Filtrasi (matematika)

Dalam matematika, filtrasi ${\mathcal {F}}$ adalah keluarga indeks $(S_{i})_{i\in I}$ dari subobjek dari struktur aljabar $S$ tertentu, dengan indeks $i$ menjalankan beberapa himpunan indeks terurut total $I$, persoalan ke syaratnya bahwa

jika $i\leq j$ di $I$, maka $S_{i}\subset S_{j}$.

Jika indeks $i$ adalah parameter waktu dari suatu proses stokastik, maka filtrasi dapat diartikan sebagai mewakili semua informasi historis tetapi tidak masa depan yang tersedia tentang stokastik, dengan struktur aljabar $S_{i}$ semakin kompleks seiring berjalannya waktu. Oleh karena itu, proses yang diadaptasi ke filtrasi ${\mathcal {F}}$, juga disebut non-antisipasi, yaitu yang tidak bisa melihat ke masa depan.

Kadang-kadang, seperti dalam aljabar filtrasi, ada persyaratan bahwa $S_{i}$ menjadi subaljabar sehubungan dengan beberapa operasi, tetapi tidak untuk operasi lain (katakanlah, perkalian), jika $S_{i}\cdot S_{j}\subset S_{i+j}$, dimana himpunan indeks adalah bilangan asli; ini adalah analogi dengan aljabar bertingkat.

Terkadang, filtrasi diharapkan memenuhi persyaratan tambahan bahwa union dari $S_{i}$ menjadi keseluruhan $S$, atau (dalam kasus yang lebih umum, ketika gagasan persatuan tidak masuk akal) bahwa homomorfisme kanonik dari limit langsung dari $S_{i}$ pada $S$ adalah sebuah isomorphism. Apakah persyaratan ini diasumsikan atau tidak, biasanya bergantung pada penulis teks dan sering kali dinyatakan secara eksplisit. Artikel ini tidak memaksakan persyaratan ini.

Ada juga gagasan tentang filtrasi menurun, yang diperlukan untuk memenuhi $S_{i}\supseteq S_{j}$ sebagai pengganti $S_{i}\subseteq S_{j}$ (dan, terkadang, $\bigcap _{i\in I}S_{i}=0$ daripada $\bigcup _{i\in I}S_{i}=S$). Sekali lagi, ini tergantung pada konteks bagaimana tepatnya kata "filtrasi" harus dipahami. Filtrasi menurun tidak sama dengan kofiltrasi (yang terdiri dari objek hasil bagi bukan subobjek).

Gagasan ganda tentang filtrasi disebut kofiltrasi .

Filtrasi banyak digunakan di aljabar abstrak, aljabar homologis (di mana mereka terkait secara penting pada urutan spektral), dan dalam teori pengukuran dan teori probabilitas untuk urutan bersarang σ-aljabar. Dalam analisis fungsional dan analisis numerik, terminologi lain biasanya digunakan, seperti skala ruang atau spasi bersarang.

Definisi

Jika $T\subset \mathbb {R}$ satu himpunan indeks dan $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Selanjutnya, jadikan untuk $t\in T$ maka sub-σ-aljabar ${\mathcal {F}}_{t}$ dari ${\mathcal {A}}$ diberikan.

Kemudian keluarga σ-aljabar dirumuskan

$\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$

filtrasi (dalam ${\mathcal {A}}$ atau pada $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$), jika disusun dalam urutan menaik, yaitu:

Untuk semua $s,t\in T$ dengan $s\leq t$ berlaku ${\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}$.

Adalah $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ filtrasi $(\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ juga disebut ruang probabilitas filtrasi .

Demikian pula, pemfilteran juga dapat ditentukan untuk set indeks semi-terurut $T$.

Contoh

Pertimbangkan ruang probabilitas sebagai contoh $(\mathbb {Z} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {Z} ),P)$ dengan himpunan dasar yang dapat dihitung $\mathbb {Z}$, yang secara default dilengkapi dengan daya yang ditetapkan sebagai σ-aljabar, pemfilteran yang mungkin adalah misalnya

${\mathcal {F}}_{n}:=\sigma ({\mathcal {P}}(\{-n,\dots ,n\}))$.

Ini memodelkan informasi yang pada langkah ke-n kali satu telah pindah ke n langkah menjauh dari asalnya dan akan, misalnya, menjadi filter yang sesuai untuk yang simetris sederhana.

Lihat pula

• Filtrasi alami
• Filtrasi (teori probabilitas)
• Filter (matematika)

Referensi

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.