Teorema binomial

Koefisien binomial dapat dilihat pada segitiga Pascal dimana setiap entri adalah hasil penjumlahan dua angka di atasnya.

Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)ⁿ menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk ax^by^c, dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}y^{0}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,x^{0}y^{4}.$

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

Koefisien a pada suku ax^by^c dikenal sebagai koefisien binomial ${\tbinom {n}{b}}$ atau ${\tbinom {n}{c}}$ (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, dimana ${\tbinom {n}{b}}$ menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.

Sejarah

Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:

Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]] Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2. Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke-6 di India.

Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥśāstra karya penulis Hindu, Pingala (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.^:230 Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal. Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan ${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$, dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 Lilavati karya Bhaskara.

Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke-11, Al-Karaji, yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial. Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika. Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang. Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui dan Zhu Shijie. Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.^:142

Pernyataan teorema

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x + y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$

dimana setiap ${\tbinom {n}{k}}$ adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial. Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial. Dengan menggunakan notasi penjumlahan, rumus itu dapat ditulis

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.

Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$

atau ekuivalen

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.$

Contoh

Segitiga Pascal

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!$

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

${\begin{aligned}\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

Perhatikan bahwa:

1. Eksponen dari $x$ menurun hingga mencapai 0 ($x^{0}=1$) dengan nilai awal adalah n (n pada $(x+y)^{n}$).
2. Eksponen dari $y$ naik dari 0 ($y^{0}=1$) hingga mencapai n (juga n pada $(x+y)^{n}$).
3. Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
4. Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan $2^{n}$.
5. Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan $n+1$.

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

${\begin{aligned}(x+4)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(4)+3x(4)^{2}+4^{3}\\&=x^{3}+12x^{2}+48x+64.\end{aligned}}$

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus (x − y)ⁿ = (x + (−y))ⁿ. Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!$

Penjelasan geometris

Visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat 4

Untuk setiap a dan b bernilai positif, teorema binomial dengan n = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi a + b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a, sebuah bujur sangkar dengan sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b. Dengan n = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a + b dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a, sebuah kubus dengan sisi b, tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×a×b, dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×b×b.

Dalam kalkulus, gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan $(x^{n})'=nx^{n-1}:$ jika ditentukan $a=x$ dan $b=\Delta x,$ dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam a, maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n, $(x+\Delta x)^{n},$ dengan suku koefisien linearnya (dalam $\Delta x$) adalah $nx^{n-1},$ wilayah dengan n permukaan, dimensi masing-masing $(n-1):$

$(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .$

Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – $(\Delta x)^{2}$ dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus $(x^{n})'=nx^{n-1},$ yang diinterpretasikan sebagai

"tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisi n bervariasi pada rentang n dari permukaannya yang berdimensi $(n-1)$".

Referensi

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian J. History Sci. 1 (1): 68–74. 
• Barth, N. R. (2004). "Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. 
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (edisi ke-2nd). Addison Wesley. hlm. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.