Basis (aljabar linear): Perbedaan antara revisi
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
|||
(8 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{short description|Himpunan vektor yang digunakan untuk mendefinisikan koordinat}} |
|||
Dalam [[aljabar linear]], '''basis''' adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah [[kombinasi linear]] dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu [[ruang vektor]]. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".<ref>Halmos, Paul Richard (1987) ''Finite-dimensional vector spaces'' (4<sup>th</sup> edition) Springer-Verlag, New York, [http://books.google.co.uk/books?id=mdWeEhA17scC&pg=PA10 page 10], ISBN 0-387-90093-4</ref> |
|||
{{redirect|Vektor basis|vektor basis dalam konteks kristal|Struktur kristal|konsep yang lebih umum dalam fisika|Kerangka acuan}} |
|||
[[Berkas:3d_two_bases_same_vector.svg|jmpl|265x265px|Vektor yang sama (panah berwarna biru tua) dapat dinyatakan dengan menggunakan dua basis yang berbeda (panah-panah berwarna ungu dan berwarna merah).]] |
|||
Dalam [[matematika]], sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] vektor ''{{mvar|B}}'' dalam suatu [[ruang vektor]] {{math|''V''}} disebut '''basis''', jika setiap elemen di {{math|''V''}} dapat dituliskan sebagai [[kombinasi linear]] terhingga yang unik dari elemen-elemen di ''{{mvar|B}}''. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai ''koordinat'' dari vektor terhadap ''{{mvar|B}}''. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai ''vektor basis''. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan ''{{mvar|B}}'' yang elemen-elemennya saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] dan setiap elemen di {{math|''V''}} adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di ''{{mvar|B}}''.<ref>{{cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|year=1987|url=https://books.google.com/books?id=mdWeEhA17scC&pg=PA10|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|location=New York|publisher=Springer|isbn=978-0-387-90093-3|edition=4th|page=10|author-link=Paul Halmos}}</ref> Dengan kata lain, basis adalah [[Rentang linear|himpunan merentang]] (''spanning'') yang bebas linear. |
|||
Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai [[Dimensi (ruang vektor)|''dimensi'' dari ruang vektor]]. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga. |
|||
== Rujukan == |
|||
{{reflist}} |
|||
== Definisi == |
|||
{{matematika-stub}} |
|||
Basis untuk ruang vektor <math>V</math> (atas [[Medan (matematika)|medan]] <math>F</math>) adalah suatu himpunan bagian <math>B\subset V</math> yang memenuhi: |
|||
# Setiap <math>\mathbf{v}\in V</math> dapat dituliskan sebagai <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^ka_i\mathbf{b}_i</math> dengan <math>k\in\mathbb{N}, a_1,\ldots,a_k\in F, \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k\in B</math>. |
|||
{{Aljabar linear}} |
|||
# Jika <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^{\tilde{k}}\tilde{a}_i\tilde{\mathbf{b}}_i</math> representasi lain, maka <math>k=\tilde{k}</math> dan ada suatu permutasi <math>\iota:\{1,\ldots,k\}\to\{1,\ldots,k\}</math> yang <math>a_i=\tilde{a}_{\iota (i)}</math> dan <math>\mathbf{b}_i=\tilde{\mathbf{b}}_{\iota (i)}</math>. |
|||
Sebarang basis <math>B</math> dari suatu [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>F</math> (seperti [[bilangan riil]] <math>\R</math> atau [[bilangan kompleks]] <math>\C</math>) adalah suatu [[Himpunan bagian|subset]] dari <math>V</math> yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] dan [[Rentang linear|merentang]] <math>V</math>. Hal ini mengartikan suatu subset <math>B</math> dari <math>V</math> merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut: |
|||
; ''kebebasan linear'' |
|||
: Untuk setiap subset [[Himpunan hingga|terhingga]] <math>\{\mathbf v_1, \dotsc, \mathbf v_m\}</math> dari <math>B</math>, jika <math>c_1 \mathbf v_1 + \cdots + c_m \mathbf v_m = \mathbf 0</math> untuk suatu <math>c_1,\dotsc,c_m</math> di {{math|''F''}}, maka {{nowrap|<math>c_1 = \cdots = c_m = 0</math>;}} |
|||
; ''merentang linear'' |
|||
: Untuk setiap vektor <math>\mathbf v \in V</math>, terdapat <math>n</math> skalar <math>a_1,\dotsc,a_n</math> di {{math|''F''}} dan <math>n</math> vektor <math>\mathbf v_1, \dotsc, \mathbf v_n</math> di ''{{mvar|B}}'', sehingga {{nowrap|<math>\mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n</math>.}} |
|||
[[Skalar (matematika)|Skalar-skalar]] <math>a_i</math> disebut ''koordinat'' dari vektor <math>\mathbf v</math> terhadap basis <math>B</math>, dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut ''[[Dimensi (ruang vektor)|berdimensi hingga]]'' jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga. |
|||
Vektor-vektor basis seringkali (dan terkadang harus) perlu memiliki [[urutan total]] untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]], atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah ''basis terurut'' terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] tak-terurut, melainkan sebagai suatu [[barisan]] (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian [[Pengguna:Kekavigi/bak pasir#koordinat|Koordinat]] di bawah. |
|||
== Contoh == |
|||
[[Berkas:Basis_graph_(no_label).svg|jmpl|Gambar ini mengilustrasikan [[basis standar]] di <math>\R^2,</math> yang elemennya adalah vektor biru dan oranye. Vektor hijau dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, mengakibatkan vektor ini [[bergantung linear]] pada mereka.]] |
|||
Himpunan <math>\R^2</math> dari [[pasangan terurut]] [[bilangan riil]] adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponen<math display="block">(a, b) + (c, d) = (a + c, b+d)</math>dan perkalian<math display="block">\lambda (a,b) = (\lambda a, \lambda b),</math>dengan <math>\lambda</math> adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor <math>\mathbf{e}_1 = (1,\,0)</math> dan <math>\mathbf{e}_2 = (0,\,1) </math>. Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut ''basis standar'') karena sebarang vektor <math>\mathbf{v} = (a,\,b) </math> di <math>\R^2</math> dapat ditulis secara unik sebagai<math display="block">\mathbf v = a \mathbf e_1 + b \mathbf e_2.</math>Sebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di <math>\R^2</math>, seperti <math>(1,\,1)</math> dan <math>(-1,\,2)</math>, juga membentuk sebuah basis untuk <math>\R^2</math>. Secara umum, jika <math>F</math> berupa [[Lapangan (matematika)|lapangan]], maka himpunan <math>F^n</math> yang berisi [[Rangkap|rangkap-''n'']] elemen-elemen dari <math>F^n</math> adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkan<math display="block">\mathbf e_i = (0,\,\ldots,\,0,\,1,\,0,\,\ldots,\,0)</math>adalah rangkap-''n'' dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-''i'', yang bernilai 1. Himpunan <math>\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n</math> membentuk suatu basis (terurut) untuk <math>F^n,</math> yang disebut dengan ''basis standar'' dari <math>F^n.</math> Contoh yang berbeda terlihat pada [[gelanggang polinomial]]. Jika <math>F</math> berupa [[Lapangan (matematika)|lapangan]], himpunan <math>F[x]</math> dari semua [[polinomial]] satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di <math>F</math>, merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah [[basis monomial]] ''{{mvar|B}}'', yang berisi semua [[monomial]]:<math display="block">B=\{1, x, x^2, \ldots\}.</math>Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah [[Polinomial Bernstein|polinomial basis Bernstein]] dan [[polinomial Chebyshev]]. |
|||
== Sifat-sifat == |
|||
Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari [[lema pertukaran Steinitz]], yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor <math>V</math>, dan sebarang penetapan [[Rentang linear|himpunan merentang]] <math>S</math> dan himpunan [[Kebebasan linear|bebas linear]] <math>L</math> berisi <math>n</math> elemen dari <math>V</math>, <math>n</math> elemen dari <math>S</math> dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di <math>L</math> sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung <math>L</math>, elemen-elemen yang lainnya berada di <math>S</math>, dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan <math>S</math>. Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, namun pembuktian untuk keadaan ini memerlukan [[aksioma pemilihan]] atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti [[lema ultrafilter]]. |
|||
Jika <math>V</math> adalah ruang vektor atas lapangan <math>F</math>, maka: |
|||
* Untuk sebarang subset bebas linear <math>L</math> dari sebarang himpunan merentang <math>S\subseteq V</math>, terdapat suatu basis <math>B</math> sehingga <math display="block">L\subseteq B\subseteq S.</math> |
|||
* <math>V</math> memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih <math>L</math> sebagai [[himpunan kosong]], dan <math>S=V</math>). |
|||
* Setiap basis dari <math>V</math> memiliki [[kardinalitas]] yang sama, yang disebut dengan dimensi dari <math>V</math>. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi. |
|||
* Sebarang himpunan pembangkit <math>S</math> adalah basis dari <math>V</math> jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya, <math>S</math> bukan subset sejati (''proper subset'') dari sebarang himpunan yang bebas linear. |
|||
Jika <math>V</math> adalah ruang vektor berdimensi <math>n</math>, suatu subset berisi <math>n</math> elemen dari <math>V</math> merupakan basis dari <math>V</math> jika dan hanya jika: |
|||
* Subset tersebut bebas linear; |
|||
* Subset tersebut himpunan merentang dari <math>V</math>. |
|||
== Koordinat == |
|||
Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor berdimensi <math>n</math> (hingga) atas lapangan <math>F</math>, dan<math display="block">B = \{\mathbf b_1, \ldots, \mathbf b_n\}</math>adalah basis dari <math>V</math>. Berdasarkan definisi dari basis, setiap <math>\mathbf v</math> di <math>V</math> dapat ditulis secara unik sebagai<math display="block">\mathbf v = \lambda_1 \mathbf b_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf b_n,</math>dengan koefisien-koefisien <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari <math>F</math>), yang disebut sebagai ''koordinat'' dari <math>\mathbf v</math> atas <math>B</math>. Akan tetapi, pembahasan terkait ''himpunan'' koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki ''himpunan'' koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor <math>3 \mathbf b_1 + 2 \mathbf b_2</math> dan <math>2 \mathbf b_1 + 3 \mathbf b_2</math> yang berbeda memiliki himpunan koefisien <math>\{2,\,3\}</math> yang sama. Oleh karena itu, konsep ''basis terurut'' umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan [[Himpunan indeks|mengindeks]] elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka. |
|||
Misalkan, seperti biasa, <math>F^n</math> adalah himpunan [[Rangkap|rangkap-''n'']] dari elemen-elemen di <math>F</math>). Himpunan ini adalah ruang vektor-<math>F</math>, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaan<math display="block">\varphi: (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \mapsto \lambda_1 \mathbf b_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf b_n</math>adalah suatu [[Peta linear|isomorfisme linear]] dari ruang vektor <math>F^n</math> pada (''onto'') <math>V</math>. Dalam kata lain, <math>F^n</math> adalah [[Ruang vektor#Ruang koordinat|ruang koordinat]] dari <math>V</math>, dan rangkap-''n'' <math>\varphi^{-1}(\mathbf v)</math> adalah [[vektor koordinat]] dari <math>\mathbf v</math>. Secara khusus, invers bayangan dari <math>\mathbf b_i</math> oleh <math>\varphi</math> adalah vektor <math>\mathbf e_i</math>, yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-''i'' yang bernilai 1. Himpunan <math>\mathbf e_i</math> membentuk suatu basis terurut bagi <math>F^n</math>, yang disebut dengan ''basis standar'' atau ''basis kanonik''. |
|||
== Perubahan basis == |
|||
{{main|Perubahan basis}} |
|||
Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor berdimensi <math>n</math> atas lapangan {{math|''F''}}. Untuk dua basis (terurut) <math>B_\text{lama} = (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n)</math> dan <math>B_\text{baru} = (\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n)</math>, terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor <math>\mathbf z</math> atas <math>B_\mathrm{lama}</math>, dalam bentuk koordinat atas <math>B_\mathrm{baru}</math>. Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama. |
|||
Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,<math display="block">\mathbf w_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j} \mathbf v_i.</math>Jika <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> dan <math>(y_1, \ldots, y_n)</math> adalah koordinat vektor <math>\mathbf z</math>, masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalah<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j,</math>Untuk <math>i=1,\,\dots,\,n.</math> Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi [[Matriks (matematika)|matriks]]. Misalkan <math>\mathbf A</math> adalah matriks dengan entri-entri {{nowrap|<math>a_{i,j}</math>,}} dan<math display="block">\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}</math>adalah vektor kolom dari koordinat <math>\mathbf z</math> masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebaga<math display="block">x = \mathbf{A} y.</math>Rumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor <math>\mathbf z</math> pada kedua basis: di satu sisi kita memiliki<math display="block">\mathbf z = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf v_i,</math>dan di sisi lain,<math display="block">\mathbf z =\sum_{j=1}^n y_j \mathbf w_j |
|||
= \sum_{j=1}^n y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf v_i |
|||
= \sum_{i=1}^n \biggl(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\biggr)\mathbf v_i.</math>Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubungan<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j,</math>untuk {{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}. |
|||
== Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis == |
|||
Misalkan <math>V</math> adalah sebarang ruang vektor atas lapangan <math>F</math>, dan <math>X</math> adalah himpunan semua subset yang bebas linear di <math>V</math>. Himpunan <math>X</math> tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari <math>V</math> dan bebas linear). Himpunan <math>X</math> juga [[Himpunan terurut parsial|terurut parsial]] oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan <math>\subseteq</math>. |
|||
Misalkan <math>Y</math> adalah suatu subset dari <math>X</math> yang terurut total oleh <math>\subseteq</math>, dan misalkan <math>L_Y</math> adalah gabungan dari semua elemen di <math>Y</math>. Karena <math>(Y,\,\subseteq)</math> terurut total, setiap subset terhingga dari <math>L_Y</math> adalah suatu subset dari suatu elemen di <math>Y</math>, yang merupakan suatu subset bebas linear dari <math>V</math>. Akibatnya, <math>L_Y</math> juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari <math>X</math>. Hal ini mengartikan <math>L_Y</math> adalah batas atas bagi <math>Y</math> dalam <math>(X,\,\subseteq)</math>: himpunan itu adalah elemen dari <math>X</math>, dan berisi semua elemen dari <math>Y</math>. |
|||
Karena <math>X</math> tak-kosong, dan semua subset terurut total dari <math>(X,\,\subseteq)</math> memiliki batas atas dalam <math>X</math>, [[Lemma Zorn|lema Zorn]] menyatakan bahwa <math>X</math> memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen <math>L_\text{max}</math> di <math>X</math> yang memenuhi kondisi: kapanpun <math>L_\text{max} \subseteq L </math> untuk suatu elemen <math>L</math> dari <math>X</math>, maka <math>L=L_\text{max} </math>. |
|||
Karena <math>L_\text{max}</math> elemen dari <math>X</math>, kita menyimpulkan <math>L_\text{max}</math> adalah subset yang bebas linear di <math>V</math>. Sekarang kita cukup membuktikan <math>L_\text{max}</math> adalah basis dari <math>V</math>. |
|||
Anggap ada suatu vektor <math>\mathbf w</math> di <math>V</math> yang tidak berada dalam [[Rentang linear|rentang]] (''span'') dari <math>L_\text{max}</math>, maka <math>\mathbf w</math> bukan menjadi elemen dari <math>L_\text{max}</math>. Misalkan <math>L_\mathbf{w} = L_\text{max} \cup \{w\}</math>. Himpunan ini adalah elemen dari <math>X</math> (karena <math>\mathbf w</math> tidak berada dalam rentang <math>L_\text{max}</math>, dan <math>L_\text{max}</math> bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di <math>V</math>. Karena <math>L_\text{max} \subseteq L_\mathbf{w} </math> namun <math>L_\text{max} \neq L_\mathbf{w} </math> (karena <math>L_\mathbf{w} </math> mengandung <math>\mathbf w</math> yang tidak ada di <math>L_\text{max}</math>), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari <math>L_\text{max}</math>. Alhasil, <math>L_\text{max}</math> merentang <math>V</math>. |
|||
Kita dapatkan <math>L_\text{max}</math> bebas linear dan merentang <math>V</math>, menjadikannya sebagai basis bagi <math>V</math> dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan [[aksioma pemilihan]]. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.<ref>{{Harvnb|Blass|1984}}</ref> Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara. |
|||
== Catatan kaki == |
|||
<references responsive="1"></references> |
|||
== Referensi == |
|||
=== Referensi umum === |
|||
* {{Citation|last1=Blass|first1=Andreas|title=Axiomatic set theory|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=Contemporary Mathematics volume 31|mr=763890|year=1984|chapter=Existence of bases implies the axiom of choice|pages=31–33|isbn=978-0-8218-5026-8|chapter-url=http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf}} |
|||
* {{Citation|last1=Brown|first1=William A.|title=Matrices and vector spaces|publisher=M. Dekker|location=New York|isbn=978-0-8247-8419-5|year=1991|url=https://books.google.com/books?id=pFQYKlnW5Z0C}} |
|||
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Linear algebra|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-96412-6|year=1987}} |
|||
=== Referensi sejarah === |
|||
* {{Citation|last1=Banach|first1=Stefan|author1-link=Stefan Banach|title=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf|year=1922|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|issn=0016-2736|volume=3|pages=133–181|language=fr|doi=10.4064/fm-3-1-133-181}} |
|||
* {{Citation|last1=Bolzano|first1=Bernard|author1-link=Bernard Bolzano|title=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry)|url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338|year=1804|language=de}} |
|||
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics)|publisher=Hermann|location=Paris|year=1969|language=fr}} |
|||
* {{Citation|last1=Dorier|first1=Jean-Luc|title=A general outline of the genesis of vector space theory|mr=1347828|year=1995|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=22|issue=3|pages=227–261|doi=10.1006/hmat.1995.1024|url=http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16642|doi-access=free}} |
|||
* {{Citation|last1=Fourier|first1=Jean Baptiste Joseph|author1-link=Joseph Fourier|title=Théorie analytique de la chaleur|url=https://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ|publisher=Chez Firmin Didot, père et fils|year=1822|language=fr}} |
|||
* {{Citation|last1=Grassmann|first1=Hermann|author1-link=Hermann Grassmann|title=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik|url=https://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1|year=1844|language=de}}, reprint: {{Citation|others=Kannenberg, L.C.|title=Extension Theory|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-2031-5|year=2000|author=Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg.}} |
|||
* {{Citation|last=Hamel|first=Georg|author1-link=Georg Hamel|title=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)|journal=Mathematische Annalen|location=Leipzig|volume=60|pages=459–462|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002260395|year=1905|issue=3|doi=10.1007/BF01457624|s2cid=120063569|language=de}} |
|||
* {{Citation|last1=Hamilton|first1=William Rowan|author1-link=William Rowan Hamilton|title=Lectures on Quaternions|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9|publisher=Royal Irish Academy|year=1853}} |
|||
* {{Citation|last1=Möbius|first1=August Ferdinand|author1-link=August Ferdinand Möbius|title=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry)|url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0|year=1827|language=de|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20090412013616/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0|archive-date=2009-04-12}} |
|||
* {{Citation|last1=Moore|first1=Gregory H.|title=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940|year=1995|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=22|issue=3|pages=262–303|doi=10.1006/hmat.1995.1025|doi-access=free}} |
|||
* {{Citation | last1=Peano | first1=Giuseppe | author1-link=Giuseppe Peano | title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva | year=1888 | location=Turin|language=it}} |
|||
== Pranala luar == |
|||
* Video pembelajaran dari Khan Academy ([[bahasa Inggris]]) |
|||
** [https://web.archive.org/web/20120426050335/http://khanexercises.appspot.com/video?v=zntNi3-ybfQ ''Introduction to bases of subspaces''] |
|||
** [https://web.archive.org/web/20120426050418/http://khanexercises.appspot.com/video?v=Zn2K8UIT8r4 ''Proof that any subspace basis has same number of elements''] |
|||
* {{Cite web|date=August 6, 2016|title=Linear combinations, span, and basis vectors|url=https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3|work=Essence of linear algebra|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211117/k7RM-ot2NWY|archive-date=2021-11-17|via=[[YouTube]]|url-status=live}} |
|||
* {{springer|title=Basis|id=p/b015350}} |
|||
{{Aljabar linear}} |
|||
[[Kategori:Aljabar linear]] |
[[Kategori:Aljabar linear]] |
Revisi terkini sejak 4 Juni 2024 03.23
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/3d_two_bases_same_vector.svg/150px-3d_two_bases_same_vector.svg.png)
Dalam matematika, sebarang himpunan vektor B dalam suatu ruang vektor V disebut basis, jika setiap elemen di V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear terhingga yang unik dari elemen-elemen di B. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai koordinat dari vektor terhadap B. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai vektor basis. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan B yang elemen-elemennya saling bebas linear dan setiap elemen di V adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di B.[1] Dengan kata lain, basis adalah himpunan merentang (spanning) yang bebas linear.
Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari ruang vektor. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.
Definisi
[sunting | sunting sumber]Basis untuk ruang vektor (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian yang memenuhi:
- Setiap dapat dituliskan sebagai dengan .
- Jika representasi lain, maka dan ada suatu permutasi yang dan .
Sebarang basis dari suatu ruang vektor atas lapangan (seperti bilangan riil atau bilangan kompleks ) adalah suatu subset dari yang saling bebas linear dan merentang . Hal ini mengartikan suatu subset dari merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:
- kebebasan linear
- Untuk setiap subset terhingga dari , jika untuk suatu di F, maka ;
- merentang linear
- Untuk setiap vektor , terdapat skalar di F dan vektor di B, sehingga .
Skalar-skalar disebut koordinat dari vektor terhadap basis , dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut berdimensi hingga jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.
Vektor-vektor basis seringkali (dan terkadang harus) perlu memiliki urutan total untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas orientasi, atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah basis terurut terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu himpunan tak-terurut, melainkan sebagai suatu barisan (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian Koordinat di bawah.
Contoh
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Basis_graph_%28no_label%29.svg/220px-Basis_graph_%28no_label%29.svg.png)
Himpunan dari pasangan terurut bilangan riil adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponendan perkaliandengan adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor dan . Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut basis standar) karena sebarang vektor di dapat ditulis secara unik sebagaiSebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di , seperti dan , juga membentuk sebuah basis untuk . Secara umum, jika berupa lapangan, maka himpunan yang berisi rangkap-n elemen-elemen dari adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkanadalah rangkap-n dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i, yang bernilai 1. Himpunan membentuk suatu basis (terurut) untuk yang disebut dengan basis standar dari Contoh yang berbeda terlihat pada gelanggang polinomial. Jika berupa lapangan, himpunan dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di , merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial B, yang berisi semua monomial:Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev.
Sifat-sifat
[sunting | sunting sumber]Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari lema pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor , dan sebarang penetapan himpunan merentang dan himpunan bebas linear berisi elemen dari , elemen dari dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung , elemen-elemen yang lainnya berada di , dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan . Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, namun pembuktian untuk keadaan ini memerlukan aksioma pemilihan atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti lema ultrafilter.
Jika adalah ruang vektor atas lapangan , maka:
- Untuk sebarang subset bebas linear dari sebarang himpunan merentang , terdapat suatu basis sehingga
- memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih sebagai himpunan kosong, dan ).
- Setiap basis dari memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari . Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
- Sebarang himpunan pembangkit adalah basis dari jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya, bukan subset sejati (proper subset) dari sebarang himpunan yang bebas linear.
Jika adalah ruang vektor berdimensi , suatu subset berisi elemen dari merupakan basis dari jika dan hanya jika:
- Subset tersebut bebas linear;
- Subset tersebut himpunan merentang dari .
Koordinat
[sunting | sunting sumber]Misalkan adalah ruang vektor berdimensi (hingga) atas lapangan , danadalah basis dari . Berdasarkan definisi dari basis, setiap di dapat ditulis secara unik sebagaidengan koefisien-koefisien adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari ), yang disebut sebagai koordinat dari atas . Akan tetapi, pembahasan terkait himpunan koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor dan yang berbeda memiliki himpunan koefisien yang sama. Oleh karena itu, konsep basis terurut umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan mengindeks elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.
Misalkan, seperti biasa, adalah himpunan rangkap-n dari elemen-elemen di ). Himpunan ini adalah ruang vektor-, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaanadalah suatu isomorfisme linear dari ruang vektor pada (onto) . Dalam kata lain, adalah ruang koordinat dari , dan rangkap-n adalah vektor koordinat dari . Secara khusus, invers bayangan dari oleh adalah vektor , yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i yang bernilai 1. Himpunan membentuk suatu basis terurut bagi , yang disebut dengan basis standar atau basis kanonik.
Perubahan basis
[sunting | sunting sumber]Misalkan adalah ruang vektor berdimensi atas lapangan F. Untuk dua basis (terurut) dan , terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor atas , dalam bentuk koordinat atas . Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.
Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,Jika dan adalah koordinat vektor , masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalahUntuk Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi matriks. Misalkan adalah matriks dengan entri-entri , danadalah vektor kolom dari koordinat masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebagaRumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor pada kedua basis: di satu sisi kita memilikidan di sisi lain,Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubunganuntuk i = 1, ..., n.
Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis
[sunting | sunting sumber]Misalkan adalah sebarang ruang vektor atas lapangan , dan adalah himpunan semua subset yang bebas linear di . Himpunan tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari dan bebas linear). Himpunan juga terurut parsial oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan .
Misalkan adalah suatu subset dari yang terurut total oleh , dan misalkan adalah gabungan dari semua elemen di . Karena terurut total, setiap subset terhingga dari adalah suatu subset dari suatu elemen di , yang merupakan suatu subset bebas linear dari . Akibatnya, juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari . Hal ini mengartikan adalah batas atas bagi dalam : himpunan itu adalah elemen dari , dan berisi semua elemen dari .
Karena tak-kosong, dan semua subset terurut total dari memiliki batas atas dalam , lema Zorn menyatakan bahwa memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen di yang memenuhi kondisi: kapanpun untuk suatu elemen dari , maka .
Karena elemen dari , kita menyimpulkan adalah subset yang bebas linear di . Sekarang kita cukup membuktikan adalah basis dari .
Anggap ada suatu vektor di yang tidak berada dalam rentang (span) dari , maka bukan menjadi elemen dari . Misalkan . Himpunan ini adalah elemen dari (karena tidak berada dalam rentang , dan bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di . Karena namun (karena mengandung yang tidak ada di ), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari . Alhasil, merentang .
Kita dapatkan bebas linear dan merentang , menjadikannya sebagai basis bagi dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan aksioma pemilihan. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.[2] Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.
Catatan kaki
[sunting | sunting sumber]- ^ Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (edisi ke-4th). New York: Springer. hlm. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.
- ^ Blass 1984
Referensi
[sunting | sunting sumber]Referensi umum
[sunting | sunting sumber]- Blass, Andreas (1984), "Existence of bases implies the axiom of choice" (PDF), Axiomatic set theory, Contemporary Mathematics volume 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, hlm. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, MR 0763890
- Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
Referensi sejarah
[sunting | sunting sumber]- Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)" (PDF), Fundamenta Mathematicae (dalam bahasa Prancis), 3: 133–181, doi:10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN 0016-2736
- Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (dalam bahasa Jerman)
- Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (dalam bahasa Prancis), Paris: Hermann
- Dorier, Jean-Luc (1995), "A general outline of the genesis of vector space theory", Historia Mathematica, 22 (3): 227–261, doi:10.1006/hmat.1995.1024
, MR 1347828
- Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (dalam bahasa Prancis), Chez Firmin Didot, père et fils
- Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (dalam bahasa Jerman), reprint: Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg. (2000), Extension Theory, Kannenberg, L.C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5
- Hamel, Georg (1905), "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), Leipzig, 60 (3): 459–462, doi:10.1007/BF01457624
- Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Royal Irish Academy
- Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (dalam bahasa Jerman), diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-04-12
- Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025
- Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (dalam bahasa Italia), Turin
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- Video pembelajaran dari Khan Academy (bahasa Inggris)
- "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of linear algebra. August 6, 2016. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-17 – via YouTube.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Basis", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4