Koprima (bilangan): Perbedaan antara revisi
Tidak ada ringkasan suntingan |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{kembangkan}} |
{{kembangkan}} |
||
{{rujukan}} |
{{rujukan}} |
||
Dua [[bilangan bulat]] a dan b dikatakan '''koprima''' ('''relatif prima''' atau '''saling prima''') apabila [[Faktor persekutuan terbesar|FPB]] kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1. |
Dua [[bilangan bulat]] a dan b dikatakan '''koprima''' ('''relatif prima''' atau '''saling prima''') apabila [[Faktor persekutuan terbesar|FPB]] kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1. Karena [[algoritme Euklidean]] merupakan cara yang cepat untuk menghitung [[Faktor persekutuan terbesar|FPB]], algoritme tersebut juga merupakan cara yang cepat untuk memeriksa sifat koprima. |
||
== Notasi == |
|||
Notasi standar untuk bilangan bulat yang relatif prima {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} adalah: {{math|1=gcd(''a'', ''b'') = 1}} (bahasa Indonesia: {{math|1=fpb(''a'', ''b'') = 1}} dan {{math|1=(''a'', ''b'') = 1}}. Pada makalah tahun 1989, [[Ronald Graham|Graham]], [[Donald Knuth|Knuth]], dan [[Oren Patashnik|Patashnik]] mengusulkan notasi <math>a\perp b</math> digunakan untuk menandakan bahwa {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} relatif prima dan istilah "prima" digunakan bukannya koprima (misalnya {{mvar|a}} ''prima'' terhadap {{mvar|b}}).<ref>{{citation|first1=R. L.|last1=Graham|first2=D. E.|last2=Knuth|first3=O.|last3=Patashnik|title=Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science|publisher=Addison-Wesley|year=1989|page=115|isbn=0-201-14236-8}}</ref> |
|||
== Sifat == |
|||
Bilangan 1 dan −1 adalah satu-satunya bilangan bulat yang koprima dengan setiap bilangan bulat, dan satu-satunya yang koprima dengan 0. |
|||
Beberapa pernyataan berikut bersifat ekuivalen dengan menyebut {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} koprima: |
|||
*Tidak ada [[bilangan prima]] yang membagi baik {{math|''a''}} maupun {{math|''b''}}. |
|||
*Terdapat bilangan bulat {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} sehingga {{math|1=''ax'' + ''by'' = 1}} (see [[identitas Bézout]]). |
|||
*Bilangan bulat {{math|''b''}} punya [[invers perkalian modular|invers perkalian]] modulo {{math|''a''}}, artinya ada suatu bilangan bulat {{math|''y''}} yang menyebabkan {{math|''by'' ≡ 1 (mod ''a'')}}. |
|||
*Setiap pasang [[relasi kekongruenan]] dengan variabel {{math|''x''}}, dalam bentuk {{math|''x'' ≡ ''k'' (mod ''a'')}} dan {{math|''x'' ≡ ''m'' (mod ''b'')}}, punya penyelesaian ([[teorema sisa Tiongkok]]); bahkan penyelesaiannya bisa digambarkan dengan satu relasi kekongruenan modulo {{math|''ab''}}. |
|||
*[[Kelipatan persekutuan terkecil]] {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} sama dengan hasil kali {{math|''ab''}}, dalam bentuk persamaan {{math|1=lcm(''a'', ''b'') = ''ab''}}.<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 47}}</ref> |
|||
==Catatan kaki== |
|||
{{Reflist}} |
|||
==Daftar rujukan== |
|||
* {{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and Its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5|url-access=registration|url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey}} |
|||
==Bacaan lebih lanjut== |
|||
*{{Citation |last=Lord |first=Nick |title=A uniform construction of some infinite coprime sequences |journal=Mathematical Gazette |volume=92 |date=March 2008 |pages=66–70 }}. |
|||
{{matematika-stub}} |
{{matematika-stub}} |
||
[[Kategori: |
[[Kategori:Teori bilangan]] |
Revisi terkini sejak 9 Februari 2021 11.51
![]() | Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia. Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. |
Dua bilangan bulat a dan b dikatakan koprima (relatif prima atau saling prima) apabila FPB kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1. Karena algoritme Euklidean merupakan cara yang cepat untuk menghitung FPB, algoritme tersebut juga merupakan cara yang cepat untuk memeriksa sifat koprima.
Notasi
[sunting | sunting sumber]Notasi standar untuk bilangan bulat yang relatif prima a dan b adalah: gcd(a, b) = 1 (bahasa Indonesia: fpb(a, b) = 1 dan (a, b) = 1. Pada makalah tahun 1989, Graham, Knuth, dan Patashnik mengusulkan notasi digunakan untuk menandakan bahwa a dan b relatif prima dan istilah "prima" digunakan bukannya koprima (misalnya a prima terhadap b).[1]
Sifat
[sunting | sunting sumber]Bilangan 1 dan −1 adalah satu-satunya bilangan bulat yang koprima dengan setiap bilangan bulat, dan satu-satunya yang koprima dengan 0.
Beberapa pernyataan berikut bersifat ekuivalen dengan menyebut a dan b koprima:
- Tidak ada bilangan prima yang membagi baik a maupun b.
- Terdapat bilangan bulat x dan y sehingga ax + by = 1 (see identitas Bézout).
- Bilangan bulat b punya invers perkalian modulo a, artinya ada suatu bilangan bulat y yang menyebabkan by ≡ 1 (mod a).
- Setiap pasang relasi kekongruenan dengan variabel x, dalam bentuk x ≡ k (mod a) dan x ≡ m (mod b), punya penyelesaian (teorema sisa Tiongkok); bahkan penyelesaiannya bisa digambarkan dengan satu relasi kekongruenan modulo ab.
- Kelipatan persekutuan terkecil a dan b sama dengan hasil kali ab, dalam bentuk persamaan lcm(a, b) = ab.[2]
Catatan kaki
[sunting | sunting sumber]- ^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, hlm. 115, ISBN 0-201-14236-8
- ^ Ore 1988, p. 47
Daftar rujukan
[sunting | sunting sumber]- Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History
, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
Bacaan lebih lanjut
[sunting | sunting sumber]- Lord, Nick (March 2008), "A uniform construction of some infinite coprime sequences", Mathematical Gazette, 92: 66–70.