Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12

Identitas trigonometri merupakan suatu identitas yang mencakup berbagai rumus-rumus trigonometri untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.

Fungsi trigonometri elementer

Definisi fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle A=\theta$, $AB=h$ adalah hipotenusa, $BC=a$ adalah sisi depan dan $AC=b$ adalah sisi samping

Untuk memulai pemahaman identitas, kita perlu memahami definisi dari keenam fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Sinus dan kosinus

Secara geometri, sinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan hipotenusa, sementara kosinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal $a$, $b$, dan $h$ adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.

$\sin \theta ={\frac {a}{h}}$

(1.1)

$\cos \theta ={\frac {b}{h}}$

(1.2)

Tangen

Secara geometri, tangen pada $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Kita rumuskan secara matematis, yaitu:

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}$

(1.3)

Fungsi tangen juga merupakan rasio fungsi trigonometri sinus dan kosinus. Untuk membuktikannya, cukup menggunakan rumus di atas dan mengeksploitasinya dengan memakai sifat-sifat pembatalan aljabar.

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}={\frac {\frac {a}{h}}{\frac {b}{h}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

(1.4)

Kosekan, sekan, dan kotangen

Fungsi kosekan, sekan, dan kotangen merupakan invers perkalian dari sinus, kosinus, dan tangen. Ketiganya dirumuskan sebagai

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {1}{\frac {a}{h}}}={\frac {h}{a}}$

(1.5)

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\frac {b}{h}}}={\frac {h}{b}}$

(1.6)

$\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {1}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

(1.7)

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras merupakan turunan dari teorema Pythagoras, yang melibatkan fungsi trigonometri. Dasar-dasar identitas Pythagoras ada tiga, yaitu:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

(1.8)

$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

(1.9)

$\cot ^{2}\theta +1=\csc ^{2}\theta$

(1.10)

Bukti dapat dipakai menggunakan segitiga siku-siku. Pada persamaan (1.8), dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri di atas. Hal yang serupa pada persamaan (1.9) dan (1.10).

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {b}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{h}}\right)^{2}\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{h^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}}\\&=1\end{aligned}}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\tan ^{2}\theta +1&=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+1\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{b^{2}}}=\left({\frac {h}{b}}\right)^{2}\\&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}\cot ^{2}\theta +1&=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}+1\\&={\frac {b^{2}+a^{2}}{a^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{a^{2}}}=\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\\&=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Pada pembuktian (1.9), $a^{2}+b^{2}=h^{2}$, yang kita peroleh melalui teorema Pythagoras. Pembuktian (1.10) dan (1.11) dapat dilakukan dengan hal yang serupa. Terdapat versi lain untuk membuktikan (1.10) dan (1.11). Dengan menggunakan (1.3) dan (1.7), yakni rasio fungsi trigonometri tersebut, maka ekspresi yang diperoleh adalah

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\tan ^{2}\theta +1&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}\\&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}\cot ^{2}\theta +1&={\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{\sin ^{2}A\theta }}\\&=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Versi lainnya adalah menggunakan teorema Pythagoras, masing-masing $h^{2}$, $b^{2}$, dan $a^{2}$ membagi persamaan tersebut.

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{h}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{h}}\right)^{2}\\\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=1\end{aligned}}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{b}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{b}}\right)^{2}\\\tan ^{2}\theta +1&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\\1+\cot ^{2}\theta &=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Bukti-bukti mengenai identitas Pythagoras masih jauh lebih banyak. Buktinya dapat dikerjakan melalui satuan lingkaran, deret pangkat, persamaan diferensial, dan rumus Euler. Lihat Identitas Pythagoras#Bukti untuk melihat lebih lanjut.

Jumlah dan selisih sudut

Diagram jumlah sudut fungsi sinus dan kosinus.

Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

(2.1)

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

(2.2)

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

(2.3)

Pada gambar di samping (baik kanan maupun kiri), terdapat diagram jumlah sudut yang memudahkan pemahamannya.

Bukti melalui aljabar

Secara aljabar, bukti melalui aljabar dapat kita mengeksploitasikan identitas-identitas sudut komplementer.

Sinus

Kita dapat menggunakan sifat $\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$ dan $\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$, serta menggunakan (2.2).

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-(\alpha +\beta )\right)\\&=\cos \left(\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)-\beta \right)\\&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\cos \beta +\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \end{aligned}}$

Kosinus

Lagi-lagi, kita gunakan sifat identitas komplementer, yakni $\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$ dan juga memerlukan (2.1).

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)-\beta \right)\\&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\cos \beta -\sin \alpha \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

Tangen

Kita tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan kita menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2).

${\begin{aligned}\tan(\alpha +\beta )&={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\cdot {\frac {\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}}\\&={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}$

Kotangen

Diagram jumlah sudut dalam fungsi tangen.