Luas

Luas
Simbol umum	A
Satuan SI	Meter persegi [m2]
Dalam satuan pokok SI	1 m2

Luas, keluasan, atau area adalah besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi (dwigatra) suatu bagian permukaan yang dibatasi dengan jelas, biasanya suatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup. Luas permukaan menyatakan luasan permukaan suatu benda padat tiga dimensi (trigatra). Dalam aplikasi, luas permukaan bumi, yang dipakai dalam pengukuran lahan dan merupakan suatu luasan permukaan, kerap dianggap sebagai luas dua dimensi bidang datar apabila luasan itu tidak terlalu besar relatif terhadap luas permukaan total bumi.

Satuan luas pokok menurut Sistem Internasional adalah meter persegi sedangkan menurut sistem Imperial adalah kaki persegi.

Definisi

Lihat pula: Ukuran Jordan

Pendekatan untuk mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "luas" adalah melalui aksioma . "Luas" dapat didefinisikan sebagai fungsi dari koleksi M jenis khusus figur pesawat (disebut himpunan terukur) ke himpunan bilangan real, yang memenuhi properti berikut:

• Untuk semua S dalam M , a ( S ) ≥ 0.
• Jika S dan T berada di M maka begitu pula S ∪ T dan S ∩ T, dan juga a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( S ∩ T ).
• Jika S dan T berada di M dengan S ⊆ T maka T - S berada di M dan a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
• Jika himpunan S dalam M dan S kongruen dengan T maka T juga dalam M dan a ( S ) = a ( T ).
• Setiap persegi panjang R adalah di M. Jika persegi panjang memiliki panjang h dan lebarnya k maka a ( R ) = hk .
• Biarkan Q menjadi satu set tertutup antara dua wilayah langkah S dan T. Sebuah wilayah langkah dibentuk dari sebuah serikat terbatas persegi panjang yang berdekatan beristirahat di dasar umum, yaitu S ⊆ Q ⊆ T.
• Jika ada bilangan unik c sedemikian sehingga a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) untuk semua daerah langkah S dan T, maka a ( Q ) = c.

Dapat dibuktikan bahwa fungsi luas seperti itu benar-benar ada.

Rumus

Rumus poligon

Artikel utama: Poligon

Untuk poligon non-self-berpotongan (sederhana), koordinat kartesius $(x_{i},y_{i})$ (i=0, 1, ..., n-1) yang n simpulnya diketahui, area tersebut diberikan oleh rumus surveyor

$A={\frac {1}{2}}|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})|$

di mana ketika i = n-1, maka i+1 dinyatakan sebagai modulus n dan mengacu pada 0.

Lingkaran

Artikel utama: Lingkaran

sebuah lingkaran yang membentuk sektor menjadi jajar genjang.

Luas pada lingkaran :

$L=\pi r^{2}$

Dengan integral :

$L\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.$

Luas dalam kalkulus

Artikel utama: Kalkulus

Integral dapat dianggap sebagai mengukur area di bawah kurva, yang didefinisikan oleh f (x), antara dua titik (di sini a dan b ).

Luas antara dua grafik dapat dievaluasi dengan menghitung perbedaan antara integral dari dua fungsi.

• Area antara kurva bernilai positif dan sumbu horizontal, diukur antara dua nilai a dan b (b didefinisikan sebagai lebih besar dari dua nilai) pada sumbu horizontal, diberikan oleh integral dari a ke b dari fungsi yang mewakili kurva:

$A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

• Area antara grafik dua fungsi sama dengan integral dari satu fungsi , f ( x ), minus integral dari fungsi lainnya, g ( x ):$A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,$ where $f(x)$ adalah kurva dengan nilai y yang lebih besar.

• Area yang dibatasi oleh fungsi r = r (θ) yang dinyatakan dalam koordinat polar adalah:

$A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .$

• Area tertutup oleh kurva parametrik ${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$ dengan titik akhir ${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$ diberikan oleh garis integral:

$\oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt$ ( Lihat teorema Green ) atau z -komponen dari:${1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.$

Daerah yang dibatasi antara dua fungsi kuadrat

Untuk menemukan area yang dibatasi antara dua fungsi kuadrat, kita kurangi satu dari yang lain untuk menuliskan perbedaannya sebagai

$f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

di mana f ( x ) adalah batas atas kuadratik dan g ( x ) adalah batas bawah kuadratik. Tentukan diskriminan dari f ( x ) - g ( x ) sebagai

$A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.$

Di atas tetap valid jika salah satu fungsi pembatas adalah linear, bukan kuadratik.

Sejarah

Luas lingkaran

Pada abad ke-5 SM, Hippocrates of Chios adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram (daerah yang dikelilingi lingkaran) sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari kuadratur dari Garis pada Hippocrates, tetapi tidak mengidentifikasi konstanta proporsionalitas. Eudoxus dari Cnidus, juga di abad ke-5 SM, juga menemukan bahwa luas sebuah cakram sebanding dengan radius kuadratnya.

Selanjutnya, Buku I Euclid's Elements membahas persamaan luas antara gambar dua dimensi. Ahli matematika Archimedes menggunakan perkakas geometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran, dalam bukunya Pengukuran Lingkaran. (Kelilingnya 2πr, dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas πr² untuk disk.) Archimedes mendekati nilai π (dan karenanya luas lingkaran radius-satuan) dengan [[Luas disk# Metode penggandaan#Archimedes|metode penggandaannya]], di mana dia menuliskan segitiga biasa dalam lingkaran dan mencatat luasnya, lalu gandakan jumlah sisinya untuk menghasilkan segi enam yang teratur, kemudian berulang kali menggandakan jumlah sisi karena luas poligon semakin dekat dan dekat dengan lingkaran (dan lakukan hal yang sama dengan poligon berbatas.

Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa π, rasio luas lingkaran terhadap radius kuadratnya, adalah irasional, artinya itu tidak sama dengan hasil bagi dari dua bilangan bulat apa pun. Pada tahun 1794, ahli matematika Prancis Adrien-Marie Legendre membuktikannya π² tidak rasional; ini juga membuktikan bahwa π tidak rasional. Pada tahun 1882, ahli matematika Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa π adalah transendental (bukan solusi dari persamaan polinomial dengan koefisien rasional), mengkonfirmasikan dugaan yang dibuat oleh Legendre dan Euler.^{:p. 196}

Luas segitiga

Bangau (atau Pahlawan) dari Aleksandria menemukan apa yang dikenal sebagai Rumus Bangau untuk luas segitiga dalam segi sisinya, dan bukti dapat ditemukan dalam bukunya, Metrica, yang ditulis sekitar tahun 60 Masehi. Telah disarankan bahwa Archimedes mengetahui rumus tersebut lebih dari dua abad sebelumnya, dan karena Metrica adalah kumpulan pengetahuan matematika yang tersedia di dunia kuno, ada kemungkinan rumus tersebut mendahului referensi yang diberikan dalam pekerjaan itu.

Pada tahun 499 Aryabhata, seorang matematikawan-astronom hebat dari zaman klasik matematika India dan astronomi India, menyatakan luas segitiga sebagai satu-setengah alas kali tinggi di Aryabhatiya (bagian 2.6).

Sebuah formula yang setara dengan Heron ditemukan oleh orang Cina secara terpisah dari orang Yunani. Itu diterbitkan pada 1247 di Shushu Jiuzhang ("Risalah Matematika dalam Sembilan Bagian"), ditulis oleh Qin Jiushao.

Luas segiempat

Pada abad ke-7 M, Brahmagupta mengembangkan rumus yang sekarang dikenal sebagai rumus Brahmagupta, untuk luas segiempat siklik (segiempat tertulis dalam lingkaran) dalam hal sisi-sisinya. Pada tahun 1842, ahli matematika Jerman Carl Anton Bretschneider dan Karl Georg Christian von Staudt secara independen menemukan rumus, dikenal sebagai rumus Bretschneider, untuk luas segiempat mana pun.

Luas poligon umum

Pengembangan Koordinat Kartesius oleh René Descartes di abad ke-17 memungkinkan pengembangan rumus surveyor untuk luas poligon dengan lokasi titik yang diketahui oleh Gauss pada abad ke-19.

Luas ditentukan menggunakan kalkulus

Perkembangan kalkulus integral di akhir abad ke-17 menyediakan alat yang nantinya dapat digunakan untuk menghitung area yang lebih rumit, seperti luas elips dan luas permukaan dari berbagai objek tiga dimensi melengkung.

Rumus luas

Contoh-contoh bangun dua dimensi

Luas suatu bangun dua dimensi dapat dihitung dengan menggunakan elemen satuan luas berupa persegi (atau bentuk lain) yang diketahui ukurannya. Luas bangun yang akan diukur merupakan jumlah elemen satuan luas yang menutupinya. Untuk bangun-bangun yang memiliki keteraturan terdapat rumus-rumus yang dapat digunakan bergantung pada karakteristik bangun dua dimensi yang dimaksud.

Luas

Bentuk	Rumus luas	Variabel
Bujur sangkar/Persegi	$s^{2}\!$	sisi (s)
Persegi panjang	$pl\!$	panjang (p), lebar (l)
Lingkaran	$\pi r^{2}\!$	jari-jari (r)
Segitiga	${\frac {at}{2}}\!$	alas (a), tinggi (t)
Jajar genjang	$at\!$	alas (a), tinggi (t)
Trapesium	${\frac {(a+b)t}{2}}\!$	alas atas (a), alas bawah (b), tinggi (t)
Belah ketupat	${\frac {d_{1}d_{2}}{2}}\!$	diagonal (d1 & d2)
Layang-layang	${\frac {d_{1}d_{2}}{2}}\!$	diagonal (d1 & d2)
Elips	$\pi ab\!$	jari-jari datar (a), jari-jari tegak (b)
Luas daerah (dibutuhkan kalkulus)	$\int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h$

Luas permukaan

Bentuk	Rumus luas	Variabel
Kubus	$12s\!$	sisi (s)
Balok	$2(pl+pt+lt)\!$	panjang (p), lebar (l) dan tinggi (t)
Prisma segitiga	$2La+3Ls\!$	Luas alas segitiga (La) dan Luas segiempat (Ls)
Limas segiempat	$La+4Ls\!$	Luas alas segiempat (La) dan Luas segitiga (Ls)
Tabung	$2La+Ls\!$	Luas alas lingkaran (La) dan Luas selimut (Ls)
Kerucut	$La+Ls\!$	Luas alas lingkaran (La) dan Luas selimut (Ls)
Bola	$4\pi r^{2}\!$	Jari-jari (r)

Simetri lipat dan putar

Bentuk	Simetri lipat	Simetri putar
Bujur sangkar/Persegi	4	4
Persegi panjang	2	2
Lingkaran	$\infty$	$\infty$
Segitiga sama kaki	1	1
Segitiga sama sisi	3	3
Jajar genjang	2	1
Trapesium sama kaki	1	1
Belah ketupat	4	4
Layang-layang	1	1
Elips	2	2

Beberapa satuan luas

Berikut ini adalah beberapa satuan luas yang biasa dipakai sehari-hari. Ukuran yang berlaku nasional dan internasional bersifat eksak, sedangkan yang dipakai secara lokal dapat agak bervariasi.

Ukuran internasional dan nasional

• meter persegi (m²)
• are = tumbuk (di Jambi) = 100 meter persegi = 100 sentiare (ca)
• hektare (ha) = 100 are = 10.000 meter persegi
• kilometer persegi (km²) = 100 hektare = 10 000 are = 1.000.000 meter persegi
• kaki persegi = 144 (= 12 × 12) inci persegi = 0,092 903 04 meter persegi
• yard (ela) persegi = 9 (= 3 × 3) kaki persegi = 0,836 127 36 meter persegi
• ekar (lebih dikenal di Malaysia) = acre = 10 rantai persegi (= satu furlong dikalikan satu rantai = 4.840 yard persegi = 43.560 kaki persegi = 4.046,856 422 4 meter persegi
• mil persegi = 640 ekar = 2,589 988 110 336 kilometer persegi

Ukuran lokal Indonesia

Beberapa satuan luas (terutama untuk lahan) yang bersifat lokal dikenal di Indonesia.

• ubin (nasional) = ru (Jawa Tengah) = tumbak/tombak (Jawa Barat) = 14,0625 (= 3,75 × 3,75) meter persegi
• bahu (bau, bouw) = 500 ubin = 7.031,25 meter persegi (≈ 0,7 ha) (lihat artikelnya untuk variasi ukuran)
• anggar (di Kalimantan Barat) ≈ 1/33 hektare
• borong (di Kalimantan Barat) = 1/6 hektare
• kesuk (di Jawa Mataraman), bervariasi dari 1.000 meter persegi hingga 1/6 hektare.
• rakit (Pantura Jawa) ≈ 1.000 meter persegi
• rantai (sebenarnya rantai persegi, dipakai di perkebunan Sumatra) = 484 (22 × 22) yard persegi = 404,685 644 24 meter persegi