Bilangan prima: Perbedaan antara revisi

== Sifat dasar ==

===Faktorisasi unik===

Menulis bilangan sebagai produk bilangan prima disebut ''faktorisasi prima'' dari bilangan tersebut. Misalnya:

:<math>\begin{align}

34866 &= 2\cdot 3\cdot 3\cdot 13 \cdot 149\\

&=2\cdot 3^2\cdot 13 \cdot 149.

\end{align}</math>

istilah dalam produk tersebut disebut juga sebagai ''faktor prima''. Faktor prima yang sama dapat muncul lebih dari sekali; contoh ini memiliki dua salinan faktor prima <math>3.</math> Ketika bilangan prima muncul beberapa kali, [[eksponensial]] digunakan untuk pengelompokkan beberapa salinan dari bilangan prima yang sama: misalnya, dalam cara kedua penulisan produk atas, <math>3^2</math> menunjukkan [[Persegi (aljabar)|persegi]] atau pangkat kedua dari <math>3.</math>

Pentingnya pusat bilangan prima untuk teori bilangan dan matematika secara umum berasal dari ''teorema dasar aritmetika''.<ref>{{cite book|title=The Nature of Mathematics

|first=Karl J.|last=Smith|edition=12th|publisher=Cengage Learning|year=2011|isbn=978-0-538-73758-6|page=188|url=https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188}}</ref> Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 ditulis sebagai produk dari satu atau lebih bilangan prima. Secara sederhana, produk ini adalah unik dalam arti bahwa dua faktorisasi prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama, meskipun urutannya mungkin berbeda.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16 Section 2, Theorem 2, p. 16]; {{cite book|title=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|title-link= Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers |first=Vicky|last=Neale|author-link=Vicky Neale|publisher=Oxford University Press|year=2017|isbn=978-0-19-109243-5|at=[https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA107 p. 107]}}</ref> Jadi, meskipun terdapat berbagai banyak cara yang berbeda untuk menemukan faktorisasi menggunakan algoritma [[faktorisasi bilangan bulat]], semuanya adalah hasil yang sama. Dengan demikian bilangan prima menganggap sebagai "blok bangunan dasar" dari bilangan asli.<ref>{{cite book|title=The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=Marcus du Sautoy|publisher=Harper Collins|year=2003|isbn=978-0-06-093558-0|page=[https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23 23]|url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa|url-access=registration}}</ref>

Beberapa bukti keunikan faktorisasi prima didasarkan pada [[lemma Euklides]]: Jika <math>p</math> adalah bilangan prima dan <math>p</math> membagi hasil kali <math>ab</math> dari bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b,</math> maka <math>p</math> membagi <math>a</math> atau <math>p</math> membagi <math>b</math> (atau keduanya).<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{cite book|title=Mathematics for the Curious|first=Peter M.|last=Higgins|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=978-0-19-150050-3|pages=77–78|url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77}}</ref> Sebaliknya, jika suatu bilangan <math>p</math> memiliki sifat bahwa ketika membagi produk selalu membagi setidaknya satu faktor dari produk, maka <math>p</math> adalah prima.<ref>{{cite book|title=A First Course in Abstract Algebra|first=Joseph J.|last=Rotman|edition=2nd|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=978-0-13-011584-3|at=Problem 1.40, p. 56}}</ref>

===Jumlah tak hingga===

Cara lain untuk mengatakan urutannya adalah

:2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

bilangan prima tak-akhir. Pernyataan ini disebut sebagai ''teorema Euklides'' untuk menghormati matematikawan Yunani kuno [[Euklides]], sejak bukti pertama yang diketahui untuk pernyataan yang dikaitkan dengan dia. Banyak lagi bukti bilangan prima tak hingga yang diketahui, termasuk bukti [[matematika analisis|analitis]] oleh [[Euler]], [[Bilangan Fermat#Sifat dasar|bukti]] [[Christian Goldbach|Goldbach]] berdasarkan [[bilangan Fermat]],<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] dalam [[Latin]] dari Goldbach ke Euler, Juli 1730.</ref> [[Bukti Furstenberg tentang bilangan prima tak hingga|bukti menggunakan topologi umum]] [[Hillel Furstenberg|Furstenberg]],<ref>{{Cite journal | last1=Furstenberg | first1=Harry | author1-link=Hillel Furstenberg | title=On the infinitude of primes | doi=10.2307/2307043 | year=1955 | journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=62 | mr=0068566 | issue=5 | pages=353 | jstor=2307043 }}

</ref> and [[Ernst Kummer|Kummer's]] elegant proof.<ref>{{cite book | last1=Ribenboim | first1=Paulo | author1-link=Paulo Ribenboim | title=The little book of bigger primes | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | isbn=978-0-387-20169-6 | year=2004|page=4 | url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5 }}</ref>

[[Teorema Euklides|Bukti Euclid]]<ref>[[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']], Book IX, Proposition 20. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html David Joyce's English translation of Euclid's proof] or {{cite book|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95|title=The Elements of Euclid, With Dissertations|last=Williamson|first=James|publisher=[[Clarendon Press]]|year=1782|location=Oxford|page=63|oclc=642232959}}</ref> menunjukkan bahwa setiap [[himpunan hingga|daftar hingga]] dari bilangan prima tak-lengkap. Ide kuncinya adalah mengalikan bilangan prima dalam daftar yang diberikan dan menambahkan <math>1.</math> Jika daftar tersebut terdiri dari bilangan prima <math>p_1,p_2,\ldots, p_n,</math> maka diberikan bilangan

: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n. </math>

Berdasarkan teorema dasar, <math>N</math> memiliki faktorisasi prima

dengan satu atau lebih dari faktor prima. Maka, <math>N</math> habis dibagi nilai rata-rata oleh faktor ini, tetapi <math>N</math> memiliki sisa satu ketika dibagi dengan salah satu bilangan prima dalam daftar yang diberikan, jadi tidak ada faktor prima <math>N</math> yang ada pada daftar yang diberikan. Karena tidak ada daftar hingga dari semua bilangan prima, pasti ada banyak bilangan prima.

Bilangan yang dibentuk dengan menjumlahkan satu ke hasil kali bilangan prima terkecil disebut [[bilangan Euklides]].<ref>{{cite book|title=Computational Recreations in Mathematica|first=Ilan|last=Vardi|publisher=Addison-Wesley|year=1991|isbn=978-0-201-52989-0|pages=82–89}}</ref> Lima bagian pertama adalah bilangan prima, namun untuk bagian keenam

:<math>1+\big(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\big) = 30031 = 59\cdot 509,</math>

===Rumus bilangan prima===

{{main|Rumus bilangan prima}}

Tidak ada rumus efisien yang diketahui untuk bilangan prima. Misalnya, tidak ada [[polinomial]] non-konstan, bahkan dalam beberapa variabel mengambil ''hanya'' bilangan prima.<ref name="matiyasevich"/> Namun, ada banyak ekspresi yang mengkodekan semua bilangan prima atau hanya bilangan prima. Satu rumus yang mungkin didasarkan pada [[teorema Wilson]] dan menghasilkan angka 2 berkali-kali dan semua bilangan prima lainnya tepat.<ref>{{cite journal | last = Mackinnon | first = Nick | date = June 1987 | doi = 10.2307/3616496 | issue = 456 | pages = 113–114 | journal = [[The Mathematical Gazette]] | title = Prime number formulae | volume = 71| jstor = 3616496 }}</ref> Ada pula satu himpunan [[persamaan Diophantine]] dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan memiliki solusi atas bilangan asli. Hal ini digunakan untuk mendapatkan rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai "positif" adalah prima.<ref name="matiyasevich">{{cite book | last = Matiyasevich | first = Yuri V. | author-link = Yuri Matiyasevich | year=1999 | chapter = Formulas for prime numbers | chapter-url=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13 | editor1-first=Serge | editor1-last = Tabachnikov | editor-link1=Sergei Tabachnikov| title = Kvant Selecta: Algebra and Analysis | volume = II | publisher = [[American Mathematical Society]] | isbn = 978-0-8218-1915-9 | pages=13–24}}</ref>

Contoh lain dari rumus pembangkit-prima berasal dari [[teorema Mills]] dan teorema [[E. M.Wright|Wright]]. Maka ini menegaskan bahwa terdapat konstanta real <math>A>1</math> dan <math>\mu</math> sedemikian rupa, sehingga

:<math>\left \lfloor A^{3^n}\right \rfloor \text{ dan } \left \lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}} \right \rfloor</math>

adalah prima untuk sembarang bilangan asli <math>n</math> dalam rumus pertama, dan sembarang bilangan eksponen dalam rumus kedua.<ref>{{cite journal |first=E.M. |last= Wright | author-link=E. M. Wright |title=A prime-representing function |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=58 |issue=9 |year=1951 |pages=616–618 |jstor=2306356 |doi= 10.2307/2306356}}</ref> Sehingga <math>\lfloor {}\cdot{} \rfloor</math> mewakili [[fungsi lantai]], bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan bilangan yang dimaksud. Namun, hal ini justru tidak berguna untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dibangkitkan terlebih dahulu untuk menghitung nilai <math>A</math> atau <math>\mu.</math><ref name="matiyasevich"/>

===Pertanyaan terbuka===

{{Further|:Kategori:Konjektur tentang bilangan prima}}

Banyak konjektur tentang bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki rumus dasar, banyak dari konjektur ini telah bertahan selama beberapa dekade: keempat [[masalah Landau]] dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 p. vii].</ref> Salah satunya adalah [[konjektur Goldbach]] yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap <math>n</math> lebih besar dari 2 ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, hal. 105–107].</ref> {{As of|2014}}, Konjektur ini telah diverifikasi untuk semua bilangan hingga <math>n=4\cdot 10^{18}.</math><ref>{{cite journal | last1 = Oliveira e Silva | first1 = Tomás | last2 = Herzog | first2 = Siegfried | last3 = Pardi | first3 = Silvio | doi = 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 | issue = 288 | journal = [[Mathematics of Computation]] | mr = 3194140 | pages = 2033–2060 | title = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math> | volume = 83 | year = 2014| doi-access = free }}</ref> Pernyataan yang lebih lemah dari ini telah dibuktikan, misalnya [[teorema Vinogradov]] yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima.<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, hal. 239–247]. Lihat terutama hal. 239.</ref> [[Teorema Chen]] menyatakan bahwa setiap bilangan genap besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu bilangan prima dan [[semiprima]] (perkalian dari dua bilangan prima).<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, hal. 159.</ref> Juga, bilangan bulat genap lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.<ref>{{cite journal | last = Ramaré | first = Olivier | issue = 4 | journal = Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa | mr = 1375315 | pages = 645–706 | title = On Šnirel'man's constant | url = https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 | volume = 22 | year = 1995}}</ref> Cabang teori bilangan yang mempelajari pertanyaan semacam itu disebut [[teori bilangan aditif]].<ref>{{cite book | last = Rassias | first = Michael Th. | doi = 10.1007/978-3-319-57914-6 | isbn = 978-3-319-57912-2 | location = Cham | mr = 3674356 | page = vii | publisher = Springer | title = Goldbach's Problem: Selected Topics | url = https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6 | year = 2017}}</ref>

Jenis masalah lain menyangkut [[celah prima]], perbedaan antara bilangan prima berurutan.

Adanya celah prima besar secara sembarang dapat dilihat dengan memperhatikan bahwa barisan <math>n!+2,n!+3,\dots,n!+n</math> terdiri dari <math>n-1</math> bilangan komposit, untuk sembarang bilangan asli <math>n.</math><ref>{{harvnb|Koshy|2002}}, [https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA109 Teorema 2.14, hal. 109]. {{harvnb|Riesel|1994}} diberikan argumen serupa menggunakan [[primorial]] sebagai pengganti faktorial.</ref> However, large prime gaps occur much earlier than this argument shows.<ref name="riesel-gaps"/> Misalnya, celah prima pertama dengan panjang 8 adalah antara bilangan prima 89 dan 97,<ref>{{Cite OEIS|A100964|name=Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n}}</ref> jauh lebih kecil dari <math>8!=40320.</math> Diduga ada banyak sekali [[ prima kembar]]s, pasangan bilangan prima dengan selisih 2; ini adalah [[konjektur prima kembar]]. [[Konjektur Polignac]] menyatakan secara lebih umum bahwa untuk setiap bilangan bulat positif <math>k,</math> ada tak hingga banyak pasangan bilangan prima berurutan yang berbeda <math>2k.</math><ref name="rib-gaps">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Gaps between primes, hal. 186–192.</ref>

[[Konjektur Andrica]],<ref name="rib-gaps"/> [[Brocard's conjecture]],<ref name="rib-183">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, hal. 183.</ref> [[Legendre's conjecture]],<ref name="chan">{{cite journal | last = Chan | first = Joel | title = Prime time! | journal = Math Horizons | volume = 3 | issue = 3 | date = February 1996 | pages = 23–25 | jstor = 25678057| doi = 10.1080/10724117.1996.11974965 }} Perhatikan bahwa Chan mencantumkan konjektur Legendre sebagai "Postulat Sierpinski".</ref> and [[Oppermann's conjecture]]<ref name="rib-183"/> semua menyarankan bahwa jarak terbesar antara bilangan prima dari <math>1</math> hingga <math>n</math> paling banyak kira-kira <math>\sqrt{n},</math> hasil yang diketahui mengikuti hipotesis Riemann, sedangkan [[konjektur Cramér]] lebih bertahan menetapkan ukuran celah terbesar pada <math>O((\log n)^2).</math><ref name="rib-gaps"/> Celah prima digeneralisasikan ke [[rangkap-k prima|rangkap-<math>k</math> prima]], pola selisih antara lebih dari dua bilangan prima. Ketakhinggaan dan kepadatan mereka adalah subjek dari [[konjektur Hardy–Littlewood]], yang dapat dimotivasi oleh [[heuristik]] bahwa bilangan prima berperilaku serupa dengan barisan bilangan acak dengan kerapatan yang diberikan oleh teorema bilangan prima.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Prime <math>k</math>-tuples conjecture, pp. 201–202.</ref>