Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12

Identitas trigonometri merupakan suatu identitas yang mencakup berbagai rumus-rumus trigonometri untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.

Fungsi trigonometri elementer

Definisi fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle A=\theta$, $AB=h$ adalah hipotenusa, $BC=a$ adalah sisi depan dan $AC=b$ adalah sisi samping

Untuk memulai pemahaman identitas, perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Sinus dan kosinus

Artikel utama: Sinus (trigonometri) dan Kosinus

Secara geometri, sinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan hipotenusa, sementara kosinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal $a$, $b$, dan $h$ adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.

$\sin \theta ={\frac {a}{h}}$

(1.1)

$\cos \theta ={\frac {b}{h}}$

(1.2)

Tangen

Secara geometri, tangen pada $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Ini dirumuskan secara matematis, yaitu:

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}$

(1.3)

Fungsi tangen juga merupakan rasio fungsi trigonometri sinus dan kosinus. Untuk membuktikannya, cukup menggunakan rumus di atas dan mengeksploitasinya dengan memakai sifat-sifat pembatalan aljabar.

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}={\frac {\frac {a}{h}}{\frac {b}{h}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

(1.4)

Kosekan, sekan, dan kotangen

Fungsi kosekan, sekan, dan kotangen merupakan invers perkalian dari sinus, kosinus, dan tangen. Ketiganya dirumuskan sebagai

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {1}{\frac {a}{h}}}={\frac {h}{a}}$

(1.5)

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\frac {b}{h}}}={\frac {h}{b}}$

(1.6)

$\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {1}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

(1.7)

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras merupakan turunan dari teorema Pythagoras, yang melibatkan fungsi trigonometri. Dasar-dasar identitas Pythagoras ada tiga, yaitu:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

(1.8)

$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

(1.9)

$\cot ^{2}\theta +1=\csc ^{2}\theta$

(1.10)

Bukti dapat dipakai menggunakan segitiga siku-siku. Pada persamaan (1.8), dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri di atas. Hal yang serupa pada persamaan (1.9) dan (1.10).

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {b}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{h}}\right)^{2}\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{h^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}}\\&=1\end{aligned}}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\tan ^{2}\theta +1&=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+1\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{b^{2}}}=\left({\frac {h}{b}}\right)^{2}\\&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}\cot ^{2}\theta +1&=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}+1\\&={\frac {b^{2}+a^{2}}{a^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{a^{2}}}=\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\\&=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Pada pembuktian (1.9), $a^{2}+b^{2}=h^{2}$, yang diperoleh melalui teorema Pythagoras. Pembuktian (1.10) dan (1.11) dapat dilakukan dengan hal yang serupa. Terdapat versi lain untuk membuktikan (1.10) dan (1.11). Dengan menggunakan (1.3) dan (1.7), yakni rasio fungsi trigonometri tersebut, maka ekspresi yang diperoleh adalah

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\tan ^{2}\theta +1&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}\\&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}\cot ^{2}\theta +1&={\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{\sin ^{2}A\theta }}\\&=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Versi lainnya adalah menggunakan teorema Pythagoras, masing-masing $h^{2}$, $b^{2}$, dan $a^{2}$ membagi persamaan tersebut.

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{h}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{h}}\right)^{2}\\\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=1\end{aligned}}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{b}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{b}}\right)^{2}\\\tan ^{2}\theta +1&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\\1+\cot ^{2}\theta &=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Bukti-bukti mengenai identitas Pythagoras masih jauh lebih banyak. Buktinya dapat dikerjakan melalui satuan lingkaran, deret pangkat, persamaan diferensial, dan rumus Euler. Lihat Identitas Pythagoras#Bukti untuk melihat lebih lanjut.

Jumlah dan selisih sudut

Ilustrasi rumus jumlah sudut melalui geometri.

Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

(2.1)

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

(2.2)

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

(2.3)

$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$

(2.4)

Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu identitas-identitas sudut komplementer tersebut. Secara geometri, diberikan $OQA$ adalah segitiga siku-siku, $OQ\bot PQ$ sehingga $OPQ$ juga merupakan segitiga siku-siku. Gambar garis vertikal dari titik $P$ ke titik $B$, yang terletak di pertengahan garis $OA$. Misalkan $R$ adalah titik di garis pertengahan $PB$ (tetapi tidak terletak di pertengahan garis $OQ$ sehingga $R$ bukanlah titik perpotongan pada kedua garis $OQ$ dan $PB$) sehingga $PQR$ adalah segitiga dengan $\angle PRQ$ adalah siku-siku. Setelah menggambarnya, diperoleh $\angle QOA=\angle QPR=\alpha$, $QR=AB$, dan $BR=AQ$.

Sinus

Secara aljabar, dapat dibuktikan menggunakan sifat ${\textstyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}$ dan ${\textstyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}$, serta menggunakan (2.2).

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-(\alpha +\beta )\right)\\&=\cos \left(\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)-\beta \right)\\&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\cos \beta +\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$. Secara geometri, untuk membuktikannya, kita perluas $\sin(\alpha +\beta )$. Diperoleh $PB=PR+RB$. Cari $\sin \alpha$ di segitiga $OQA$, $\sin \beta$ dan $\cos \alpha$ di segitiga $OPQ$, dan $\cos \beta$ di segitiga $PQR$, lalu substitusi ke $\sin(\alpha +\beta )$ yang telah diperluas.

$\left.{\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&={\frac {PB}{OP}}\\&={\frac {RB+PR}{OP}}\\&={\frac {AQ}{OP}}+{\frac {PR}{OP}}\\&={\frac {AQ}{OP}}\cdot {\frac {OQ}{OQ}}+{\frac {PR}{OP}}\cdot {\frac {PQ}{PQ}}\\&={\frac {AQ}{OQ}}\cdot {\frac {OQ}{OP}}+{\frac {PR}{PQ}}\cdot {\frac {PQ}{OP}}\\&=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \quad \blacksquare \end{aligned}}\quad \right|\left.\quad {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {AQ}{OQ}}\\\sin \beta &={\frac {PQ}{OP}}\\\cos \alpha &={\frac {PR}{OQ}}\\\cos \beta &={\frac {OQ}{OP}}\end{aligned}}\quad \right.$

Kosinus

Secara aljabar, lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni ${\textstyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}$ dan ${\textstyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}$ dan juga (2.1).

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)-\beta \right)\\&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\cos \beta -\sin \alpha \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$.

Tangen

Secara aljabar, tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan $\cos \alpha \cos \beta$.

${\begin{aligned}\tan(\alpha +\beta )&={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\cdot {\frac {\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}}\qquad {\text{ bagi penyebut dan pembilang dengan }}\cos \alpha \cos \beta \\&={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$.

Kotangen

Secara aljabar, dapat dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan $\sin \alpha \sin \beta$.

${\begin{aligned}\cot(\alpha +\beta )&={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}\\&={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\\&={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\cdot {\frac {\frac {1}{\sin \alpha \sin \beta }}{\frac {1}{\sin \alpha \sin \beta }}}\qquad {\text{ bagi penyebut dan pembilang dengan }}\sin \alpha \sin \beta \\&={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}\end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$.

Secara geometri, diperoleh bahwa $OB=OA-AB$ dan $PB=PR+RB=PR+AQ$. Pada segitiga siku-siku $OQP$ dan $OAQ$, diperoleh ${\textstyle \cot \alpha ={\frac {OA}{AQ}}}$ dan ${\textstyle \cot \alpha ={\frac {PR}{QR}}}$ jika dan hanya jika $OA=AQ\cot \alpha$, dan $PR=QR\cot \alpha$.

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {OQ}{QB}}={\frac {OA-AB}{PR+AQ}}={\frac {AQ\cot \alpha -AB}{QR\cot \alpha +RB}}={\frac {QR\left({\frac {AQ}{QR}}\cot \alpha -{\frac {AB}{QR}}\right)}{QR\left(\cot \alpha +{\frac {AQ}{QR}}\right)}}={\frac {{\frac {AQ}{QR}}\cot \alpha -1}{\cot \alpha +{\frac {AQ}{QR}}}}$

Selanjutnya, ${\textstyle \sin \alpha ={\frac {AQ}{OQ}}}$ dan ${\textstyle \sin \alpha ={\frac {QR}{PR}}}$, maka ${\textstyle {\frac {AQ}{OQ}}={\frac {QR}{PQ}}}$ jika dan hanya jika ${\textstyle {\frac {AQ}{QR}}={\frac {OQ}{PQ}}}$. Karena ${\textstyle \cot \beta ={\frac {OQ}{PQ}}}$, maka

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$. $\blacksquare$

Sudut rangkap

Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut $n$-rangkap beserta buktinya.

$\sin(nx)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\sin \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)$

(3.1)

$\cos(nx)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cos \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)$

(3.2)

Gunakan definisi eksponensiasi dan teorema binomial. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas.

$\left.{\begin{aligned}\sin(nx)&={\frac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}}\\&={\frac {(e^{ix})^{n}-(e^{-ix})^{n}}{2i}}\\&={\frac {(\cos(x)+i\sin(x))^{n}-(\cos(x)-i\sin(x))^{n}}{2i}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\cos ^{k}x(i\sin x)^{n-k}-(\cos ^{k}x(-i\sin x)^{n-k})}{2i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cdot {\frac {i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\sin \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)\qquad \blacksquare \end{aligned}}\quad \right|\quad {\begin{aligned}\cos(nx)&={\frac {e^{inx}+e^{-inx}}{2i}}\\&={\frac {(e^{ix})^{n}+(e^{-ix})^{n}}{2i}}\\&={\frac {(\cos(x)+i\sin(x))^{n}+(\cos(x)-i\sin(x))^{n}}{2i}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\cos ^{k}x(i\sin x)^{n-k}+(\cos ^{k}x(-i\sin x)^{n-k})}{2i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cdot {\frac {i^{n-k}+(-i)^{n-k}}{2i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cos \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)\qquad \blacksquare \end{aligned}}$