Grup nilpoten

Dalam matematika, khususnya teori grup, grup nilpoten G adalah grup yang memiliki deret tengah atas yang diakhiri dengan G . Secara ekivalen, deret tengah nya memiliki panjang terbatas atau deret tengah bawah diakhiri dengan {1}.

Secara intuitif, grup nilpotent adalah grup yang "hampir abelian". Ide ini dimotivasi oleh fakta bahwa grup nilpoten adalah solvable, dan untuk grup nilpoten hingga, dua elemen yang memiliki relatif prima urutan harus bolak-balik. Juga benar bahwa grup nilpoten hingga adalah bisa dipecahkan. Konsep ini dikreditkan untuk bekerja pada tahun 1930-an oleh ahli matematika Rusia Sergei Chernikov.

Grup nilpoten muncul dalam teori Galois, serta dalam klasifikasi grup. Mereka juga muncul secara mencolok dalam klasifikasi grup Lie.

Istilah analogi digunakan untuk aljabar Lie (menggunakan Kurung kebohongan) termasuk nilpoten, dan deret pusat bawah.

Definisi

Definisi tersebut menggunakan gagasan tentang rangkaian pusat untuk sebuah grup. Berikut ini adalah definisi yang setara untuk grup nilpotent G:

• G memiliki deret tengah dengan panjang terbatas. Artinya, serangkaian subkelompok normal

$\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$

where $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$, or equivalently $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$.

• G memiliki deret tengah bawah yang diakhiri dalam subgrup trivial setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subgrup normal

$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$

where $G_{i+1}=[G_{i},G]$.

• G memiliki deret tengah atas yang berakhir di seluruh grup setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subkelompok normal

$\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$

dimana $Z_{1}=Z(G)$ dan $Z_{i+1}$ adalah subkelompok seperti itu $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$.

Untuk grup nilpoten, n terkecil sedemikian rupa sehingga G memiliki deretan pusat dengan panjang n disebut kelas nilpotensi dari G ; dan G dikatakan nilpoten kelas n. (Menurut definisi, panjangnya adalah n jika ada $n+1$ subgrup berbeda dalam rangkaian, termasuk subgrup trivial dan seluruh grup.)

Secara ekuivalen, kelas nilpotensi dari G sama dengan panjang deret tengah bawah atau deret tengah atas. Jika sebuah grup memiliki paling banyak kelas nilpotensi n, maka itu kadang-kadang disebut grup nil- n.

Ini segera mengikuti dari salah satu bentuk di atas dari definisi nilpotensi, bahwa grup trivial adalah grup unik kelas nilpotensi 0, dan kelompok dari kelas nilpotensi 1 sama persis dengan grup abelian non-trivial.

Contoh

Sebagian dari grafik Cayley dari grup Heisenberg diskrit, grup nilpoten terkenal.

• Seperti disebutkan di atas, setiap grup abelian adalah nilpoten.
• Untuk contoh non-abelian kecil, pertimbangkan grup quaternion group Q ₈ , yang merupakan grup non-abelian terkecil p . Ia memiliki pusat {1, −1} dari urutan 2, dan deret pusat atasnya adalah {1}, {1, −1}, Q₈; jadi nihil kelas 2.
• Produk langsung dari dua grup nilpoten adalah nilpoten.
• Semua grup-p hingga sebenarnya nilpoten ( bukti). Kelas maksimal dari segrup ordo pⁿ adalah n (sebagai contoh, setiap grup berorde 2 nilpoten kelas 1). 2 grup kelas maksimal adalah grup hasil bagi umum, grup dihedral, dan grup semidihedral.
• Lebih lanjut, setiap grup nilpoten hingga adalah produk langsung dari grup p .
• Gugus perkalian dari matriks atas satuanriangular n x n pada bidang manapun F adalah grup nilpoten dari nilpotensi n - 1. Secara khusus, mengambil n = 3 menghasilkan grup Heisenberg H , sebuah contoh dari non-abelian infinite nilpotent group. Ini memiliki kelas nilpotency 2 dengan deret pusat 1, Z(H), H.
• Kelompok perkalian dari matriks segitiga atas yang dapat dibalik n x n matriks di atas bidang F tidak secara umum nilpoten, tetapi dapat dipecahkan.
• Semua grup nonabelian G seperti itu G/Z(G) apakah abelian memiliki nilpontensi kelas 2, dengan deret pusat {1}, Z(G), G.

Penjelasan istilah

Disebut grup nilpotent karena "aksi adjoint" dari setiap elemen adalah nilpoten, artinya untuk grup nilpotent $G$ dari nilpotence degree $n$ dan elemen $g$, fungsi $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ didefinisikan oleh $\operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ (dimana $[g,x]=g^{-1}x^{-1}gx$ adalah komutator dari $g$ dan $x$) adalah nilpoten dalam arti bahwa iterasi $n$ ke fungsi ini sepele: $\left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e$ untuk $x$ pada $G$.

Ini bukanlah karakteristik yang menentukan dari grup nilpoten: grup yang untuknya $\operatorname {ad} _{g}$ adalah nilpoten derajat $n$ (dalam pengertian di atas) disebut grup Engel $n$, dan tidak perlu menjadi nilpoten secara umum. Mereka terbukti nilpoten jika memiliki urutan yang terbatas, dan diduga nilpoten selama mereka dihasilkan secara terbatas.

Sebuah grup abelian adalah grup yang tindakan penyatuannya tidak hanya nilpoten tetapi juga trivial (grup 1-Engel).

Referensi

• Bechtell, Homer (1971). The Theory of Groups. Addison-Wesley. 
• Von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6. 
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9. 
• Isaacs, I. Martin (2008). Finite Group Theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3. 
• Palmer, Theodore W. (1994). Banach Algebras and the General Theory of *-algebras. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0. 
• Stammbach, Urs (1973). Homology in Group Theory. Lecture Notes in Mathematics. 359. Springer-Verlag.  review
• Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2. 
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. ISBN 1-85233-235-2. 
• Zassenhaus, Hans (1999). The Theory of Groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.