Identitas Bézout: Perbedaan antara revisi

{{short description|Rumus yang menghubungkan dua angka dan pembagi persekutuan terbesarnya}}{{In use}}{{About|teorema Bézout dalam aritmetika | teorema Bézout dalam geometri aljabar | teorema Bézout}}

| math_statement = Misalkan <math> a </math> dan <math> b </math> adalah [[bilangan bulat]] dengan [[pembagi persekutuan terbesar]] <math> d </math>, maka akan ada bilangan bulat <math> x </math> dan <math> y </math> sehingga bilangan <math> ax + by = d </math>. Lebih umumnya lagi, bilangan bulat dengan bentuk <math> ax + by </math> adalah kelipatan dari <math> d </math>.

Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah bukan bilangan tak nol, serta satu buah pasangan koefisien Bézout <math>(x,y)</math> telah dihitung (katakanlah dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), maka semua pasangan dapat dinyatakan berikut:<math display="block">\left(x-k\frac{b}{d},\ y+k\frac{a}{d}\right),</math>dengan <math>k</math> menyatakan sebarang bilangan bulat, <math>d</math> merupakan [[pembagi persekutuan terbesar]] dari <math>a</math> dan <math>b</math>. Pada bentuk tersebut, pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat. Sebaliknya, jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah bilangan tak nol, maka tepatnya akan ada dua dari pasangan tersebut memenuhi <math display="inline"> |x| \le \left |b/d\right |</math> dan <math display="inline">|y| \le \left |a/d\right |</math>, dan kesamaan tersebut hanya dapat terjadi jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> membagi bilangan lain.

Diberikan bilangan bulat taknol <math>a</math> dan <math>b</math>, dan misalkan <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \text{ dan } ax+by>0\}.</math> Himpunan <math>S</math> tidak kosong karena berisi <math>a</math> ataupun <math>-a</math> (dengan <math>x = \pm 1</math> dan <math>y = 0</math>). Karena <math>S</math> adalah himpunan bilangan bulat positif takkosong, <math>S</math> memiliki anggota minimum <math>d = as + bt</math>, berdasarkan ''[[well-ordering principle]]''. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> adalah pembagi persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, maka harus dibuktikan bahwa <math>d</math> adalah pembagi persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya <math>c</math>, maka <math>c \le d</math>.

{{main|Pembagi persekutuan terbesar polinomial#Identitas Bézout dan algoritma FPB yang diperluas}}

Tak selamanya bahwa identitas Bézout berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, ketika mengerjakan [[gelanggang polinomial]] bilangan bulat, pembagi persekutuan terbesar dari {{math|2''x''}} dan {{math|''x''²}} adalah ''x'', tetapi hasil pembagian persekutuan tersebut tidak mempunyai sebarang koefisien bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> yang memenuhi {{math|1=2''xp'' + ''x''²''q'' = ''x''}}.

Sayangnya, identitas Bézout's bekerja untuk [[polinomial univariat]] atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]], yang dilakukan dengan cara yang sama untuk bilangan bulat. Koefisien Bézout dan pembagi persekutuan terbesar dapat dihitung menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]] (''extended Euclidean algorithm'').

Karena [[Akar polinomial|akar]] dari dua polinomial merupakan akar-akar dari pembagi persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial <math>a</math> dan <math>b</math> sehingga {{math|1=''af'' + ''bg'' = 1}} jika dan hanya jika {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} tidak memiliki akar di sebarang [[medan tertutup secara aljabar]] (biasanya di medan [[bilangan kompleks]]).

Identitas Bézout tidak hanya berlaku di [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] bilangan bulat, tetapi juga berlaku di PID yang lain. PID pada konteks ini berarti ''[[principle ideal domain]]''. Jika {{math|''R''}} adalah PID, {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} merupakan anggota {{math|''R''}}, seta {{mvar|d}} merupakan pembagi persekutuan terbesar dari {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}, maka akan ada anggota {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} di {{math|''R''}} sehingga <math>a x + b y = d.</math> Hal ini dikarenakan bahwa [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>R a + R b</math> adalah ''principal'' dan sama dengan <math>R d.</math>

Domain integral di mana identitas Bézout berlaku disebut [[domain Bézout]].

* [[Lema Euklides|Lema Euklidean]]

{{Reflist}}