Kehomomorfan grup

Gambar kehomomorfan grup (h) dari G (kiri) ke H (kanan). Oval yang lebih kecil di dalam H adalah gambar h. 'N' adalah inti dari h dan aN adalah coset dari N.

Dalam matematika, diberikan dua grup, (G, ∗) dan (H, ·), sebuah kehomomorfan grup dari ( G , ∗) ke ( H , ·) adalah fungsi h : G → H, u dan v dengan G dirumuskan

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)$

dimana operasi grup di sisi kiri persamaan adalah G dan di sisi kanan H .

Dari sifat ini, bahwa h elemen identitas e_G dari G ke elemen identitas e_H dari H ,

$h(e_{G})=e_{H}$

dan invers ke invers dalam arti

$h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,$

Maka, dikatakan bahwa h "sesuai dengan struktur grup".

Notasi lama untuk kehomomorfan h(x) maka x^h atau x_h, sebagai indeks atau subskrip umum. Dalam teori automata, terkadang kehomomorfan ditulis dibagian kanan argumen tanpa tanda kurung, sehingga h(x) menjadi x h .

Dalam bidang matematika di mana grup dengan struktur tambahan, kehomomorfan berarti peta struktur grup tetapi juga struktur ekstra. Misalnya, kehomomorfan grup topologi harus menggunakan kontinu.

Intuisi

Tujuan dari definisi kehomomorfan grup adalah untuk menciptakan fungsi pada struktur aljabar. Definisi yang setara dari kehomomorfan grup adalah: Fungsi h : G → H adalah kehomomorfan grup

a ∗ b = c dirumuskan h(a) ⋅ h(b) = h(c).

Grup H dalam beberapa hal memiliki struktur aljabar dengan G dan kehomomorfan h .

Jenis

Monomorfisme

Kehomomorfan grup yaitu injeksi (atau, satu-ke-satu); yaitu, perbedaan.

Epimorfisme

Kehomomorfan grup yaitu surjektif (atau, ke); yaitu mencapai setiap titik di kodomain.

Isomorfisme

Suatu kehomomorfan grup yaitu bijektif; yaitu, injeksi dan surjektif. Kebalikannya juga merupakan kehomomorfan grup. Dalam hal ini, grup G dan H disebut isomorfik ; mereka hanya berbeda dalam notasi elemennya dan identik untuk semua tujuan praktis.

Keendomorfan

Kehomomorfan, h: G → G; ranah dan kodomain adalah sama. Juga disebut keendomorfan dari G .

Keautomorfan

Keendomorfan bersifat bijektiva, dan karenanya merupakan isomorfisme. Himpunan semua keautomorfan dari grup G, dengan komposisi fungsional sebagai operasi, membentuk grup itu sendiri, grup keautomorfan dari G. Dilambangkan dengan Aut(G). Sebagai contoh, kelompok keautomorfan (Z, +) hanya mengandung dua elemen, transformasi identitas dan perkalian dengan −1; itu isomorfik untuk Z/2Z.

Galeri dan kernel

Artikel utama: Galeri (matematika) dan Kernel (aljabar)

Mendefinisikan kernel dari h menjadi himpunan elemen pada G yang dipetakan ke identitas ke H

$\operatorname {ker} (h)\equiv \left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.$

dan galeri dari h dirumuskan

$\operatorname {im} (h)\equiv h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.$

Kernel dan Galeri kehomomorfan dapat diartikan sebagai mengukur dekat menjadi isomorfisme. teorema isomorfisme pertama menyatakan bahwa citra suatu kelompok kehomomorfan, h(G) isomorfik ke grup hasil bagi G/ker h.

Kernel h adalah subgrup normal dari G dan galeri h adalah subgrup dari H :

${\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.\end{aligned}}$

Jika dan hanya jika ker(h) = {e_G}, kehomomorfan, h , adalah grup monomorfisme ; yaitu, h adalah injektif (satu-ke-satu). Injeksi secara langsung memberikan bahwa ada elemen unik di kernel, dan elemen unik di kernel memberikan injeksi:

${\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}$

Contoh

• Pertimbangkan grup siklik Z/3Z = {0, 1, 2} dan kelompok bilangan bulat Z dengan penambahan. Peta h : Z → Z/3Z dengan h(u) = u mod 3 adalah kehomomorfan grup. Ini surjektif dan kernelnya terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 3.

• Pertimbangkan grup

  $G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$

  Untuk bilangan kompleks u fungsi f_u : G → C^* didefinisikan oleh:

  ${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$

  adalah homomorfisme grup.
• Pertimbangkan kelompok perkalian bilangan riil positif (R⁺, ⋅) untuk bilangan kompleks u fungsi f_u : R⁺ → C didefinisikan oleh:

  $f_{u}(a)=a^{u}$

  adalah homomorfisme grup.

• Peta eksponensial menghasilkan kehomomorfan grup dari grup bilangan riil R dengan penambahan ke grup bilangan real bukan-nol R* dengan perkalian. Kernel adalah {0} dan gambar terdiri dari bilangan riil positif.
• Peta eksponensial juga menghasilkan kehomomorfan grup dari grup bilangan kompleks C dengan tambahan grup bilangan kompleks bukan nol C* dengan perkalian. Peta bersifat surjektif dan memiliki kernel {2πki : k ∈ Z}, seperti yang bisa dilihat dari Rumus Euler. Field seperti R dan C yang memiliki kehomomorfan dari grup aditif ke grup perkaliannya disebut bidang eksponensial.

Kategori grup

Jika h : G → H dan k : H → K adalah kehomomorfan grup, maka k ∘ h : G → K. Hal ini menunjukkan bahwa kelas dari semua grup, bersama dengan kehomomorfan grup sebagai morfisme, membentuk suatu kategori.

Kehomomorfan grup abelian

Jika G dan H adalah abelian (yaitu, Komutatif) grup, maka himpunan Hom(G, H) dari semua kehomomorfan grup dari G hingga H adalah grup abelian itu sendiri: jumlah h + k dari dua kehomomorfan didefinisikan oleh

(h + k)(u) = h(u) + k(u)    pada u ke G .

Komutatif H diperlukan untuk membuktikan h + k sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.

Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka f adalah Hom(K, G), h, k adalah elemen dari Hom(G, H), dan g termasuk Hom(H, L), maka

(h + k) ∘ f = (h ∘ f) + (k ∘ f)    dan    g ∘ (h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k).

Karena komposisinya asosiatif, ini menunjukkan bahwa himpunan End( G ) dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk gelanggang, yang gelanggang keendomorfan dari G . Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari jumlah langsung dari salinan m dari Z/nZ isomorfik terhadap gelanggang m -oleh- m matriks dengan entri dalam Z/nZ. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk kategori preadditif; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah kategori abelian.

Lihat pula

• Teorema dasar kehomomorfan
• Gelanggang homomorfisme

Referensi

• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. hlm. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Templat:Lang Algebra

Pranala luar

• (Inggris) Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Group Homomorphism". MathWorld.