Matriks identitas: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 2 Maret 2021 11.01

Dalam aljabar linear, matriks identitas (atau terkadang secara rancu disebut dengan matriks satuan) berukuran n adalah matriks persegi berukuran n × n dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan bernilai 0 di elemen-elemen lainnya. Matriks identitas ditulis sebagai I_n, atau sekadar I jika ukuran n dapat diketahui dari konteks pembahasan.^[1]^[2] Beberapa buku matematika menggunakan singkatan U atau E yang mengacu kepada "unit matrix" dalam bahasa Inggris (matriks satuan)^[3] dan terjemahannya dalam bahasa Jerman, "Einheitsmatrix".^[4]

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

Jika matriks A berukuran m×n, perkalian matriks A dengan matriks identitas akan memberikan hasil berikut:

I_{m}A=AI_{n}=A.\,

Ketika matriks berukuran n x n digunakan untuk mewakili transformasi linear dari ruang vektor dimensi-n ke dirinya sendiri, I_n mewakili fungsi identitas dan tidak tergantung pada basis yang digunakan.

Kolom ke-i dari matriks identitas adalah vektor satuan e_i (vektor dengan elemen ke-i bernilai 1, dan bernilai 0 untuk elemen-elemen lainnya). Determinan dari matriks identitas bernilai 1, dan trace-nya bernilai n.

Dengan menggunakan notasi yang sama terkadang digunakan untuk menuliskan matriks diagonal, kita dapat menulis

$I_{n}={\text{diag}}(1,\,1,\dots ,\,1).$

Matriks identitas juga dapat dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker:

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$

Ketika matriks identitas adalah hasil perkalian dari dua matriks persegi, kedua persegi tersebut dikatakan saling invers.

Matriks identitas adalah satu-satunya matriks idempoten dengan determinan yang tidak bernilai 0. Dengan kata lain, matriks identitas adalah satu-satunya matriks yang:

Jika dikalikan dengan dirinya sendiri, akan menghasilkan dirinya sendiri.
Setiap kolom dan setiap barisnya saling bebas linear.

Referensi

^ "Compendium of Mathematical Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01EST16:14:32-05:00. Diakses tanggal 2021-03-02.
^ "Identity matrix: intro to identity matrices (article) | Khan Academy". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-03-02.
^ Pipes, Louis Albert (1963). Matrix Methods for Engineering. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. hlm. 91.
^ "Identity Matrix" di situs MathWorld

Pranala luar

Identity matrix, PlanetMath.org.

[1] "Compendium of Mathematical Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01EST16:14:32-05:00. Diakses tanggal 2021-03-02.

[2] "Identity matrix: intro to identity matrices (article) | Khan Academy". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-03-02.

[3] Pipes, Louis Albert (1963). Matrix Methods for Engineering. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. hlm. 91.

[4] "Identity Matrix" di situs MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-'''Matriks identitas''' atau kadang disebut '''matriks satuan''' untuk ukuran ''n'' adalah [[matriks persegi panjang]] ''n'' × ''n'' dengan angka-angka satu di [[diagonal utama]] dan angka nol di tempat lainnya. Matriks identitas diberi tanda ''I''<sub>''n''</sub> atau sekadar ''I'' jika ''n''-nya tidak ditentukan. Beberapa buku matematika menggunakan singkatan ''U'' atau ''E'' yang mengacu kepada "''unit matrix''" dalam [[bahasa Inggris]] (matriks satuan)<ref>{{cite book |title=Matrix Methods for Engineering |series=Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics |first=Louis Albert |last=Pipes |publisher=Prentice-Hall |year=1963 |page=91 |url=https://books.google.com/books?id=rJNRAAAAMAAJ&pg=PA91 }}</ref> dan terjemahannya dalam [[bahasa Jerman]], "''Einheitsmatrix''".<ref>[http://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html "Identity Matrix"] di situs [[MathWorld]]</ref>
+Dalam [[aljabar linear]], '''matriks identitas''' (atau terkadang secara rancu disebut dengan '''matriks satuan''') berukuran ''n'' adalah [[matriks persegi]] berukuran ''n'' × ''n'' dengan elemen-elemen pada [[diagonal utama]] bernilai 1 dan bernilai 0 di elemen-elemen lainnya. Matriks identitas ditulis sebagai ''I''<sub>''n''</sub>, atau sekadar ''I'' jika ukuran ''n'' dapat diketahui dari konteks pembahasan.<ref>{{Cite web|date=2020-03-01EST16:14:32-05:00|title=Compendium of Mathematical Symbols {{!}} Math Vault|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|language=en-US|access-date=2021-03-02}}</ref><ref>{{Cite web|title=Identity matrix: intro to identity matrices (article) {{!}} Khan Academy|url=https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:properties-of-matrix-multiplication/a/intro-to-identity-matrices|website=Khan Academy|language=en|access-date=2021-03-02}}</ref> Beberapa buku matematika menggunakan singkatan ''U'' atau ''E'' yang mengacu kepada "''unit matrix''" dalam [[bahasa Inggris]] (matriks satuan)<ref>{{cite book |title=Matrix Methods for Engineering |series=Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics |first=Louis Albert |last=Pipes |publisher=Prentice-Hall |year=1963 |page=91 |url=https://books.google.com/books?id=rJNRAAAAMAAJ&pg=PA91 }}</ref> dan terjemahannya dalam [[bahasa Jerman]], "''Einheitsmatrix''".<ref>[http://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html "Identity Matrix"] di situs [[MathWorld]]</ref>
 :<math>
@@ Baris 22: / Baris 22: @@
 </math>
-Jika ''A'' adalah ''m''×''n'', sifat [[perkalian matriks]] akan memberikan hasil berikut:
+Jika matriks ''A'' berukuran ''m''×''n'', [[perkalian matriks]] ''A'' dengan matriks identitas akan memberikan hasil berikut:
 :<math>I_mA = AI_n = A. \,</math>
+Ketika matriks berukuran n ''x'' n digunakan untuk mewakili [[transformasi linear]] dari ruang vektor dimensi-''n'' ke dirinya sendiri, ''I''<sub>''n''</sub> mewakili [[fungsi identitas]] dan tidak tergantung pada [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang digunakan.
+Kolom ke-''i'' dari matriks identitas adalah [[vektor satuan]] ''e<sub>i</sub>'' (vektor dengan elemen ke-''i'' bernilai 1, dan bernilai 0 untuk elemen-elemen lainnya). [[Determinan]] dari matriks identitas bernilai 1, dan [[Trace (matematika)|trace]]-nya bernilai ''n''.
-== Catatan kaki ==
+Dengan menggunakan notasi yang sama terkadang digunakan untuk menuliskan [[matriks diagonal]], kita dapat menulis
+<math>I_n = \text{diag}(1,\,1,\dots,\,1).</math>
+Matriks identitas juga dapat dituliskan dengan menggunakan notasi [[Fungsi delta Kronecker|delta Kronecker]]:
+<math>(I_n)_{ij} = \delta_{ij}.</math>
+Ketika matriks identitas adalah hasil perkalian dari dua matriks persegi, kedua persegi tersebut dikatakan saling invers.
+Matriks identitas adalah satu-satunya [[matriks idempoten]] dengan determinan yang tidak bernilai 0. Dengan kata lain, matriks identitas adalah satu-satunya matriks yang:
+* Jika dikalikan dengan dirinya sendiri, akan menghasilkan dirinya sendiri.
+* Setiap kolom dan setiap barisnya saling [[Kebebasan linear|bebas linear]].
+== Referensi ==
 <references />
 == Pranala luar ==
 * {{planetmath reference|title=Identity matrix|id=1223}}
-{{matematika-stub}}
 [[Kategori:Matriks]]