Logaritma alami

Grafik logaritma alami

Logaritma alami adalah suatu logaritma yang berbasis e, di mana e tersebut adalah 2,718281828459... (dan seterusnya). Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0.

• Ahli matematika biasanya menggunakan "ln (x)" atau "log (x)" untuk menotasikan log_e(x), atau yang disebut sebagai logaritma alami dari x, dan menggunakan "log₁₀(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

• Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang yang lain, hanya menggunakan "ln (x)" (Agar supaya lebih jelas) atau "log_e(x)" untuk menotasikan suatu logaritma alami dari x, dan "log(x)" digunakan untuk logaritma berbasis 10, log₁₀(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log₂(x).

• Kebanyakan dari bahasa komputer mengandung logaritma ini, termasuk beberapa diantaranya ialah: C, C++, Fortran, dan juga BASIC, "log" atau "LOG" berarti logaritma alami.

• Pada kalkulator, tombol ln artinya Logaritma alami, sedangkan tombol Log adalah untuk logaritma yang berbasis 10.

Logaritma Alami termasuk kedalam Logaritma.

Ln sebagai invers fungsi eksponensial alami

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

$\ e^{\ln(x)}=x\,\!$      untuk semua x yang positif dan

$\ ln(e^{x})=x\,\!$      untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Mengapa disebut "alami"

Sekilas, tampaknya yang lebih "alami" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma alami: pertama, persamaan-persamaan yang variabel tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "alami" dari fungsi eksponensial yang dapat menggambarkan pertumbuhan dan peluruhan), dan kedua, karena logaritma alami dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan di bawah ini:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\cdot \ln b}}$

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan kurva adalah 1.

Definisi

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

$\ ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental logaritma, yaitu:

$\ ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real yang unik a di mana $\ln(a)=1$.