Kaidah pangkat

Dalam kalkulus, aturan pangkat digunakan untuk menurunkan fungsi $f(x)=x^{r}$, dengan $r$ bilangan real. Karena diferensiasi adalah operasi linear pada ruang fungsi terdiferensiasi, polinomial juga dapat didiferensiasi menggunakan aturan ini. Aturan pangkat mendasari deret Taylor karena ia menghubungkan deret pangkat dengan deret fungsi.

Pernyataan

Misalkan $f$ adalah sebuah fungsi yang memenuhi $f(x)=x^{r}$, untuk semua $x$, dengan $r$ adalah bilangan real. Maka,$$f'(x)=rx^{r-1}.$$Aturan pangkat untuk integrasi menyatakan$$\int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C,$$untuk sebarang bilangan real $r\neq -1$, dan $C$ adalah konstanta sebarang. Pernyataan aturan pangkat untuk integrasi di atas dapat diperoleh dengan membalikkan aturan pangkat untuk turunan.

Bukti eksponen nyata

Untuk memulai, kita harus memilih definisi kerja dari nilai $f(x)=x^{r}$, darimana $r$ adalah bilangan real apa pun. Meskipun layak untuk mendefinisikan nilai sebagai batas urutan kekuatan rasional yang mendekati kekuatan irasional setiap kali kita menemukan kekuatan seperti itu, atau sebagai batas atas terkecil dari sekumpulan kekuatan rasional kurang dari kekuatan yang diberikan, jenis definisi ini tidak dapat menerima diferensiasi. Oleh karena itu lebih disukai untuk menggunakan definisi fungsional, yang biasanya dianggap sebagai $x^{r}=\exp(r\ln x)=e^{r\ln x}$ untuk semua nilai $x>0$, dari mana $\exp$ adalah fungsi eksponensial natural dan $e$ adalah Nomor Euler. Pertama, kami dapat menunjukkan bahwa turunan dari $f(x)=e^{x}$ is $f'(x)=e^{x}$.

Bila $f(x)=e^{x}$, maka $\ln(f(x))=x$, dari mana $\ln$ adalah fungsi logaritma natural, fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial, seperti yang ditunjukkan oleh Euler. Karena dua fungsi terakhir sama untuk semua nilai $x>0$, turunannya juga sama, setiap kali salah satu turunannya ada, jadi kita punya, menurut aturan rantai,

${\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1$

atau $f'(x)=f(x)=e^{x}$, seperti yang diminta. Oleh karena itu, terapkan aturan rantai ke nilai $f(x)=e^{r\ln x}$, kami melihat:

$f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}$

yang menyederhanakan ke $rx^{r-1}$.

Setelah $x<0$, kami dapat menggunakan definisi yang sama dengan $x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}$, dimana kita sekarang punya $-x>0$. Hal ini selalu mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan itu karena $(-1)^{r}$ tidak memiliki definisi konvensional kapan $r$ bukan bilangan rasional, fungsi daya irasional tidak didefinisikan dengan baik untuk basis negatif. Selain itu, karena pangkat rasional -1 dengan penyebut genap (dalam suku terkecil) bukanlah bilangan real, ekspresi ini hanya dinilai nyata untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terkecil).

Terakhir, setiap kali fungsi dapat dibedakan di $x=0$, batas yang menentukan untuk turunannya adalah:

$\lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}$

yang menghasilkan 0 hanya jika $r$ adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah) dan $r>1$, and 1 when r = 1. Untuk semua nilai r lainnya, ekspresi $h^{r}$ tidak didefinisikan dengan baik untuk $h<0$, seperti yang dibahas di atas, atau bukan bilangan real, sehingga batas tidak ada sebagai turunan bernilai nyata. Untuk dua kasus yang benar-benar ada, nilainya sesuai dengan nilai aturan pangkat yang ada di nilai 0.

Bukti untuk eksponen integer bukan nol

Pembuktian dengan induksi (bilangan bulat positif)

Bila n menjadi bilangan bulat positif. Itu diperlukan untuk membuktikan itu ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$

Darimana $n=1$, ${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}.$ Oleh karena itu, kasus dasar berlaku.

Misalkan pernyataan tersebut berlaku untuk beberapa bilangan bulat positif k, yakni ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$

Darimana $n=k+1$, ${\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}$

Dengan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembuktian oleh teorema binomial (bilangan bulat positif)

Bila $y=x^{n}$, darimana $n\in \mathbb {N}$

Setelah itu ${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}$ $=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+...+{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]$

$=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+...+{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]$

$=nx^{n-1}$

Generalisasi eksponen bilangan bulat negatif

Untuk bilangan bulat negatif n, jika $n=-m$ sehingga m adalah bilangan bulat positif. Menggunakan aturan timbal balik, ${\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.$

Kesimpulannya, untuk bilangan bulat bukan nol $n$, ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$

Generalisasi eksponen rasional

Setelah membuktikan bahwa aturan pangkat berlaku untuk eksponen integer, aturan tersebut dapat diperluas ke eksponen rasional.

Generalisasi kasus per kasus

1. . Bila $y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}$, dari mana $n\in \mathbb {N}$

Setelah itu $y^{n}=x$

Dengan aturan rantai, kami mengerti $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$

Jadi, ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=mx^{m-1}$

1. . Jika $y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}$, where $m,n\in \mathbb {N}$ , so that $p\in \mathbb {Q} ^{+}$

Oleh aturan rantai, ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$

1. . Bila $y=x^{q}$, dimana $q=-p$ and $p\in \mathbb {Q} ^{+}$

Dengan menggunakan aturan rantai dan aturan timbal balik, kami mendapatkan ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{p}=p\left({\frac {1}{x}}\right)^{p-1}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-px^{-p-1}=qx^{q-1}$

Dari hasil di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai r adalah bilangan rasional, ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$

Dibuktikan dengan diferensiasi implisit

Generalisasi yang lebih lugas dari aturan pangkat menjadi eksponen rasional menggunakan diferensiasi implisit.

Bila $y=x^{r}=x^{p/q}$, darimana $p,q\in \mathbb {Z}$ yang seperti itu $r\in \mathbb {Q}$.

Maka,

$y^{q}=x^{p}$

$qy^{q-1}{\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}$

Memecahakan nilai dari $dy/dx$,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.$

setelah $y=x^{p/q}$,

${\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.$

Menerapkan hukum eksponen,

${\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.$