Limit barisan: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 29 Desember 2022 11.30

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Semakin bilangan bulat positif $n$ membesar tanpa batas, nilai $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ menjadi semakin dekat menuju $1$ . Dapat dikatakan bahwa "limit barisan $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ sama dengan $1$ ."

Dalam matematika, limit suatu barisan adalah nilai yang semakin didekati oleh suku-suku barisan tersebut ketika nomor urut suku-sukunya membesar tanpa batas. Limit barisan seringkali dilambangkan dengan $\lim$ (yaitu, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ).^[1]^[2] Jika limit tersebut ada, barisan itu disebut konvergen.^[3] Barisan yang tidak konvergen dikatakan divergen.^[4] Limit suatu barisan dikatakan sebagai gagasan landasan seluruh analisis matematika.^[2]

Limit dapat ditentukan di metrik atau ruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam bilangan real.

Sejarah

Filsuf Yunani Zeno dari Elea terkenal karena merumuskan paradoks yang melibatkan proses-proses limit.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoksos, dan Archimedes mengembangkan metode penghabis, yang menggunakan barisan perkiraan tak terbatas untuk menentukan luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebut deret geometrik.

Newton berurusan dengan deret dalam karyanya tentang Analysis with infinite series (ditulis pada tahun 1669, diedarkan dalam manuskrip, diterbitkan pada tahun 1711), Method of fluxions and infinite series (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahan bahasa Inggris tahun 1736, bahasa Latin asli diterbitkan lama kemudian) dan Tractatus de Quadratura Curvarum (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Apendiks dari karya Optiks). Dalam karya terakhir, Newton menganggap ekspansi binomial ${\textstyle (x+o)^{n}}$ , yang kemudian dia linierisasi dengan mengambil nilai limit karena o cenderung ke 0.

Pada abad ke-18, matematikawan seperti Euler berhasil menjumlahkan beberapa deret divergen dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada limit, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini, Lagrange dalam Théorie des fonctions analytiques (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus. Gauss dalam bukunya etude dari deret hipergeometrik (1813) untuk pertama kalinya diselidiki secara teliti di bawah kondisi dengan suatu seri bertemu ke suatu limit.

Definisi modern dari suatu limit (untuk suatu ε terdapat suatu indeks N sehingga...) diberikan oleh Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, sedikit memperhatikan pada saat itu), dan oleh Karl Weierstrass pada tahun 1870an.

Bilangan real

Pada barisan bilangan real, suatu bilangan $L$ adalah limit dari barisan $(x_{n})$ , jika suku-suku barisan itu semakin lebih dekat menuju $L$ untuk $n$ membesar tanpa batas—dan bukan ke bilangan lain.

Contoh

Jika $x_{n}=c$ untuk suatu konstanta c, maka $x_{n}\to c$ .^{[bukti 1]}^[5]
Jika $x_{n}={\frac {1}{n}}$ , maka $x_{n}\to 0$ .^{[bukti 2]}^[5]
Jika $x_{n}=1/n$ ketika $n$ adalah genap, dan $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ ketika $n$ adalah nilai ganjil, maka $x_{n}\to 0$ . (Fakta bahwa $x_{n+1}>x_{n}$ apabila $n$ nilai tidak relevan.)
Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan $0.3,0.33,0.333,0.3333,...$ konvergen menuju $1/3$ . Perhatikan bahwa representasi desimal $0.3333...$ adalah limit dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh

0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}

.

Limit suatu barisan tidak selalu ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik (limitnya 13,458...). Teorema apit sering kali berguna dalam pencarian limit sebegini.

Definisi formal

Contoh barisan yang konvergen ke limit $a$ .
Tanpa memperhatikan yaitu $\varepsilon >0$ yang kita punya, terdapat indeks $N_{0}$ , sehingga barisan terletak sesudahnya benar-benar berada di dalam tabung epsilon $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ .
Ada juga yang lebih kecil, $\epsilon _{1}>0$ sebuah indeks $N_{1}$ , sehingga barisannya adalah sesudahnya berada di dalam tabung epsilon $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$ .
Untuk setiap $\varepsilon >0$ , hanya terdapat banyaknya anggota barisan di luar tabung epsilon.

Suatu nilai $x$ dikatakan limit barisan $(x_{n})$ jika

untuk sebarang bilangan real

\epsilon >0

, ada bilangan asli

N

, sedemikian rupa sehingga untuk setiap bilangan asli

n\geq N

, berlaku

|x_{n}-x|<\epsilon

.^[6]

Dengan kata lain, untuk sekecil-kecilnya nilai $\epsilon$ , suku-suku barisan itu pada akhirnya berjarak lebih kecil dari $\epsilon$ ke limit. tersebut Barisan dari nilai $(x_{n})$ dikatakan konvergen atau cenderung ke limit $x$ , ditulis $x_{n}\to x$ atau $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$ .

Secara simbolis, definisi limit dinyatakan sebagai

\forall \varepsilon >0(\exists N\in \mathbb {N} (\forall n\in \mathbb {N} (n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon ))).

Sifat

Limit barisan berperilaku baik sehubungan dengan operasi aritmetika biasa. Jika $a_{n}\to a$ dan $b_{n}\to b$ , maka $a_{n}+b_{n}\to a+b$ , $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ dan, jika bukan b maupun suatu $b_{n}$ adalah nol, ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}$ .^[5]

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika $x_{n}\to x$ maka $f(x_{n})\to f(x)$ . Faktanya, setiap fungsi yang bernilai real f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan limit barisan (meskipun ini belum tentu benar saat menggunakan pengertian yang lebih umum tentang kontinuitas).

Beberapa sifat penting lainnya dari limit barisan real meliputi sebagai berikut (asalkan, dalam setiap persamaan di bawah, bahwa limit di sebelah kanan ada).

Barisan limit adalah tunggal.^[5]
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$ ^[5]
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$ ^[5]
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})$ ^[5]
$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ disediakan $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ ^[5]
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
Jika $a_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n$ lebih besar dari suatu $N$ , maka $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ .
(Teorema apit) Jika $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n>N$ , dan $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ , maka $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ .
Jika suatu barisan terbatas dan monotonik, maka barisannya konvergen.
Sebuah barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan adalah konvergen.
Jika setiap subbarisan dari suatu barisan memiliki barisan itu sendiri yang konvergen ke poin yang sama, maka barisan aslinya konvergen dengan poin tersebut.

Sifat ini banyak digunakan untuk membuktikan limit, tanpa perlu secara langsung menggunakan definisi formal yang rumit. Sebagai contoh. setelah terbukti bahwa $1/n\to 0$ , menjadi mudah untuk memperlihatkan—menggunakan sifat di atas—bahwa ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (asumsi bahwa $b\neq 0$ ).

Limit takhingga

Sebuah barisan $(x_{n})$ dikatakan cenderung ke takhingga, ditulis $x_{n}\to \infty$ atau $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ , jika untuk setiap K, terdapat suatu N sehingga untuk setiap $n\geq N$ , $x_{n}>K$ ; yaitu, suku barisan nantinya lebih besar daripada suatu K tetap.

Dengan cara yang serupa, $x_{n}\to -\infty$ jika untuk setiap K, terdapat suatu N sehingga untuk setiap $n\geq N$ , $x_{n}<K$ . Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen dbutuhkan untuk tidak cenderung ke positif atau negatif takhingga, dan barisan $x_{n}=(-1)^{n}$ menyediakan satunya seperti contoh.

Ruang metrik

Definisi

Sebuah nilai titik $x$ dari ruang metrik $(X,d)$ adalah limit dari barisan $(x_{n})$ jika untuk nilai $\epsilon >0$ , terdapat nilai $N$ sedemikian rupa, untuk setiap nilai $n\geq N$ , $d(x_{n},x)<\epsilon$ . Ini bertepatan dengan definisi yang diberikan untuk bilangan real ketika $X=\mathbb {R}$ dan $d(x,y)=|x-y|$ .

Sifat-sifat

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika $x_{n}\to x$ maka $f(x_{n})\to f(x)$ . Faktanya, fungsi f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas barisan.

Batasan barisan itu unik bila ada, karena titik berbeda dipisahkan oleh jarak positif, jadi untuk $\epsilon$ kurang dari setengah jarak ini, istilah barisan tidak bisa berada dalam jarak $\epsilon$ dari kedua poin tersebut.

Barisan Cauchy

Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang barisan Cauchy penting dalam studi barisan di ruang metrik, dan, khususnya, di analisis riil. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan barisan: barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah barisan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di ruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperreal

Definisi batas menggunakan bilangan hiperreal menggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, barisan yang nyata $(x_{n})$ cenderung L jika untuk setiap tak terbatas hipernatural H, syarat x_H is sangat dekat dengan L (yaitu, perbedaan nilai x_H − L adalah infinitesimal). Setara, L adalah bagian standar dari x_H

L={\rm {st}}(x_{H}).\,

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

\lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H}),

dengan limit tersebut ada jika dan hanya jika ruas kanan tidak bergantung pada pemilihan dari suatu takhingga H.

Lihat pula

Limit fungsi – titik untuk yang fungsi konvergen dalam topologi
Titik limit – suatu titik x dalam suatu ruang topologis, semua lingkungan berisi beberapa titik dalam diberikan suatu himpunan bagian yang berbeda dari x.
Limit atas dan limit bawah
Mode kekonvergenan
Limit jaring — suatu jaring rampat topologis dari suatu barisan
Limit teoretik himpunan
Aturan gesekan
Limit berurut bagian

Catatan

^ "Ringkasan Simbol Matematika". Math Vault (dalam bahasa Inggris Amerika). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-18.
^ ^a ^b Courant (1961), p. 29.
^ Weisstein, Eric W. "Barisan Konvergen". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18.
^ Courant (1961), p. 39.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h "Batasan Urutan | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris Amerika). Diakses tanggal 2020-08-18.
^ Weisstein, Eric W. "Limit". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18.

Bukti

^ Bukti: Pilih nilai $N=1$ . Untuk setiap $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\epsilon$
^ Bukti: Pilih $N=\left\lfloor {\frac {1}{\epsilon }}\right\rfloor$ + 1 (fungsi lantai). Untuk setiap $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1}}<\epsilon$ .

Referensi

Courant, Richard (1961). "Volume Kalkulus Diferensial dan Integral I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
Frank Morley dan James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Limit", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
A history of the calculus, including limits

[1] "Ringkasan Simbol Matematika". Math Vault (dalam bahasa Inggris Amerika). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-18.

[Courant_(1961),_p._29-2] Courant (1961), p. 29.

[3] Weisstein, Eric W. "Barisan Konvergen". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18.

[4] Courant (1961), p. 39.

[:0-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h "Batasan Urutan | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris Amerika). Diakses tanggal 2020-08-18.

[8] Weisstein, Eric W. "Limit". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18.

[5] Bukti: Pilih nilai $N=1$ . Untuk setiap $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\epsilon$

[7] Bukti: Pilih $N=\left\lfloor {\frac {1}{\epsilon }}\right\rfloor$ + 1 (fungsi lantai). Untuk setiap $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1}}<\epsilon$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[bukti 1]

[5]

[bukti 2]

[6]

@@ Baris 60: / Baris 60: @@
 ===Definisi formal===
-<gallery mode="packed" heights="100">
+<gallery mode="packed" heights="110">
 Berkas:Folgenglieder im KOSY.svg|Contoh barisan yang konvergen ke limit <math>a</math>.
 Berkas:Epsilonschlauch.svg|Tanpa memperhatikan yaitu  <math>\varepsilon > 0</math> yang kita punya, terdapat indeks <math>N_0</math>, sehingga barisan terletak sesudahnya benar-benar berada di dalam tabung epsilon <math>(a-\varepsilon,a+\varepsilon)</math>.