Notasi anak panah atas Knuth adalah salah satu cara untuk merepresentasikan bilangan bulat yang sangat besar . Notasi ini diciptakan oleh Donald Knuth pada tahun 1976.[ 1] [ 2] hiperoperasi , yang mana perkalian dianggap sebagai iterasi atau perulangan dari penjumlahan , perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, iterasi selanjutnya adalah tetrasi, kemudian pentasi, dan seterusnya, di mana notasi anak panah Knuth dapat digunakan. misalnya:
Anak panah tunggal
(
↑
)
{\displaystyle \displaystyle (\uparrow )}
eksponenisasi yang merupakan perkalian berulang.
2
↑
4
=
H
3
(
2
,
4
)
=
2
×
(
2
×
(
2
×
2
)
)
=
2
4
=
16
{\displaystyle {\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}}
Anak panah ganda
(
↑↑
)
{\displaystyle \displaystyle (\uparrow \uparrow )}
tetrasi yang merupakan eksponenisasi yang berulang.
2
↑
4
=
H
3
(
2
,
4
)
=
2
×
(
2
×
(
2
×
2
)
)
=
2
4
=
16
{\displaystyle {\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}}
Anak panah tripel
(
↑↑↑
)
{\displaystyle \displaystyle (\uparrow \uparrow \uparrow )}
pentasi yang merupakan tetrasi yang berulang.
2
↑↑↑
4
=
H
5
(
2
,
4
)
=
2
↑↑
(
2
↑↑
(
2
↑↑
2
)
)
=
2
↑↑
(
2
↑↑
(
2
↑
2
)
)
=
2
↑↑
(
2
↑↑
4
)
=
2
↑
(
2
↑
(
2
↑
…
)
)
⏟
=
2
2
⋯
2
⏟
2
↑↑
4
copies of
2
65,536 2s
{\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ copies of }}2\;\;\;\;\;{\mbox{65,536 2s}}\\\end{aligned}}}}
Definisi umum dari notasi anak panah adalah sebagai berikut, dimana
dimana
(
a
≥
0
,
n
≥
1
,
b
≥
0
)
{\displaystyle {\displaystyle {{\mbox{dimana }}(a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0)}}}
a
↑
n
b
=
H
n
+
2
(
a
,
b
)
=
a
[
n
+
2
]
b
.
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}}
Disini,
↑
n
{\displaystyle \displaystyle \uparrow ^{n}}
2
↑↑↑↑
3
=
2
↑
4
3.
{\displaystyle {\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3.}}
dan kurung siku adalah notasi lain dari hiperoperasi
Hiperoperasi secara alami memperluas operasi aritmetika dari operasi yang lebih kecil seperti Perkalian yang merupakan iterasi , lelaran, perulangan atau Rekursi dari penjumlahan. yang direpresentasikan dengan notasi dibawah ini:
Penambahan dengan bilangan asli didefinisikan dengan penjumlahan yang berulang
H
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
=
a
+
1
+
⋯
+
1
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle \displaystyle {H_{1}(a,b)=a+b=\underbrace {a+1+\cdots +1} _{b\ kali}}}
Misalnya
5
+
3
=
5
+
1
+
1
+
1
=
8
{\displaystyle \displaystyle {5+3=5+1+1+1=8}}
Perkalian merupakan iterasi atau perulangan dari penjumlahan
H
2
(
a
,
b
)
=
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle \displaystyle {H_{2}(a,b)=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b\ kali}}}
Misalnya:
4
×
3
=
3
+
3
+
3
+
3
=
12
{\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12}
Perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, dalam notasi Knuth dilambangkan dengan satu anak panah:
H
3
(
a
,
b
)
=
a
↑
b
=
a
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle H_{3}(a,b)=a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b\ kali}}
Misalnya:
4
↑
3
=
4
3
=
4
×
4
×
4
{\displaystyle 4\uparrow 3=4^{3}={4\times 4\times 4}}
Tetrasi merupakan Iterasi dari perpangkatan, yang merupakan perpangkatan yang berulang, dilambangkan dengan dua anak panah:
H
4
(
a
,
b
)
=
a
↑↑
b
=
b
a
=
a
a
.
.
.
.
a
⏟
b
k
a
l
i
=
a
↑
(
a
↑
(
.
.
.
↑
a
)
)
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow b=\ ^{b}\!a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.^{.^{a}}}}}}} _{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow ({...\uparrow a))}} _{b\ kali}}
Misalnya:
H
4
(
a
,
b
)
=
4
↑↑
3
=
4
4
4
⏟
=
4
↑
(
4
↑
4
)
⏟
=
4
256
≈
1.34078079
×
10
154
4 sebanyak 3 tingkat
3 angka 4
{\displaystyle {\displaystyle {\begin{matrix}H_{4}(a,b)=4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&{\mbox{4 sebanyak 3 tingkat}}&&{\mbox{3 angka 4}}\end{matrix}}}}
Berdasarkan definisi ini dapat diketahui bahwa anak panah ganda
(
↑↑
)
{\displaystyle (\uparrow \uparrow )}
3
↑↑
2
=
3
3
=
27
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7.625.597.484.987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987}
3
↑↑
4
=
3
3
3
3
=
3
7625597484987
≈
1
,
2580143
×
10
3638334640024
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1,2580143\times 10^{3638334640024}}
3
↑↑
5
=
3
3
3
3
3
=
3
3
3
27
=
3
3
7625597484987
=
3
1
,
2580143
×
10
3638334640024
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}=3^{1,2580143\times 10^{3638334640024}}}
Dan seterusnya, Walaupun bilangan ini sudah terlihat sangat besar. Hiperoperasi tidak berhenti disitu. Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah jumlah anak panah pada notasi anak panah knuth:
Pentasi , mendefinisikan iterasi dari tetrasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap tiga
(
↑↑↑
)
{\displaystyle (\uparrow \uparrow \uparrow )}
H
5
(
a
,
b
)
=
a
↑↑↑
b
=
a
↑↑
(
a
↑↑
(
.
.
.
↑↑
a
)
)
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}}
Heksasi mendefinisikan iterasi dari pentasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap empat
(
↑↑↑↑
)
{\displaystyle (\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow )}
H
6
(
a
,
b
)
=
a
↑↑↑↑
b
=
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
(
.
.
.
↑↑↑
a
)
)
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle H_{6}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}}
Jadi, notasi anak panah-
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
↑↑
.
.
.
↑
⏟
n
b
=
a
↑
.
.
.
↑
⏟
n
−
1
(
a
↑
.
.
.
↑
⏟
n
−
1
(
.
.
.
↑
.
.
.
↑
⏟
n
−
1
a
)
)
⏟
b
k
a
l
i
{\displaystyle a\underbrace {\uparrow \uparrow ...\uparrow } _{n}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(...\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}a))} _{b\ kali}}
Sebagai contoh:
3
↑↑↑
2
=
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}}
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑↑
3
)
=
3
↑↑
(
3
↑
3
↑
3
)
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3
sebanyak
3
↑
3
↑
3
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat
=
3
3
3
3
⋅
⋅
⋅
⋅
3
⏟
3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat
{\displaystyle {\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3{\mbox{ sebanyak }}3\uparrow 3\uparrow 3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}}}
Terdapat notasi versi simpel yang lebih pendek, dengan menggunakan
a
↑
n
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b}
a
↑
4
b
=
a
↑↑↑↑
b
=
H
6
(
a
,
b
)
{\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)}
n -nya adalah empat, bukan heksasi yang n -nya enam. Dalam hiperoperasi notasi tersebut berbentuk
a
↑
n
−
2
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}
a
↑
5
b
=
a
↑↑↑
b
=
H
7
(
a
,
b
)
{\displaystyle a\uparrow ^{5}b=a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{7}(a,b)}
n -nya yaitu lima.
Notasi anak panah dipilih karena beberapa hal seperti bahasa pemrograman dan e-mail berupa teks tidak mendukung simbol pangkat. Jika suatu pengodean karakter tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan simbol "caret" atau Superskrip (^).
Notasi alternatif lainnya adalah notasi anak panah berantai yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari notasi Knuth:
a
↑
n
b
=
a
→
b
→
n
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\rightarrow b\rightarrow n}
notasi
a
↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
↑↑
4
=
a
↑
(
a
↑
(
a
↑
a
)
)
=
a
a
a
a
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}}
Menambahkan satu anak panah lagi akan menghasilkan menara daya bertumpuk yang menunjukkan jumlah anak panah untuk tingkat yang lebih tinggi diatasnya.
a
↑↑↑
4
=
a
↑↑
(
a
↑↑
(
a
↑↑
a
)
)
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
a
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}}
Melanjutkan dari notasi ini,
a
↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑↑↑
b
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
b
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}}
Lebih-lebih lagi, anak panah 4.
a
↑↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑↑↑↑
4
=
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
a
)
)
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}}
Dan lebih lanjut, lagi secara umum akan direpresentasikan setidaknya seperti ini:
a
↑↑↑↑
b
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
⋯
}
a
⏟
b
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}}
Cara ini dapat terus dilakukan untuk merepresentasi
(
a
↑
)
n
b
{\displaystyle (a\uparrow )^{n}b}
Notasi Rudy Rucker
b
a
{\displaystyle ^{b}a}
a
b
=
b
↑↑
a
{\displaystyle ^{a}b=b\uparrow \uparrow a}
a
↑↑↑
b
=
a
.
.
.
a
a
⏟
b
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}}
a
↑↑↑↑
b
=
a
.
.
.
a
a
⏟
a
.
.
.
a
a
⏟
⋮
⏟
a
}
b
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}}
Dan akhirnya, bilangan keempat dari Fungsi Ackerman,
4
(
↑
)
4
4
{\displaystyle 4(\uparrow )^{4}4}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
=
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
4
4
{\displaystyle {\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}}
Saat bilangan yang dibahas terlalu besar, dan jumlah anak panah terlalu panjang untuk ditulis, operator
↑
n
{\displaystyle \uparrow ^{n}}
n
{\displaystyle n}
Notasi anak panah berantai Conway dapat digunakan, notasi panah berantai tiga mungkin sama dengan notasi anak panah knuth, tapi jika rantai mencapai 4 anak panah, ini akan sangat jauh lebih kuat daripada anak panah Knuth.
a
↑
n
b
=
a
[
n
+
2
]
b
=
a
→
b
→
n
(Knuth)
(hiperoperasi)
(Conway)
{\displaystyle {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hiperoperasi)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}}
6
→
4
→
2
=
6
[
4
]
4
=
6
↑↑
4
=
6
6
.
.
.
6
⏟
4
=
6
6
6
6
=
6
6
46656
{\displaystyle 6\to 4\to 2=6[4]4=6\uparrow \uparrow 4=\underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}=6^{6^{6^{6}}}=6^{6^{46656}}}
10
↑
(
3
×
10
↑
(
3
×
10
↑
15
)
+
3
)
{\displaystyle {\displaystyle 10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)}}
100000...000
⏟
300000...003
⏟
300000...000
⏟
15
{\displaystyle {\displaystyle \underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...000} _{15}}}}}
10
3
×
10
3
×
10
15
+
3
{\displaystyle {\displaystyle 10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}}}
Fungsi yang tumbuh lebih cepat dari ini oun dapat dikategorikan menggunakan analisis ordinal yang disebut hierarki cepat bertumbuh Hirarki cepat bertumbuh menggunakan iterasi fungsi dan diagonalisasi yang berurutan untuk secara sistematis membuat fungsi yang tumbuh lebih cepat dari beberapa fungsi dasar.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
0
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle f_{0}(x)=x+1}
f
1
(
x
)
{\displaystyle f_{1}(x)}
f
2
(
x
)
{\displaystyle f_{2}(x)}
f
3
(
x
)
{\displaystyle f_{3}(x)}
f
ω
(
x
)
{\displaystyle {\displaystyle f_{\omega }(x)}}
Fungsi Ackermann ,
f
ω
+
1
{\displaystyle \displaystyle {f_{\omega +1}}}
Bilangan Graham , dan sebanding dengan notasi panah berantai Conway yang bisa dipanjangjan sepanjang apapun.
Semua fungsi ini dapat dihitung. Bahkan fungsi yang dapat dihitung lebih cepat, seperti Deret Goodstein dan Deret TREE yang memerlukan penggunaan ordinal besar, dapat terjadi dalam konteks kombinatorik dan teori pembuktian tertentu. Ada fungsi yang tumbuh sangat cepat, seperti Fungsi Busy Beaver , yang sifatnya akan sepenuhnya berada di luar jangkauan panah atas, atau bahkan analisis berbasis ordinal apa pun.
Tanpa referensi dari hiperoperasi , Notasi anak panah atas Knuth masih dapat dijabarkan dengan rumus formal matematika.
a
↑
n
b
=
{
a
b
,
jika
n
=
1
;
1
,
jika
n
>
1
dan
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
jika kondisi tidak ada yang terpenuhi
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{jika }}n=1;\\1,&{\text{jika }}n>1{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak ada yang terpenuhi}}\end{cases}}}}
Dimana Bilangan bulat
a, b, n
{\displaystyle {\text{a, b, n}}}
a
≥
0
,
n
≥
1
,
b
≥
0
{\displaystyle {\displaystyle {a\geq 0,{\text{ }}n\geq 1,{\text{ }}b\geq 0}}}
Definisi ini menggunakan eksponenisasi
(
a
↑
1
b
=
a
↑
b
=
a
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})}
tetrasi
(
a
↑
2
b
=
a
↑↑
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)}
suksesi , penjumlahan dan perkalian .
Seseorang juga dapat memilih perkalian
(
a
↑
0
b
=
a
×
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=a\times b)}
a
↑
n
b
=
{
a
×
b
,
jika
n
=
0
;
1
,
jika
n
>
0
dan
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
jika kondisi tidak terpenuhi
{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{jika }}n=0;\\1,&{\text{jika }}n>0{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak terpenuhi }}\end{cases}}}}
Dimana Bilangan bulat
a, b, n
{\displaystyle {\text{a, b, n}}}
a
≥
0
,
n
≥
0
,
b
≥
0
{\displaystyle {\displaystyle {a\geq 0,{\text{ }}n\geq 0,{\text{ }}b\geq 0}}}
Namun perlu dicatat bahwa simplifikasi Notasi anak panah Knuth tidak mendefinisikan "panah nol"
(
↑
0
)
{\displaystyle (\uparrow ^{0})}
(
n
≥
−
2
)
{\displaystyle (n\geq -2)}
H
n
(
a
,
b
)
=
a
[
n
]
b
=
a
↑
n
−
2
b
dengan
n
≥
0.
{\displaystyle {\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ dengan }}n\geq 0.}}
Operasi panah ke atas adalah termasuk operasi asosiatif kanan . Yaitu dimana operasi
a
↑
b
↑
c
{\displaystyle a\uparrow b\uparrow c}
a
↑
(
b
↑
c
)
{\displaystyle a\uparrow (b\uparrow c)}
(
a
↑
b
)
↑
c
{\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}
Menghitung
0
↑
n
b
=
H
n
+
2
(
0
,
b
)
=
0
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle {\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}}
0, jika n = 0
1, jika n = 1 dan b = 0
0, jika n = 1 dan b > 0
1, jika n > 1 dan b genap (termasuk juga ketika b = 0)
0, jika n > 1 dan b ganjil Menghitung angka 1 dengan cara mengalikannya, memangkatkannya atau bahkan menumpuknya dengan tetrasi akan selalu menghasilkan angka 1.
Komputasi
2
↑
n
b
{\displaystyle 2\uparrow ^{n}b}
2
b
{\displaystyle 2^{b}}
Nilai dari
2
↑
n
b
{\displaystyle 2\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
2
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(2,b)}
2
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 2[n+2]b}
2
→
b
→
n
{\displaystyle 2\to b\to n}
b
ⁿ
1
2
3
4
5
6
formula
1
2
4
8
16
32
64
2
b
{\displaystyle 2^{b}}
2
2
4
16
65536
2
65,536
≈
2.0
×
10
19,728
{\displaystyle 2^{65{,}536}\approx 2.0\times 10^{19{,}728}}
2
2
65,536
≈
10
6.0
×
10
19,727
{\displaystyle 2^{2^{65{,}536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19{,}727}}}
2
↑↑
b
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow b}
3
2
4
65536
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
↑↑↑
b
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
2
4
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
.
.
.
2
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
.
.
.
2
2
⏟
2
.
.
.
2
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
.
.
.
2
2
⏟
2
.
.
.
2
2
⏟
2
.
.
.
2
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
sebanyak
65
.
536
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\2{\mbox{ sebanyak }}65{.}536\end{matrix}}}
2
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Komputasi
3
↑
n
b
{\displaystyle 3\uparrow ^{n}b}
3
b
{\displaystyle 3^{b}}
Nilai dari
3
↑
n
b
{\displaystyle 3\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
3
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(3,b)}
3
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 3[n+2]b}
3
→
b
→
n
{\displaystyle 3\to b\to n}
b
ⁿ
1
2
3
4
5
formula
1
3
9
27
81
243
3
b
{\displaystyle 3^{b}}
2
3
27
7.625.597.484.987
3
7
.
625
.
597
.
484
.
987
≈
1.3
×
10
3
.
638
.
334
.
640
.
024
{\displaystyle 3^{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\approx 1.3\times 10^{3{.}638{.}334{.}640{.}024}}
3
3
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle 3^{3^{7{.}625{.}597{.}484{.}987}}}
3
↑↑
b
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow b}
3
3
7.625.597.484.987
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
↑↑↑
b
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
3
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
.
.
.
3
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
.
.
.
3
3
⏟
3
.
.
.
3
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
.
.
.
3
3
⏟
3
.
.
.
3
3
⏟
3
.
.
.
3
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
sebanyak
7
.
625
.
597
.
484
.
987
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\3{\mbox{ sebanyak }}{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\end{matrix}}}
3
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Komputasi
4
↑
n
b
{\displaystyle 4\uparrow ^{n}b}
4
b
{\displaystyle 4^{b}}
Nilai dari
4
↑
n
b
{\displaystyle 4\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
4
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(4,b)}
4
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 4[n+2]b}
4
→
b
→
n
{\displaystyle 4\to b\to n}
b
ⁿ
1
2
3
4
5
formula
1
4
16
64
256
1024
4
b
{\displaystyle 4^{b}}
2
4
256
4
256
≈
1.34
×
10
154
{\displaystyle 4^{256}\approx 1.34\times 10^{154}}
4
4
256
≈
10
8.0
×
10
153
{\displaystyle 4^{4^{256}}\approx 10^{8.0\times 10^{153}}}
4
4
4
256
{\displaystyle 4^{4^{4^{256}}}}
4
↑↑
b
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow b}
3
4
4
4
256
≈
10
8.0
×
10
153
{\displaystyle 4^{4^{256}}\approx 10^{8.0\times 10^{153}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
↑↑↑
b
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
4
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
sebanyak
4
4
256
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4{\mbox{ sebanyak }}4^{4^{256}}\end{matrix}}}
4
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Komputasi
10
↑
n
b
{\displaystyle 10\uparrow ^{n}b}
10
b
{\displaystyle 10^{b}}
Nilai dari
10
↑
n
b
{\displaystyle 10\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
10
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(10,b)}
10
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 10[n+2]b}
10
→
b
→
n
{\displaystyle 10\to b\to n}
b
ⁿ
1
2
3
4
5
formula
1
10
100
1.000
10.000
100.000
10
b
{\displaystyle 10^{b}}
2
10
10.000.000.000
10
10.000.000.000
{\displaystyle 10^{10.000.000.000}}
10
10
10.000.000.000
{\displaystyle 10^{10^{10.000.000.000}}}
10
10
10
10.000.000.000
{\displaystyle 10^{10^{10^{10.000.000.000}}}}
10
↑↑
b
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow b}
3
10
10
10
.
.
.
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑
b
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
10
10
.
.
.
10
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
sebanyak
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ sebanyak }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Notasi Bilangan Tokoh
![{\displaystyle {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8142963e3eab07bae58a27e51dee4bed83a897e)
![{\displaystyle {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hiperoperasi)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f492539e8a9761f46d886decad3fa703e327fb94)
![{\displaystyle 6\to 4\to 2=6[4]4=6\uparrow \uparrow 4=\underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}=6^{6^{6^{6}}}=6^{6^{46656}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca957ab0d39a2530dd7986e1affb8719cce29dea)
![{\displaystyle {\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ dengan }}n\geq 0.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b8e9d999868957a3fa329675f6f8ba36fee494)
![{\displaystyle {\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd06258aecbd11278b1d268e4e7538c8a0e7ee2)
![{\displaystyle 2[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b0efd43c05147b6e2cf0f82e4e8578d9bb164)
![{\displaystyle 3[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2687ff69ff6cb85e93440bbf3c34422f0c1399)
![{\displaystyle 4[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e886a59164bc509fe87631a45781e0fc21586a2)
![{\displaystyle 10[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb5b9086a31901fae5ebe46f61c0aba5b340ec4)
