Limit barisan

Untuk konsep matematika umum, lihat Limit.

Urutan yang diberikan oleh keliling sisi n biasa-poligon yang mengelilingi lingkaran satuan memiliki batas yang sama dengan keliling lingkaran, yaitu $2\pi r$. Urutan yang sesuai untuk poligon tertulis memiliki batas yang sama.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Sebagai integer positif $n$ menjadi lebih besar dan lebih besar, nilainya $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ menjadi dekat secara sewenang-wenang $1$. Kami mengatakan bahwa "batas urutan $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ sama $1$."

Dalam matematika, limit barisan adalah nilai kelompok dari sebuah urutan "cenderung", dan seringkali dilambangkan menggunakan $\lim$ (yaitu, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$). Jika terdapat sebuah limit, urutannya disebut konvergen. Urutan yang tidak konvergen dikatakan berbeda. Batas suatu urutan dikatakan sebagai gagasan dasar yang pada akhirnya menjadi sandaran seluruh analisis matematika.

Limit dapat ditentukan di metrik atau ruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam bilangan real.

Sejarah

Filsuf Yunani Zeno dari Elea terkenal karena merumuskan paradoks yang melibatkan proses-proses yang membatasi.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus, dan Archimedes mengembangkan metode kelelahan, yang menggunakan urutan perkiraan tak terbatas untuk menentukan luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebut deret geometrik.

Newton berurusan dengan deret dalam karyanya tentang Analysis with infinite series (ditulis pada tahun 1669, diedarkan dalam manuskrip, diterbitkan pada tahun 1711), Method of fluxions and infinite series (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahan bahasa Inggris tahun 1736, bahasa Latin asli diterbitkan lama kemudian) dan Tractatus de Quadratura Curvarum (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Lampiran dari OpIn karya terakhir, Newton menganggap ekspansi binomial (x + o)n, yang kemudian dia linierisasi dengan mengambil nilai limit karena o cenderung  ke 0.

Pada abad ke-18, matematikawan seperti Euler berhasil menjumlahkan beberapa deret divergen dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada limit, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini, Lagrange dalam Théorie des fonctions analytiques (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus. Gauss dalam bukunya etude dari deret hipergeometrik (1813) untuk pertama kalinya diselidiki secara teliti di bawah kondisi dimana sebuah seri bertemu ke suatu limit.

Definisi modern dari sebuah limit (untuk suatu ε terdapat sebuah indeks N sehingga...) diberikan oleh Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, sedikit memperhatikan pada saat itu), dan oleh Karl Weierstrass pada tahun 1870an.

Bilangan real

Plot urutan konvergen {a_n} ditampilkan dengan warna biru. Di sini, kita dapat melihat bahwa urutannya menyatu ke batas 0 saat n meningkat.

Dalam bilangan real, sebuah bilangan $L$ adalah limit dari urutan $(x_{n})$, jika angka dalam urutan menjadi lebih dekat dan lebih dekat ke $L$ —dan tidak ke nomor lain.

Contoh

Lihat pula: Daftar Limit

• Jika $x_{n}=c$ untuk nilai konstan c, maka $x_{n}\to c$.
• Jika $x_{n}={\frac {1}{n}}$, maka $x_{n}\to 0$.
• Jika $x_{n}=1/n$ ketika $n$ adalah genap, dan $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ ketika $n$ adalah nilai ganjil, maka $x_{n}\to 0$. (Fakta bahwa $x_{n+1}>x_{n}$ apabila $n$ nilai tidak relevan.)
• Diberikan suatu bilangan real, salah satunya dapat dengan mudah membangun sebuah barisan yang konvergen dengan bilangan tersebut dengan mengambil aproksimasi desimal. Misalnya urutannya $0.3,0.33,0.333,0.3333,...$ menyatu dengan $1/3$. Perhatikan bahwa representasi desimal $0.3333...$ adalah limit dari urutan sebelumnya, yang ditentukan oleh

$0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}$.

• Menemukan limit barisan tidak selalu jelas. Dua contohnya adalah $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik. Teorema apit sering kali berguna dalam pembentukan seperti limit.

Definisi formal

Kita mengalihkan $x$ nilai limit dari urutan $(x_{n})$ jika kondisi tersebut berlaku:

• Untuk setiap bilangan real $\epsilon >0$, ada bilangan asli $N$ sedemikian rupa, untuk setiap bilangan asli $n\geq N$, kita memiliki $|x_{n}-x|<\epsilon$.

Dengan kata lain, untuk setiap ukuran ketertutupan $\epsilon$, suku barisan pada akhirnya mendekati ke limit. Barisan dari nilai $(x_{n})$ dikatakan konvergen atau cenderung ke limit $x$, ditulis $x_{n}\to x$ atau $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$.

Secara simbolis, hal tersebut merupakan:

• $\forall \varepsilon >0(\exists N\in \mathbb {N} (\forall n\in \mathbb {N} (n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon ))).$

Jika suatu barisan konvergen dengan suatu limit, maka itu adalah konvergen; jika tidak, itu adalah divergen. Sebuah barisan yang memiliki nol karena sebuah limit terkadang dikatakan barisan nol.

Ilustrasi

• 
  Contoh barisan yang konvergen ke limit $a$.
• 
  Tanpa memperhatikan yaitu $\varepsilon >0$ yang kita punya, terdapat indeks $N_{0}$, sehingga barisan terletak sesudahnya benar-benar berada di dalam tabung epsilon $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.
• 
  Ada juga yang lebih kecil, $\epsilon _{1}>0$ sebuah indeks $N_{1}$, sehingga barisannya adalah sesudahnya berada di dalam tabung epsilon $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$.
• 
  Untuk setiap $\varepsilon >0$, hanya terdapat banyaknya anggota barisan di luar tabung epsilon.

Sifat

Limit barisan berperilaku baik sehubungan dengan operasi aritmetika biasa. Jika $a_{n}\to a$ dan $b_{n}\to b$, maka $a_{n}+b_{n}\to a+b$, $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ dan, jika bukan b maupun suatu $b_{n}$ adalah nol, ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}$.

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika $x_{n}\to x$ maka $f(x_{n})\to f(x)$. Faktanya, setiap fungsi yang bernilai real f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan limit barisan (meskipun ini belum tentu benar saat menggunakan pengertian yang lebih umum tentang kontinuitas).

Beberapa sifat penting lainnya dari limit barisan real meliputi sebagai berikut (asalkan, dalam setiap persamaan di bawah, bahwa limit di sebelah kanan ada).

• Barisan limit adalah tunggal.
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})$
• $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ disediakan $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
• Jika $a_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n$ lebih besar dari suatu $N$, maka $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$.
• (Teorema apit) Jika $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n>N$, dan $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$, maka $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$.
• Jika sebuah urutan terbatas dan monotonik, maka barisannya konvergen.
• Sebuah barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan adalah konvergen.
• Jika setiap subbarisan dari sebuah barisan memiliki barisan itu sendiri yang konvergen ke poin yang sama, maka barisan aslinya konvergen dengan poin tersebut.

Sifat ini banyak digunakan untuk membuktikan limit, tanpa perlu secara langsung menggunakan definisi formal yang rumit. Sebagai contoh. setelah terbukti bahwa $1/n\to 0$, menjadi mudah untuk memperlihatkan—menggunakan sifat di atas—bahwa ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (asumsi bahwa $b\neq 0$).

Limit takhingga

Sebuah barisan $(x_{n})$ dikatakan cenderung ke takhingga, ditulis $x_{n}\to \infty$ atau $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$, jika untuk setiap K, terdapat sebuah N sehingga untuk setiap $n\geq N$, $x_{n}>K$; yaitu, suku barisan nantinya lebih besar daripada suatu K tetap.

Dengan cara yang serupa, $x_{n}\to -\infty$ jika untuk setiap K, terdapat sebuah N sehingga untuk setiap $n\geq N$, $x_{n}<K$. Jika sebuah barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, sebuah barisan divergen dbutuhkan untuk tidak cenderung ke positif atau negatif takhingga, dan barisan $x_{n}=(-1)^{n}$ menyediakan satunya seperti contoh.

Ruang metrik

Definisi

Sebuah nilai titik $x$ dari ruang metrik $(X,d)$ adalah limit dari urutan $(x_{n})$ jika untuk nilai $\epsilon >0$, terdapat nilai $N$ sedemikian rupa, untuk setiap nilai $n\geq N$, $d(x_{n},x)<\epsilon$. Ini bertepatan dengan definisi yang diberikan untuk bilangan real ketika $X=\mathbb {R}$ dan $d(x,y)=|x-y|$.

Sifat-sifat

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika $x_{n}\to x$ maka $f(x_{n})\to f(x)$. Faktanya, fungsi f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas urutan.

Batasan urutan itu unik bila ada, karena titik berbeda dipisahkan oleh jarak positif, jadi untuk $\epsilon$ kurang dari setengah jarak ini, istilah urutan tidak bisa berada dalam jarak $\epsilon$ dari kedua poin tersebut.

Barisan Cauchy

Artikel utama: Barisan Cauchy

Plot urutan Cauchy (x_n), ditampilkan dengan warna biru, seperti x_n versus n. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat n meningkat. Dalam bilangan real setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.

Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang urutan Cauchy penting dalam studi urutan di ruang metrik, dan, khususnya, di analisis nyata. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah Kriteria Cauchy untuk konvergensi urutan: urutan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah urutan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di ruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperreal

Definisi batas menggunakan bilangan hiperreal menggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, urutan yang nyata $(x_{n})$ cenderung L jika untuk setiap tak terbatas hipernatural H, syarat x_H is sangat dekat dengan L (yaitu, perbedaan nilai x_H − L adalah infinitesimal). Setara, L adalah bagian standar dari x_H

$L={\rm {st}}(x_{H}).\,$

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

$\lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H}),$

di mana limit tersebut ada jika dan hanya jika ruas kanan tidak bergantung pada pemilihan dari sebuah takhingga H.

Lihat pula

• Limit fungsi – titik untuk yang fungsi konvergen dalam topologi
• Titik limit – sebuah titik x dalam sebuah ruang topologis, semua lingkungan berisi beberapa titik dalam diberikan sebuah himpunan bagian yang berbeda dari x.
• Limit rendah
• Mode kekonvergenan
• Limit jaring — sebuah jaring rampat topologis dari sebuah barisan
• Limit teoretik himpunan
• Aturan gesekan
• Limit berurut bagian

Referensi

• Courant, Richard (1961). "Volume Kalkulus Diferensial dan Integral I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley dan James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Tautan luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Limit", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A history of the calculus, including limits