Grup topologi: Perbedaan antara revisi
k clean up, replaced: Ruang vektor topologi → Ruang vektor topologis (2), ruang vektor topologi → ruang vektor topologis (2) using AWB |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Perbaikan terjemahan pada pranala (meskipun hanya beberapa paragrafnya saja). |
||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{Short description|Grup yang merupakan ruang topologi dengan aksi grup yang berkelanjutan}} |
{{Short description|Grup yang merupakan ruang topologi dengan aksi grup yang berkelanjutan}} |
||
⚫ | |||
{{Group theory sidebar}} |
|||
⚫ | Dalam [[matematika]], '''grup topologis''' adalah [[grup (matematika)|grup]] {{mvar | G}} bersama dengan [[Ruang topologis|topologi]] pada <math>G</math> sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke balikkannya masing-masing adalah fungsi [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]] yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan [[struktur aljabar]] dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya. |
||
⚫ | |||
⚫ | Grup topologis, bersama dengan [[aksi grup kontinu]], digunakan untuk mempelajari [[simetri]] kontinu, yang memiliki banyak penerapan, misalnya [[Simetri (fisika)|dalam fisika]]. Dalam [[analisis fungsional]], setiap [[ruang vektor topologis]] adalah grup topologis aditif dengan sifat tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologis dapat diterapkan pada analisis fungsional. |
||
⚫ | Dalam [[matematika]], '''grup |
||
Grup topologi adalah objek matematika dengan [[struktur aljabar]] dan struktur topologi. |
|||
Jadi, seseorang dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan seseorang dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya. |
|||
⚫ | Grup |
||
== Definisi formal == |
== Definisi formal == |
||
'''Grup |
'''Grup topologis''', {{mvar | G}}, adalah [[ruang topologi]] yang juga merupakan grup operasi grup (dalam hal ini darab): |
||
: |
:<math>\cdot : G \times G \to G</math>, <math>(x,y) \mapsto xy</math> |
||
dan peta |
dan peta balikkan: |
||
: |
:<math>^{-1} : G \to G</math>, <math>x \mapsto x^{-1}</math> |
||
adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]]<ref group=note>'' yaitu '' Kontinu artinya untuk himpunan terbuka {{math|''U'' ⊆ ''G''}}, {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''U'')}} terbuka di domain {{math|dom ''f''}} dari {{mvar|f}}.</ref> |
adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]]<ref group=note>'' yaitu '' Kontinu artinya untuk himpunan terbuka {{math|''U'' ⊆ ''G''}}, {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''U'')}} terbuka di domain {{math|dom ''f''}} dari {{mvar|f}}.</ref>. Disini {{math|''G'' × ''G''}} dipandang sebagai ruang topologi dengan [[topologi darab]]. Topologi seperti itu dikatakan '''serasi dengan operasi grup''' dan disebut '''topologi grup'''. |
||
Maka {{math|''G'' × ''G''}} dipandang sebagai ruang topologi dengan [[topologi produk]]. |
|||
Topologi seperti itu dikatakan '''kompatibel dengan operasi grup''' dan disebut '''topologi grup'''. |
|||
;Memeriksa |
;Memeriksa kekontinuan |
||
Peta |
Peta darab kontinu jika dan hanya jika untuk <math>x, y \in G</math> dan setiap lingkungan <math>W</math> dari <math>xy</math> di <math>G</math>, terdapat lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> dan <math>V</math> dari <math>y</math> pada <math>G</math> sehingga <math>U \cdot V \subseteq W</math>, dimana <math>U \cdot V := \{u \cdot v : u \in U, v \in V\}</math>}. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika <math>x \in G</math> dan suatu lingkungan <math>V</math> dari <math>x^{-1}</math> pada <math>G</math>, lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> ke <math>G</math> sehingga <math>U^{-1} \subseteq V</math>, dimana <math>U^{-1} := \{u^{-1} : u \in U \}</math>. |
||
Peta inversi berkelanjutan jika dan hanya jika {{math|''x'' ∈ ''G''}} dan lingkungan mana pun {{mvar | V}} dari {{math|''x'' <sup>−1</sup>}} pada {{mvar | G}}, lingkungan {{mvar | U}} dari {{mvar | x}} ke {{mvar | G}} maka {{math|''U'' <sup>−1</sup> ⊆ ''V''}}, dimana {{math|''U'' <sup>−1</sup> :{{=}} { ''u''<sup>−1</sup> : ''u'' ∈ ''U'' }}}. |
|||
Untuk menunjukkan bahwa topologi |
Untuk menunjukkan bahwa topologi serasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta |
||
: |
:<math>G \times G \to G</math>, <math>(x,y) \mapsto (xy)^{-1}</math> |
||
⚫ | adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk <math>x, y \in G</math> dan suatu lingkungan <math>W</math> oleh <math>G</math> dari {{math|''xy'' <sup>−1</sup>}}, ada lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> dan <math>V</math> dari <math>y</math> di <math>G</math> maka <math>U \cdot (V^{-1}) \subseteq W</math>. |
||
terus menerus. |
|||
⚫ | Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk |
||
;Notasi aditif |
;Notasi aditif |
||
Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; |
Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; |
||
padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut |
padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut kontinu: |
||
: |
:<math>+ : G \times G \to G</math>, <math>(x,y) \mapsto x + y</math> |
||
: |
:<math>- : G \to G</math>, <math>x \mapsto -x</math>. |
||
;Ke-Hausdorff-an |
|||
;Hausdorffness |
|||
Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis<ref>{{harvnb|Armstrong|1997|p=73}}; {{harvnb|Bredon|1997|p=51}}</ref> |
Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis<ref>{{harvnb|Armstrong|1997|p=73}}; {{harvnb|Bredon|1997|p=51}}</ref> perlu bahwa topologi pada <math>G</math> menjadi [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]]. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini. |
||
Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap kelompok topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan kelompok topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; |
|||
ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan kelompok topologi non-Hausdorff asli. |
|||
Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini. |
|||
Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa |
Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa grup topologi selalu Hausdorff. |
||
;Kategori |
;Kategori |
||
Dalam bahasa [[teori kategori]], |
Dalam bahasa [[teori kategori]], grup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai [[objek kelompok|objek grup]] dalam [[kategori ruang topologi]], dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam [[kategori himpunan]]. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris. |
||
Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (produk biner, invers unary, dan identitas nullary), oleh karena itu definisi kategorikal. |
|||
== |
== Kehomomorfan == |
||
'''Kehomomorfan''' dari grup topologis berarti [[kehomomorfan grup]] <math>G \to H</math>. Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk [[teori kategori|kategori]]. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada ''beberapa'' titik.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=19-45}} |
|||
'''Homomorfisme''' dari grup topologi berarti [[grup homomorphism]] {{math|''G'' → ''H''}}. |
|||
Kelompok topologi, bersama dengan homomorfisme mereka, membentuk [[teori kategori|kategori]]. |
|||
Homomorfisme kelompok antara kelompok topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada titik '' beberapa ''.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=19-45}} |
|||
''' |
'''Keisomorfan''' dari grup topologis adalah [[grup isomorfisme|grup keisomorfan]] yang juga merupakan [[homeomorfisme]] dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan. |
||
Ini lebih kuat daripada hanya membutuhkan isomorfisme kelompok kontinyu, kebalikannya juga harus kontinu. |
|||
Ada contoh grup topologi yang isomorfik sebagai grul biasa tetapi tidak sebagai grup topologi. |
|||
Memang, setiap grup topologi non-diskrit juga merupakan grup topologi bila dipertimbangkan dengan topologi diskrit. |
|||
Kelompok yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologi tidak ada isomorfisme. |
|||
== Contoh == |
== Contoh == |
||
Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup |
Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan [[topologi diskrit|topologi diskret]]; grup seperti itu disebut [[grup diskret]]. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. [[Topologi takdiskret]] (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis. |
||
Dalam pengertian ini, teori kelompok topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. |
|||
[[Topologi tidak terpisah]] (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologi. |
|||
[[Bilangan real]], <math>\R</math> dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. [[Ruang Euklides|Ruang Euklidean-{{mvar|n}}]] dari <math>\R^n</math> juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap [[ruang vektor topologis]] membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis [[Grup Abelian|Abel]] adalah [[grup lingkaran]] <math>S^1</math>, atau [[Grup torus|torus]] <math>(S^1)^n</math> untuk bilangan asli <math>n</math>. |
|||
[[Bilangan real]], {{math | ℝ}} dengan topologi biasa membentuk grup topologi di bawah tambahan. |
|||
[[Ruang Euklides|ruang Euklidean-{{mvar|n}}]] {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} juga merupakan grup topologi dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap [[ruang vektor topologis]] membentuk grup topologi (abelian). |
|||
Beberapa contoh lain dari [[grup abelian|abelian]] grup topologi adalah [[grup lingkaran]] {{math|''S''<sup>1</sup>}}, atau [[torus group|torus]] {{math|(''S''<sup>1</sup>)<sup>''n''</sup>}} untuk bilangan asli {{mvar | n}}. |
|||
[[Grup klasik]] adalah contoh penting dari grup |
[[Grup klasik]] adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math> mengenai semua terbalikkan [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>n</math> kali <math>n</math> dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math> sebagai [[subruang (topologi)|subruang]] dari ruang Euklides <math>\R^{n \times n}</math>. Grup klasik lainnya adalah [[grup ortogonal]] <math>\operatorname{O}(n)</math>, grup dari semua [[peta linear]] dari <math>\R^n</math> terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan [[jarak Euklides|panjang]] dari semua vektor. Grup ortogonal adalah [[ruang kompak|kompak]] sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari [[geometri Euklides]] dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat <math>O(n) \ltimes \R^n</math> mengenai [[grup Euclidean|isometri]] dari <math>\R^n</math>. |
||
Grup klasik lainnya adalah [[grup ortogonal]] {{math|O(''n'')}}, kelompok dari semua [[peta linear]] dari {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan [[jarak Euklides|panjang]] dari semua vektor. |
|||
Kelompok ortogonal adalah [[ruang kompak|kompak]] sebagai ruang topologi. Banyak dari [[geometri Euclidean]] dapat dipandang sebagai mempelajari struktur kelompok ortogonal, atau kelompok yang terkait erat {{math|''O''(''n'') ⋉ ℝ<sup>''n''</sup>}} dari [[grup Euclidean|isometri]] dari {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. |
|||
Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua [[grup |
Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua [[grup Lie]], artinya grup tersebut [[manifold halus]] sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah [[fungsi mulus|mulus]], tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang [[aljabar Lie]] dan kemudian diselesaikan. |
||
Grup Lie adalah grup topologi yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang [[aljabar Lie]] dan kemudian diselesaikan. |
|||
Contoh grup |
Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif <math>\Q</math> dari [[bilangan rasional]], dengan topologi yang diwarisi dari <math>\R</math>. |
||
Ini adalah ruang [[terhitung]], dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk [[teori bilangan]] adalah grup <math>\Z_p</math> dari [[bilangan bulat p-adik]], untuk [[bilangan prima]] <math>p</math>, yang berarti [[batas invers|batas balikkan]] dari grup hingga <math>\Z/p^n</math> karena <math>n</math> menuju takterhingga. Grup <math>\Z_p</math> is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke [[himpunan Cantor]]), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena [[Grup takterhubung total|takterhubung]]. |
|||
Ini adalah ruang [[terhitung]], dan tidak memiliki topologi diskrit. |
|||
Contoh penting untuk [[teori bilangan]] adalah grup {{math|ℤ<sub>''p''</sub>}} dari [[bilangan bulat p-adik]], untuk [[bilangan prima]] {{mvar | p}}, yang berarti [[batas invers]] dari grup hingga {{math|ℤ/''p''<sup>''n''</sup>}} karena '' n '' mencapai tak terbatas. |
|||
Grup {{math|ℤ<sub>''p''</sub>}} is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke [[himpunan Cantor]]), tetapi berbeda dari (nyata) geup Lie karena terputus. |
|||
Grup |
Grup <math>\Z_p</math> adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab <math>\prod_{n \geq 1} \mathbb{Z} / p^n </math> sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga <math>\mathbb{Z} / p^n</math> diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah [[grup Galois mutlak]]. |
||
Kelas besar lain dari kelompok pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah [[grup Galois mutlak]]. |
|||
== Grup |
== Grup topologis Abel lengkap == |
||
Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan |
Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan sifat, dapat ditemukan di artikel tentang [[filter dalam topologi]]. |
||
== Keseragaman kanonik pada grup |
== Keseragaman kanonik pada grup topologis komutatif == |
||
{{Main|Ruang seragam}} |
{{Main|Ruang seragam}} |
||
Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup |
Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologis yang kami anggap adalah grup topologis komutatif aditif dengan elemen identitas {{math | 0}}. |
||
{{Quote|1='''Definisi''' ('''Rombongan kanonik''' dan '''diagonal'''): |
{{Quote|1='''Definisi''' ('''Rombongan kanonik''' dan '''diagonal'''): |
||
Baris 115: | Baris 87: | ||
'''Catatan''': |
'''Catatan''': |
||
<ul> |
<ul> |
||
<li>Keseragaman kanonik pada setiap |
<li>Keseragaman kanonik pada setiap grup topologi komutatif adalah invarian-translasi.</li> |
||
<li>Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.</li> |
<li>Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.</li> |
||
<li>Setiap rombongan {{math|Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} berisi diagonal {{math|1=Δ<sub>''X''</sub> := Δ<sub>''X''</sub>({0}) = { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X''  }}} karena {{math|0 ∈ ''N''}}. |
<li>Setiap rombongan {{math|Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} berisi diagonal {{math|1=Δ<sub>''X''</sub> := Δ<sub>''X''</sub>({0}) = { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X''  }}} karena {{math|0 ∈ ''N''}}. |
||
Baris 124: | Baris 96: | ||
</ul> |
</ul> |
||
== |
== Pratapis dan jaring Cauchy == |
||
{{Main|Filter dalam topologi | Jaring (matematika)}} |
{{Main|Filter dalam topologi | Jaring (matematika)}} |
||
Teori umum [[ruang seragam]] s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy |
Teori umum [[ruang seragam]] s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy pratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada {{mvar | X}}, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan. |
||
{{Quote|1='''Definisi''' ('''Jumlah dan hasil jala'''):{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}} Seharusnya {{math|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | X}} dan {{math|1=''y''<sub>•</sub> = (''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''j'' ∈ ''J''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | Y}}. Buat {{math|''I'' × ''J''}} menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan {{math|(''i'', ''j'') ≤ (''i''<sub>2</sub>, ''j''<sub>2</sub>)}} jika dan hanya jika {{math|''i'' ≤ ''i''<sub>2</sub>}} dan {{math|''j'' ≤ ''j''<sub>2</sub>}}. Kemudian {{nowrap|1={{math|1=''x''<sub>•</sub> × ''y''<sub>•</sub> := (''x''<sub>''i''</sub>, ''y''<sub>''j''</sub>)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}}} menunjukkan '''produk jaring'''. Jika {{math|1=''X'' = ''Y''}} lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan {{math|''X'' × ''X'' → ''X''}} menunjukkan '''jumlah''' dari dua jaring ini: |
{{Quote|1='''Definisi''' ('''Jumlah dan hasil jala'''):{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}} Seharusnya {{math|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | X}} dan {{math|1=''y''<sub>•</sub> = (''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''j'' ∈ ''J''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | Y}}. Buat {{math|''I'' × ''J''}} menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan {{math|(''i'', ''j'') ≤ (''i''<sub>2</sub>, ''j''<sub>2</sub>)}} jika dan hanya jika {{math|''i'' ≤ ''i''<sub>2</sub>}} dan {{math|''j'' ≤ ''j''<sub>2</sub>}}. Kemudian {{nowrap|1={{math|1=''x''<sub>•</sub> × ''y''<sub>•</sub> := (''x''<sub>''i''</sub>, ''y''<sub>''j''</sub>)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}}} menunjukkan '''produk jaring'''. Jika {{math|1=''X'' = ''Y''}} lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan {{math|''X'' × ''X'' → ''X''}} menunjukkan '''jumlah''' dari dua jaring ini: |
||
Baris 165: | Baris 137: | ||
Ucapan: |
Ucapan: |
||
<ul> |
<ul> |
||
<li>Misalkan {{math | |
<li>Misalkan {{math |ℬ}} adalah pratapis pada grup topologis komutatif {{mvar | X}} dan {{math|''x'' ∈ ''X''}}. Kemudian {{math|ℬ → ''x''}} di {{mvar | X}} jika dan hanya jika {{math|''x'' ∈ cl ℬ}} dan {{math|ℬ}} adalah Cauchy.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}}</li> |
||
</ul> |
</ul> |
||
== Generalisasi == |
== Generalisasi == |
||
Berbagai generalisasi grup |
Berbagai generalisasi grup topologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kekontinuan:{{sfn|Arhangel'skii|Tkachenko|2008|p=12}} |
||
* [[Grup semitopologi]] adalah grup |
* [[Grup semitopologi]] adalah grup <math>G</math> dengan topologi untuk {{math|''c'' ∈ ''G''}} dua fungsi {{math|''G'' → ''G''}} didefinisikan oleh {{math|''x'' ↦ ''xc''}} dan {{math|''x'' ↦ ''cx''}} adalah kontinu. |
||
* [[Grup kuasitopologi]] adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke |
* [[Grup kuasitopologi]] adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke balikkannya juga kontinu. |
||
* [[Grup paratopologi]] adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup |
* [[Grup paratopologi]] adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup kontinu. |
||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
Revisi per 14 Mei 2021 02.10
Struktur aljabar → Teori grup Teori grup |
---|
Halaman ini sedang dipersiapkan dan dikembangkan sehingga mungkin terjadi perubahan besar. Anda dapat membantu dalam penyuntingan halaman ini. Halaman ini terakhir disunting oleh Dedhert.Jr (Kontrib • Log) 1246 hari 112 menit lalu. Jika Anda melihat halaman ini tidak disunting dalam beberapa hari, mohon hapus templat ini. |
Dalam matematika, grup topologis adalah grup G bersama dengan topologi pada sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke balikkannya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan struktur aljabar dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.
Grup topologis, bersama dengan aksi grup kontinu, digunakan untuk mempelajari simetri kontinu, yang memiliki banyak penerapan, misalnya dalam fisika. Dalam analisis fungsional, setiap ruang vektor topologis adalah grup topologis aditif dengan sifat tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologis dapat diterapkan pada analisis fungsional.
Definisi formal
Grup topologis, G, adalah ruang topologi yang juga merupakan grup operasi grup (dalam hal ini darab):
- ,
dan peta balikkan:
- ,
adalah kontinu[note 1]. Disini G × G dipandang sebagai ruang topologi dengan topologi darab. Topologi seperti itu dikatakan serasi dengan operasi grup dan disebut topologi grup.
- Memeriksa kekontinuan
Peta darab kontinu jika dan hanya jika untuk dan setiap lingkungan dari di , terdapat lingkungan dari dan dari pada sehingga , dimana }. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika dan suatu lingkungan dari pada , lingkungan dari ke sehingga , dimana .
Untuk menunjukkan bahwa topologi serasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta
- ,
adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk dan suatu lingkungan oleh dari xy −1, ada lingkungan dari dan dari di maka .
- Notasi aditif
Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut kontinu:
- ,
- , .
- Ke-Hausdorff-an
Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis[1] perlu bahwa topologi pada menjadi Hausdorff. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.
Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa grup topologi selalu Hausdorff.
- Kategori
Dalam bahasa teori kategori, grup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai objek grup dalam kategori ruang topologi, dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam kategori himpunan. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris.
Kehomomorfan
Kehomomorfan dari grup topologis berarti kehomomorfan grup . Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk kategori. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada beberapa titik.[2]
Keisomorfan dari grup topologis adalah grup keisomorfan yang juga merupakan homeomorfisme dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan.
Contoh
Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan topologi diskret; grup seperti itu disebut grup diskret. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. Topologi takdiskret (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.
Bilangan real, dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. Ruang Euklidean-n dari juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap ruang vektor topologis membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis Abel adalah grup lingkaran , atau torus untuk bilangan asli .
Grup klasik adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, grup linear umum mengenai semua terbalikkan matriks kali dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat sebagai subruang dari ruang Euklides . Grup klasik lainnya adalah grup ortogonal , grup dari semua peta linear dari terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan panjang dari semua vektor. Grup ortogonal adalah kompak sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari geometri Euklides dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat mengenai isometri dari .
Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua grup Lie, artinya grup tersebut manifold halus sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah mulus, tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang aljabar Lie dan kemudian diselesaikan.
Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif dari bilangan rasional, dengan topologi yang diwarisi dari . Ini adalah ruang terhitung, dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk teori bilangan adalah grup dari bilangan bulat p-adik, untuk bilangan prima , yang berarti batas balikkan dari grup hingga karena menuju takterhingga. Grup is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke himpunan Cantor), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena takterhubung.
Grup adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah grup Galois mutlak.
Grup topologis Abel lengkap
Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan sifat, dapat ditemukan di artikel tentang filter dalam topologi.
Keseragaman kanonik pada grup topologis komutatif
Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologis yang kami anggap adalah grup topologis komutatif aditif dengan elemen identitas 0.
Definisi (Rombongan kanonik dan diagonal):
Diagonal dari X adalah himpunan
- ΔX := { (x, x) : x ∈ X }
dan untuk N ⊆ X berisi 0, rombongan kanonik' atau lingkungan kanonik sekitar N' adalah himpunan
- ΔX(N) := { (x, y) ∈ X × X : x - y ∈ N } = [(y + N) × { y }] = ΔX + (N × { 0 })
Definisi (Keseragaman kanonik):[3] Untuk grup topologi (X, τ), keseragaman kanonik pada X adalah struktur seragam yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik Δ(N) sebagai rentang N di semua lingkungan 0 pada X.
Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada X × X,
- { Δ(N) : N adalah lingkungan 0 pada X }
di mana prefilter ini membentuk apa yang dikenal sebagai basis lingkungan dari keseragaman kanonik.
Definisi (Keseragaman translasi-invarian):[4] Untuk grup aditif komutatif X, sistem dasar lingkungan ℬ disebut translasi-invarian jika untuk setiap B ∈ ℬ, (x, y) ∈ B jika dan hanya jika (x + z, y + z) ∈ B for all x, y, z ∈ X. Keseragaman ℬ disebut translasi-invarian jika memiliki basis lingkungan yang merupakan invarian-translasi.
Catatan:
- Keseragaman kanonik pada setiap grup topologi komutatif adalah invarian-translasi.
- Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.
- Setiap rombongan ΔX(N) berisi diagonal ΔX := ΔX({0}) = { (x, x) : x ∈ X } karena 0 ∈ N.
- Jika N adalah simetris (yaitu - N = N) kemudian ΔX(N) simetris (yaitu, (ΔX(N))op = ΔX(N)) dan
- ΔX(N) ∘ ΔX(N) = { (x, z) : ∃ y ∈ X such that x, z ∈ y + N } = [(y + N) × (y + N)] = ΔX + (N × N).
- Topologi yang diinduksi pada X oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan X (yaitu τ).
Pratapis dan jaring Cauchy
Teori umum ruang seragam s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy pratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada X, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.
Definisi (Jumlah dan hasil jala):[5] Seharusnya x• = (xi)i ∈ I adalah jaring di X dan y• = (yi)j ∈ J adalah jaring di Y. Buat I × J menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan (i, j) ≤ (i2, j2) jika dan hanya jika i ≤ i2 dan j ≤ j2. Kemudian x• × y• := (xi, yj)(i, j) ∈ I×J menunjukkan produk jaring. Jika X = Y lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan X × X → X menunjukkan jumlah dari dua jaring ini:
- x• + y• := ( xi + yj )(i, j) ∈ I×J
dan perbedaan mereka didefinisikan sebagai citra bersih produk di bawah peta pengurangan:
- x• - y• := ( xi - yj )(i, j) ∈ I×J.
Definisi (Jaring Cauchy):[6] jaring x• = (xi)i ∈ I dalam grup topologi aditif X disebut Jaring Cauchy jika
- ( xi - xj )(i, j) ∈ I×I → 0 in X
atau setara, jika untuk setiap lingkungan N dari 0 di X, ada beberapa i0 ∈ I maka xi - xj ∈ N untuk i, j ≥ i0 dengan i, j ∈ I.
Urutan Cauchy adalah Cauchy net yang berurutan.
Definisi ( N-himpunan kecil):[7] Jika B adalah subset dari grup aditif X dan N adalah himpunan yang berisi 0, lalu kita katakan bahwa B adalah N-kecil atau urutan kecil N if B - B ⊆ N.
Definisi (Prafilter Cauchy): Sebuah prefilter ℬ pada grup topologi aditif X disebut Cauchy prefilter jika memenuhi salah satu kondisi setara berikut:
- ℬ - ℬ → 0 in X, dimana ℬ - ℬ := { B - C : B, C ∈ ℬ } adalah sebuah prefilter.
- { B - B : B ∈ ℬ } → 0 in X, dimana { B - B : B ∈ ℬ } adalah prafilter yang setara dengan ℬ - ℬ.
- For setiap lingkungan N dari 0 di X, ℬ berisi beberapa N-himpunan kecil (yaitu, ada beberapa B ∈ ℬ maka B - B ⊆ N).[8]
dan jika X komutatif maka juga:
- Untuk setiap lingkungan N dari 0 di X, ada beberapa B ∈ ℬ dan beberapa x ∈ X maka B ⊆ x + N.[7]
- Itu sudah cukup untuk memeriksa salah satu kondisi di atas untuk setiap basis lingkungan yang diberikan dari 0 di X.
Ucapan:
- Misalkan ℬ adalah pratapis pada grup topologis komutatif X dan x ∈ X. Kemudian ℬ → x di X jika dan hanya jika x ∈ cl ℬ dan ℬ adalah Cauchy.[5]
Generalisasi
Berbagai generalisasi grup topologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kekontinuan:[9]
- Grup semitopologi adalah grup dengan topologi untuk c ∈ G dua fungsi G → G didefinisikan oleh x ↦ xc dan x ↦ cx adalah kontinu.
- Grup kuasitopologi adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke balikkannya juga kontinu.
- Grup paratopologi adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup kontinu.
Lihat pula
- Grup aljabar
- Grup kompak
- Ruang vektor topologis lengkap
- Grup Lie
- Grup kompak lokal
- Grup tak terbatas
- Gelanggang topologi
- Ruang vektor topologis
Catatan
- ^ yaitu Kontinu artinya untuk himpunan terbuka U ⊆ G, f −1(U) terbuka di domain dom f dari f.
Referensi
- ^ Armstrong 1997, hlm. 73; Bredon 1997, hlm. 51
- ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 19-45.
- ^ Edwards 1995, hlm. 61.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, hlm. 12-19.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 47-66.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48-51.
- ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48–51.
- ^ Arhangel'skii & Tkachenko 2008, hlm. 12.
Bibliografi
- Arhangel'skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). Topological Groups and Related Structures. World Scientific. ISBN 978-90-78677-06-2. MR 2433295.
- Armstrong, Mark A. (1997). Basic Topology (edisi ke-1st). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0. MR 0705632.
- Banaszczyk, Wojciech (1983), "On the existence of exotic Banach–Lie groups", Mathematische Annalen, 264 (4): 485–493, doi:10.1007/BF01456956, MR 0716262
- Bourbaki, Nicolas (1998), General Topology. Chapters 1–4, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64241-2, MR 1726779
- Bredon, Glen E. (1997). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics (edisi ke-1st). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1700700.
- Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
- Templat:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract Harmonic Analysis, 1 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 978-0387941905, MR 0551496
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract Harmonic Analysis, 2, Springer-Verlag, ISBN 978-0387048321, MR 0262773
- Mackey, George W. (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, ISBN 0-226-50051-9, MR 0396826
- Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104
- Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
- Pontryagin, Lev S. (1986). Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu (edisi ke-3rd). New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6. MR 0201557.
- Porteous, Ian R. (1981). Topological Geometry (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-23160-4. MR 0606198.
- Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces