Faktor persekutuan terbesar

Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan.

Definisi

Suatu bilangan $c$ disebut faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ jika $c$ habis membagi bilangan $a$ dan $b$ sekaligus.

Suatu bilangan $d$ disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:

• $d$ faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$; dan
• jika $c$ faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ maka berlaku $c\leq d$

bilangan $d$ ditulis sebagai $FPB(a,b)$ atau $(a,b)$.

Peristilahan

Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar, atau pembagi bersama terbesar, dilambangkan dengan ${\text{PBT}}(a,b)$. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi ${\text{gcd}}(a,b)$, berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.

Contoh

• Faktor dari $12$ adalah $1,2,3,{\color {red}{4}},6,12$
• Faktor dari $20$ adalah $1,2,{\color {red}{4}},5,10,20$

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan $\operatorname {FPB} (12,20)=4$.

Perhitungan FPB

Faktorisasi prima

FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

diperoleh $60={\color {red}{2}}^{2}\times {\color {red}{3}}\times 5$ dan $24={\color {red}{2}}^{3}\times {\color {red}{3}}$. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, $\operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}\times 3=12$.

Algoritma Euklides

Artikel utama: Algoritma Euklides

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan $a$ dan $b$ adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:

1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

Sifat

Untuk sebarang bilangan bulat $a,b,c$, dengan $|a|$ adalah nilai multak dari $a$, berlaku:

• Sifat komutatif, yaitu $\operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (b,a)$.
• Sifat asosiatif, yaitu $\operatorname {FPB} (a,b,c)=\operatorname {FPB} (a,\operatorname {FPB} (b,c))=\operatorname {FPB} (\operatorname {FPB} (a,b),c)$.
• Sifat distributif, yaitu $\operatorname {FPB} (ac,bc)=c\cdot \operatorname {FPB} (a,b)$
• Jika $c$ faktor persekutuan $a$ dan $b$, maka $c\mid \operatorname {FPB} (a,b)$, dan $\operatorname {FPB} \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)={\frac {\operatorname {FPB} (a,b)}{c}}$, sehingga jika $d=\operatorname {FPB} (a,b)$ maka $\operatorname {FPB} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1$
• $\operatorname {FPB} (\pm a,\pm b)=\operatorname {FPB} (b,a)$
• $\operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (a,b-a)=\operatorname {FPB} (a,b+a)=\operatorname {FPB} (a,b-ca)$
• $\operatorname {FPB} (a,0)=|a|$
• $\operatorname {FPB} (a,1)=1$
• Untuk sebarang bilangan bulat positif $a,b$, $\operatorname {FPB} (a,b)=b$ jika dan hanya jika $b$ habis membagi $a$.

Koprima

Artikel utama: Koprima (bilangan)

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.

Penerapan

Menyederhanakan pecahan

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan ${\frac {4}{8}}$ dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari $4$ dan $8$ adalah $\operatorname {FPB} (4,8)=2$. Kita tuliskan sebagai

${\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}$.

Kelipatan persekutuan terkecil

Artikel utama: Kelipatan persekutuan terkecil

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

$\operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}$.

Lihat pula

• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)