sekitar 6,022 × 10²³, atau 602,2 sekstiliun.
• Jumlah total pasangan basa DNA dalam seluruh biomassa di Bumi, sebagai perkiraan keanekaragaman hayati global, diperkirakan mencapai (5,3 ± 3,6) × 10³⁷, atau 53 ± 36 sekoniliun
• Massa Bumi terdiri dari sekitar 4 × 10⁵¹, atau 4 seksdesiliun, nukleon
• Perkiraan jumlah atom di alam semesta teramati 10⁸⁰, atau 100 quinvigintiliun
• Batas bawah pada kompleksitas pohon permainan catur, juga dikenal sebagai “bilangan Shannon” diperkirakan mencapai sekitar 10¹²⁰, atau 1 novemtrigintiliun

Bilangan besar dalam astronomi

Angka-angka besar lainnya terkait panjang dan waktu ditemukan dalam astronomi dan kosmologi. Sebagai contoh, model Big Bang saat ini menunjukkan bahwa alam semesta berusia 13,8 miliar tahun (4,355 × 10¹⁷ detik), dan alam semesta yang dapat diamati memiliki luas 93 miliar tahun cahaya (8,8 × 10²⁶ meter), dan mengandung sekitar 5 × 10²² bintang, yang tersusun dalam sekitar 125 miliar (1,25 × 10¹¹) galaksi, berdasarkan pengamatan Teleskop Luar Angkasa Hubble. Ada sekitar 10⁸⁰ atom di alam semesta yang dapat diamati, menurut perkiraan kasar.

Menurut Don Page, fisikawan di University of Alberta, Kanada, waktu terbatas terpanjang yang sejauh ini telah dihitung secara eksplisit oleh fisikawan mana pun adalah:

$\displaystyle {10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}tahun}$

Contoh yang lain:

• $10^{10}$ (10,000,000,000), disebut "sepuluh miliar" dalam bahasa Indonesia (skala panjang) atau "sepuluh biliun" (skala pendek).
• Seksdesiliar = $10^{99}$ dikenal juga sebagai duotrigintiliun.
• Googol = $10^{100}.$
• Sentiliun = $10^{303}$ dalam skala pendek, atau $10^{600}$ dalam skala panjang.
• Bilangan Smith terbesar yang diketahui = (10¹⁰³¹−1) × (10⁴⁵⁹⁴ + 3×10^2.297 + 1)¹⁴⁷⁶ ×10^3.913.210

• Bilangan prima Mersenne terbesar yang diketahui = $2^{77,232,917}-1$ (pada tanggal 3 Januari 2018)
• Googolplex = $10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}$
• Bilangan Skewes: bilangan pertama sekitar $10^{10^{10^{34}}}$, bilangan kedua: $10^{10^{10^{964}}}$
• Bilangan Graham, (g₆₄) bilangan yang terlalu besar untuk dapat direpresentasikan oleh perpangkatan berulang. Namun, mungkin bisa direpresentasi oleh Notasi anak panah Knuth.

Standar sistem penulisan

Cara standar untuk menulis bilangan besar memungkinkan untuk dengan mudah diurutkan sesuai dengan seberapa besar bilangan itu, sekaligus kita bisa mendapatkan gambaran yang baik tentang seberapa besar suatu bilangan dibandingkan dengan bilangan yang lain.

Untuk membandingkan bilangan dalam notasi ilmiah, misalnya 5×10⁴ dan 2×10⁵, bandingkan eksponennya terlebih dahulu, dalam hal ini eksponen 5 > 4, jadi 2×10⁵ > 5×10⁴. Jika eksponennya sama, maka yang dibaningkan adalah mantissa atau koefisiennya, jadi 5×10⁴ > 2×10⁴ karena 5 > 2.

Tetrasi desimal memberikan urutan $\displaystyle {10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$ pangkat dari bilangan 10, dimana $\displaystyle {(10\uparrow )^{n}}$ menyatakan pangkat fungsional dari fungsi $\displaystyle {f(n)=10^{n}}$ (fungsi ini juga memiliki akhiran “-plex” seperti pada googolplex, lihat keluarga googol).

Ini adalah angka yang sangat bulat, masing-masing mewakili urutan besarnya dalam pengertian umum. Cara kasar untuk menentukan seberapa besar sebuah angka adalah dengan menentukan di antara dua angka mana dalam urutan ini.

Lebih tepatnya, angka di antaranya dapat dinyatakan dalam bentuk $\displaystyle {(10\uparrow )^{n}a}$ dengan pangkat 10, dan angka di bagian atas, dapat dilakukan dengan notasi ilmiah, misalnya $\displaystyle {10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$, sebuah angka diantara $\displaystyle {10\uparrow \uparrow 5}$ dan $\displaystyle {10\uparrow \uparrow 6}$. (harap diingat bahwa $\displaystyle {10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ jika nilai a lebih dari 1 dan kurang dari 10 atau $\displaystyle {1<a<10}$. (lihat juga notasi anak panah knuth untuk penjelasan lebih rinci)

Dengan demikian bilangan googolplex dapat ditulis seperti ini $\displaystyle {10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

atau contoh lain seperti:

$\displaystyle {2\uparrow \uparrow \uparrow 4={{\begin{matrix}\underbrace {2^{2^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}} \\\qquad \quad {\mbox{2 setinggi 65.536 tingkat}}\end{matrix}}\approx }(10\uparrow )^{65.531}(6\times 10^{19.729})\approx (10\uparrow )^{65.533}4.3}$ bilangan yang nilainya diantara $\displaystyle {10\uparrow \uparrow 65.533{\mbox{ dan }}10\uparrow \uparrow 65.534}$

Jadi, tingkat besaran dari sebuah bilangan (pada skala yang lebih besar dari biasanya) dapat ditentukan oleh jumlah kali (n) kita harus mengambil logaritma basis 10 ($\displaystyle {\log _{10}}$)sampai mendapatkan bilangan yang berada antara 1 dan 10. Dengan demikian, bilangan tersebut berada di antara $\displaystyle {10\uparrow \uparrow n{\mbox{ sampai }}10\uparrow \uparrow (n+1)}$. Sebagaimana dijelaskan, deskripsi yang lebih tepat dari sebuah bilangan juga harus menentukan nilai bilangan tersebut di antara 1 dan 10, atau bilangan sebelumnya (dengan mengambil logaritma satu kali lebih sedikit) antara 10 dan 10¹⁰, atau berikutnya, antara 0 dan 1.

harap diingat bahwa $\displaystyle {10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Jika sebuah angka x terlalu besar untuk sebuah representasi

$\displaystyle {(10\uparrow )^{n}x}$ menara pangkat dapat dibuat satu tingkat lebih tinggi, menggantikan x dengan $\displaystyle {\log _{10}x}$, atau mencari x dari representasi menara yang lebih rendah dari log₁₀ bilangan bulat. Jika menara pangkat berisi satu atau lebih bilangan yang berbeda dari 10, kedua pendekatan ini akan menghasilkan hasil yang berbeda, sesuai dengan fakta bahwa memperpanjang menara pangkat dengan 10 di bagian bawah tidak sama dengan memperpanjangnya dengan 10 di bagian atas (tetapi, tentu saja, pernyataan yang sama berlaku jika seluruh menara pangkat terdiri dari salinan bilangan yang sama, yang berbeda dari 10).

Jika tinggi menara besar, berbagai representasi untuk angka besar dapat diterapkan pada ketinggian itu sendiri. Jika ketinggiannya hanya diberikan secara kira-kira, memberikan nilai di bagian atas tidak masuk akal, sehingga notasi panah ganda (misalnya: $\displaystyle {10\uparrow \uparrow (7,21\times 10^{8})}$ ) dapat digunakan. Jika nilai setelah tanda panah ganda merupakan angka yang sangat besar, maka cara di atas dapat diterapkan secara rekursif pada nilai tersebut.

Contoh:

$\displaystyle {10\uparrow \uparrow 10^{10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}}$ berada diantara $\displaystyle {10\uparrow \uparrow \uparrow 2{\mbox{ dan }}10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$.

$\displaystyle {10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9,73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{4}97(9,73\times 10^{32})}$ yang nilainya berada diantara $\displaystyle {10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ dan $\displaystyle {10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$.

Contoh penggunaan

Berikut adalah contoh penggunaan notasi anak panah knuth, diawali dengan bilangan kecil yang masih masuk akal untuk direpresentasikan dengan desimal biasa, disusul dengan bilangan besar yang masih bisa direpresentasikan dengan notasi ilmiah lalu dilanjutkan dengan bilangan yang lebih besar lagi, yang dapat ditulis dengan notasi $\displaystyle {(10\uparrow )^{n}x}$.

Bilangan yang mampu direpresentasikan dengan desimal biasa:

• 2² = 4
• 2²² = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3³ = 27
• 4⁴ = 256
• 5⁵ = 3.125
• 6⁶ = 46.656
• $\displaystyle {2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow \uparrow 3=65.536}$
• 7⁷ = 823.543
• 10⁶ = 1.000.000 = 1 Juta
• 8⁸ = 16.777.216
• 9⁹ = 387.420.489
• 10⁹ = 1.000.000.000 = 1 Miliar
• 10¹⁰ = 10.000.000.000
• 10¹² = 1.000.000.000.000 = 1 Triliun
• $\displaystyle {3\uparrow \uparrow 3=3^{27}=7.625.597.484.987}$
• 10¹⁵ = 1.000.000.000.000.000 = 1 Juta miliar = 1 kuadriliun
• 10¹⁸ = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 Miliar miliar = 1 kuintiliun

Bilangan yang dapat direpresentasikan dengan notasi ilmiah:

• Perkiraan jumlah atom dalam alam semesta teramati = 10⁸⁰ = 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
• googol = 10¹⁰⁰ = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 .000.000.000.000
• 4⁴⁴ = 4 ↑↑ 3 = 2⁵¹² ≈ 1,34 × 10¹⁵⁴ ≈ (10 ↑)² 2,2
• Perkiraan jumlah satuan planck yang dibutuhkan untuk mengsi alam semesta teramati = 8,5 × 10¹⁸⁴
• 5⁵⁵ = 5 ↑↑ 3 = 5^3.125 ≈ 1,91 × 10^2.184 ≈ (10 ↑)² 3,3
• 6⁶⁶ = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10^36.305 ≈ (10 ↑)² 4,6
• 7⁷⁷ = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10^695.974 ≈ (10 ↑)² 5,8
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65.536}\approx 2\times 10^{19.728}\approx (10\uparrow )^{2}4,3}$
• 8⁸⁸ = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10^15.151.335 ≈ (10 ↑)² 7,2
• ${\displaystyle M_{82.589.933}\approx 1,49\times 10^{24.862.047}\approx 10^{10^{7,3955}}=(10\uparrow )^{2}\ 7,3955}$, bilangan prima mersenne terbesar per 2021

• 9⁹⁹ = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 × 10^369.693.099 ≈ (10 ↑)² 8.6
• $\displaystyle {10^{10^{10}}=10\uparrow \uparrow 3=10^{10.000.000.000}=(10\uparrow )^{3}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3.638.334.640.024}\approx (10\uparrow )^{3}1,1}$

Bilangan yang bisa direpresentasikan dengan notasi $\displaystyle {(10\uparrow )^{n}k}$:

• $\displaystyle {{\mbox{googolplex }}=10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• $\displaystyle {2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65.536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4,3}=(10\uparrow )^{3}4,3}$
• $\displaystyle {10^{10^{10^{}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• $\displaystyle {10\uparrow \uparrow 5=(10\uparrow )^{5}1}$
• $\displaystyle {3\uparrow \uparrow 6\approx (10\uparrow )^{5}1.1}$
• $\displaystyle {2\uparrow \uparrow 8=(10\uparrow )^{5}4,3}$
• $\displaystyle {10\uparrow \uparrow 6=(10\uparrow )^{6}1}$
• $\displaystyle {10\uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow 10=(10\uparrow )^{10}1}$
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65.536 ≈ (10 ↑)^65.533 4.3, bilangan diantara 10 ↑↑ 65.533 dan 10 ↑↑ 65.534

Angka yang lebih besar

• $\displaystyle {3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)\approx 3\uparrow \uparrow 7,6\times 10^{12}\approx 10\uparrow \uparrow \times 7,6\times 10^{12}}$
• $\displaystyle {10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow )^{3}1=(10\to 3\to 3)}$
• $\displaystyle {(10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• $\displaystyle {(10\uparrow \uparrow )^{2}10^{10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}}$
• $\displaystyle {10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1=(10\to 4\to 3)}$
• $(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})$
• $10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 3 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 3 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1$ = ( 10 → 7 → 3 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1$ = ( 10 → 8 → 3 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1$ = ( 10 → 9 → 3 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1$ = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
• Pola pertama pada bilangan graham, g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10¹²) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10¹²), nilai yang berada diantara (10 ↑↑↑)² 2 dan (10 ↑↑↑)² 3
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1$ = (10 → 3 → 4)
• $4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4$ = ( 4 → 4 → 4 ) $\approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154$
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1$ = ( 10 → 4 → 4 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 4 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 4 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=$ = ( 10 → 7 → 4 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=$ = ( 10 → 8 → 4 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=$ = ( 10 → 9 → 4 )
• $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1$ = ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → $10^{10}$ ) = $10\uparrow ^{10^{10}}10$
• Pola kedua pada bilangan graham, g₂ = 3 ↑^g₁ 3 > 10 ↑^{g₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → $10^{10}$) ) = $10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10$
• g₃ = (3 → 3 → g₂) > (10 → 10 → g₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• g₄ = (3 → 3 → g₃) > (10 → 10 → g₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g₉ = (3 → 3 → g₈) yang berada diantara (10 → 10 → 9 → 2) dan (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g₁₀ = (3 → 3 → g₉) yang berada diantara (10 → 10 → 10 → 2) dan (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g₆₃ = (3 → 3 → g₆₂) yang berada diantara (10 → 10 → 63 → 2) dan (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Bilangan Graham, g₆₄
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ...
• $\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10\to 10{\mbox{ ...}}\to 10\to 10} \\\qquad \quad 10\to 10\to 10\end{matrix}}$ (Dengan angka 10 sebanyak $\displaystyle {10\to 10\to 10}$ kali)