Layang-layang (geometri): Perbedaan antara revisi

Kite
Kite
	Gambar layang-layang yang menunjukkan pasangannya dengan sisi-sisinya yang sama panjang, dan layang-layang di dalam lingkaran.
Sisi dan titik pojok	4
Grup simetri	D1 (*)

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Sebaris

Revisi per 5 Desember 2024 04.10

Dalam geometri Euklides, layang-layang adalah sebuah segiempat yang memiliki simetri refleksi di sepanjang garis diagonalnya. Akibatnya, layang-layang memiliki dua sudut yang sama besarnya, dan memiliki dua pasang sisi yang sama panjang yang saling berdampingan. Layang-layang juga dikenal dengan sebutan deltoid,^[1] tapi istilah ini juga mengacu pada kurva deltoid, sebuah objek geometri yang tidak berkaitan dengan topik ini, tetapi terkadang juga dikaji dalam hubungannya dengan segiempat.^[2] Layang-layang ada dua macam bentukː ada yang cembung, dan ada yang cekung.^[3]^[4]

Setiap layang-layang adalah segiempat orthodiagonal, yang artinya garis diagonalnya berada di sudut siku-siku; layang-layang juga merupakan segiempat tangensial—sisinya bersinggungan dengan lingkaran dalam—apabila bentuknya cembung. Layang-layang cembung tepatnya segiempat yang sama-sama orthodiagonal dan tangensial. Layang-layang cembung mencakup kasus spesial seperti layang-layang siku-siku yang memiliki dua sudut siku-siku yang saling berhadapan, belah ketupat yang memiliki dua sumbu simetri yang berdiagonal, dan persegi yang juga merupakan kasus spesial dari layang-layang bersiku dan belah ketupat.

Segiempat dengan rasio terbesar antara keliling dengan diameter adalah layang-layang yang memiliki sudut 60°, 75°, dan 150°. Baik layang-layang cembung maupun cekung dapat membentuk prototile [en] dari salah satu bentuk pengubinan Penrose. Layang-layang juga membentuk muka dari beberapa polihedron yang isohedral dan juga pengubinan. Layang-layang juga diaplikasikan ke dalam kajian outer billiard [en], permasalahan kajian matematika berupa sistem dinamika.

Definisi dan klasifikasi

Layang-layang berbentuk cembung dan cekung

Layang-layang adalah segiempat yang memiliki simetri refleksi di sepanjang salah satu garis diagonalnya. Layang-layang dapat didefinisikan juga sebagai segiempat yang memiliki empat sisi yang berkumpul membentuk dua pasangan yang berdampingan yang sama panjangnya.^[1]^[5] Layang-layang dapat dikonstruksi dari pusat dan titik perpotongan dari sebarang dua lingkaran yang berpotongan.^[6] Layang-layang disini terbagi berdasarkan bentuknya, yaitu cembung atau cekung. Akan tetapi, banyak sumber membatasi pengertian layang-layang hanya sebagai bentuknya yang cembung. Segiempat dikatakan layang-layang jika dan hanya jika memenuhi salah satu dari syarat berikutː

Keempat sisinya terbagi menjadi dua pasangan yang berdampingan, yang sama panjangnya.^[5]
Garis diagonalnya melintasi titik tengah dari diagonal lainnya yang membentuk sudut siku-siku, yang juga membentuk pembagi garis yang tegak lurus.^[7] (Untuk layang-layang cekung, garisnya yang melalui salah satu garis diagonal membagi garis yang lain.)
Garis diagonalnya merupakan garis simetri, yang membagi segiempat menjadi dua segitiga kongruen yang saling bercermin satu sama lain.^[5]
Satu diagonal yang membagi kedua sudut di ujungnya.^[5]

Segiempat dapat diklasifikasikan berdasarkan hierarki, yang berarti beberapa kelas segiempat mencakup kelas-kelas lainnya. Segiempat dapat juga diklasifikasikan berdasarkan partisi, dalam artian tiap-tiap segiempat berada di dalam satu kelas. Berdasarkan hierarki, layang-layang meliputi belah ketupat (segiempat yang memiliki empat sisi yang sama panjang) dan persegi. Semua layang-layang yang sama sisi berbentuk belah ketupat, dan semua layang-layang sama besar sudutnya berbentuk persegi. Ketika diklasifikasikan berdasarkan partisi, belah ketupat dan persegi malah bukan bagian dari layang-layang, melainkan bagian dari kelas segiempat yang berbeda; ini juga berlaku untuk layang-layang bersiku yang bukan merupakan bagian dari layang-layang, sebagaimana dijelaskan nanti. Artikel disini hanya menjelaskan klasifikasi berdasarkan hierarki, yang berarti belah ketupat, persegi, dan layang-layang bersiku dianggap sebagai layang-layang. Menghindari apakah mereka dianggap sebagai kasus spesial, klasifikasi ini dapat menyederhanakan beberapa fakta mengenai layang-layang.^[8]

Sama seperti layang-layang, jajar genjang pula mempunyai dua pasang sisi yang sama panjangnya; yang membedakannya adalah kedua sisinya itu saling berhadapan alih-alih berdampingan. Setiap segiempat yang tidak saling bersilang diri yang memiliki sumbu simetri pastinya berupa sebuah layang-layang dengan sumbu simetri diagonal, atau trapesium sama kaki yang mempunyai sumbu simetri yang melalui titik tengah dari kedua sisinya. Bangun datar seperti itu mencakup kasus spesial seperti belah ketupat dan persegi panjang, dan persegi, yang merupakan kasus spesial dari kedua-duanya.^[1] Segiempat yang bersilang diri mencakup kelas segiempat yang lain, seperti antiparallelogram [en].^[9]

Kasus spesial

Layang-layang bersiku

Layang-layang yang sama panjang garis diagonalnya di dalam segitiga Reuleaux

Lute of Pythagoras

Layang-layang bersiku memiliki dua sudut siku-siku yang saling berhadapan.^[8]^[9] Layang-layang bersiku tepatnya sebuah layang-layang yang merupakan segiempat siklik, yang artinya ada sebuah lingkaran yang melalui semua titik sudut segiempat itu.^[10] Segiempat siklik dapat didefinisikan juga sebagai segiempat yang kedua sudutnya suplementer (jumlah kedua sudutnya mencapai 180°); apabila salah satu pasangan sudutnya suplementer, maka pasangan lainnya juga sama.^[7] Dengan demikian, layang-layang bersiku adalah layang-layang yang memiliki dua sudut suplementer yang berhadapan. Karena titik sudut layang-layang bersiku dilalui satu lingkaran serta layang-layangnya berada di dalam lingkaran yang lain, layang-layang bersiku juga merupakan segiempat bisentrik (atau trisentrik, sebab layang-layang itu juga memiliki lingkaran ketiga yang secara eksternal bersinggunan dengan perluasan sisinya).^[9] Andaikata bahwa nilai ukuran dari kedua lingkaran itu tetap, layang-layang bersiku memiliki luas terbesar daripada segala segiempat lainnya yang terperangkap di dalam mereka.^[11]

Di antara semua segiempat, bangun datar yang memiliki perbandingan terbesar antara keliling dengan diameternya (jarak maksimum di antara dua titik sudutnya) ialah layang-layang yang sama panjang garis diagonalnya, dengan sudutnya masing-masing 60°, 75°, 150°, 75°. Keempat titik sudutnya terletak di ketiga titik sudut dan salah satu titik tengah segitiga Reuleaux.^[12]^[13] Ketika layang-layang tersebut memiliki panjang sisi yang lebih kecil daripada atau sama dengan panjang garis diagonalnya, seperti bangun datar itu atau persegi, layang-layang tersebut merupakan salah satu segiempat dengan perbandingan terbesar antara luas dengan diameter.^[14]

Layang-layang yang memiliki tiga sudut bernilai 108° dan satu yang bernilai 36° membentuk selubung cembung dari lute of Pythagoras [en], sebuah fraktal yang dibangun oleh pentagram bersarang.^[15] Keempat sisi dari layang-layang ini terletak pada keempat sisi segilima beraturan, dengan segitiga emasnya berada pada sisi kelimanya.^[9]

Hanya terdapat delapan poligon yang dapat mengubin bidang, sehingga ketika mencerminkan suatu pengubinan di sepanjang salah satu sisinya menghasilkan pengubinan yang lain; susunan pengubinan ini dinamakan edge tessellation [en]. Salah satu di antara poligon itu merupakan sebuah ubin yang berbentuk layang-layang bersiku dengan masing-masing sudutnya 60°, 90°, dan 120°. Layang-layang ini menghasilkan pengubinan triheksagonal deltoidal [en] (lihat bagian § Pengubinan dan polihedron).^[16] Pengubinan prototile [en] yang dibangun oleh delapan layang-layang tersebut hanya mengubin bidang secara aperiodik, yang diaplikasikan sebagai pemecah permasalahan einstein.^[17]

Dalam geometri non-Eukildes, layang-layang dapat memiliki tiga sudut siku-siku dan juga satu sudut yang bukan siku-siku. Layang-layang ini membentuk kasus spesial dari segiempat Lambert. Keempat sudut itu lancip jika berada di dalam geometri hiperbolik, dan tumpul jika di geometri bola.^[18]

Sifat-sifat

Garis diagonal, sudut, dan luas

Setiap layang-layang merupakan segiempat orthodiagonal, yang berarti kedua garis diagonalnya tegak lurus terhadap satu sama lain. Lebih lanjut, salah satu dari kedua garis diagonalnya (sumbu simetri) merupakan pembagi garis yang tegak lurusdengan garis yang lain, dan lagi, merupakan pembagi sudut dari kedua sudut.^[1] Akibatnya, dua sudut lainnya pasti sama besar.^[19]^[20] Sumbu simetri diagonal dari layang-layang cembung membaginya menjadi dua buah segitiga yang kongruen. Sementara itu, garis diagonal lainnya membaginya menjadi dua buah segitiga sama kaki.^[1]

Sama halnya berlaku untuk setiap segiempat orthodiagonal pada umumnya, luas dari layang-layang $A$ dapat dirumuskan sebagai setengah perkalian dari panjang dari sisi diagonal $p$ dan $q$ :^[19] $A={\frac {p\cdot q}{2}}.$ Luas layang-layang dapat dihitung pula dengan melibatkan pembagiannya menjadi dua segitiga kongruen dan menerapkan rumus sisi-sudut-sisi pada luasnya. Apabila $a$ dan $b$ menyatakan panjang dari kedua sisi layang-layang, dan $\theta$ menyatakan sudut di antara kedua sisi tersebut, maka luasnya dirumuskan sebagaiː^[21] $\displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .$

Lingkaran dalam

Dua lingkaran yang bersinggungan dengan sisi dan perluasan sisi dari layang-layang cembung (atas), layang-layang cekung (tengah), dan antiparallelogram (bawah). Keempat garis tersebut yang melalui tiap-tiap segiempat ialah bitangent dari lingkaran-lingkaran tersebut.

Setiap layang-layang cembung juga merupakan segiempat tangensial (tangential quadrilaterael), segiempat yang memiliki lingkaran dalam. Artinya, ada sebuah lingkaran yang bersinggungan dengan keempat sisinya. Selain itu juga, andaikata sebuah layang-layang cembung bukanlah belah ketupat, maka ada sebuah lingkaran di luar layang-layang yang menyinggung perluasan keempat sisinya. Dengan demikian, setiap layang-layang cembung yang bukan belah ketupat ialah ex-tangential quadrilateral [en]. Layang-layang cembung yang bukan belah ketupat tepatnya berupa segiempat yang sama-sama tangential dan ex-tangential.^[9] Untuk layang-layang cekung, terdapat dua lingkaran yang menyinggung dua sisinya beserta perluasannya: satu lingkaran berada di dalam layang-layang yang menyinggung dua sisi yang berhadapan dari sudut cekung, sedangkan lingkaran yang lain berada di luar layang-layang yang menyinggung layang-layang pada kedua sisinya yang insiden dengan sudut cekung.^[22]

Untuk layang-layang cembung dengan panjang sisi diagonal $p$ dan $q$ serta panjang sisinya $a$ dan $b$ , jari-jari dari lingkaran dalam $r$ ialahː $r={\frac {pq}{2(a+b)}},$ dan jari-jari lingkaran ex-tangential $\rho$ ialahː^[9] $\rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}.$

Segiempat tangensial juga merupakan layang-layang jika dan hanya jika salah satu dari syarat berikut terpenuhi:^[23]

Luasnya adalah setengah hasil kali dari garis diagonal.
Garis diagonalnya tegak lurus. (Dengan demikian, layang-layang pastinya segiempat yang sama-sama tangensial dan orthodiagonal.)
Dua ruas garis yang menghubungkan titik singgung yang berhadapan memiliki panjang yang sama.
Panjang garis singgung, jarak dari titik singgung ke titik segiempat yang berdampingan, sama dengan dua titik segiempat yang berhadapan. (Pada tiap-tiap titik sudut, terdapat dua titik singgung yang berdampingan, tetapi kedua titik tersebut memiliki jarak yang sama seperti jarak lainnya, sehingga tiap titik sudut memiliki satu buah panjang garis singgung.)
Dua garis bimedian, ruas garis yang menghubungkan titik tengah dari sisi yang berhadapan, memiliki panjang yang sama.
Hasil kali dari sisi yang berhadapan yang sama panjang bernilai sama.
Pusat lingkaran dalam terletak pada garis simetri, sekaligus merupakan garis diagonal.

Apabila garis diagonal di dalam segiempat tangensial $ABCD$ memotong di titik $P$ , dan lingkaran dalam dari segitiga $ABP$ , $BCP$ , $CDP$ , $DAP$ masing-masing memiliki jari-jari $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , dan $r_{4}$ , maka segiempat dikatakan layang-layang jika dan hanya jika^[23] $r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.$ Apabila lingkaran singgung luar, yang menyinggung keempat segitiga berhadapan yang sama, memiliki jari-jari $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ , dan $R_{4}$ , maka segiempat dikatakan layang-layang jika dan hanya jika^[23] $R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.$

Dualitas

Layang-layang dan trapesium sama kaki saling dual satu salam lain. Maksudnya adalah terdapat korespondensi di antara kedua bidang datar tersebut yang saling membalikkan dimensi bagiannya, dengan cara menyinggung titik sudut ke sisi dan begitupula sebaliknya. Dari setiap layang-layang, lingkaran dalam menyinggung keempat sisi di keempat titik trapesium sama kaki, dan untuk setiap trapesium sama kaki, garis-garis yang menyinggung lingkaran luar di keempat titiknya membentuk empat sisi layang-layang. Korespondensi ini dapat dilihat juga sebagai sebuah contoh resiprokasi kutub [en], metode umum mencari korespondensi titik dengan garis dan berlaku sebaliknya dengan lingkaran yang diberikan. Walaupuna titik dan garis tidak menyinggung lingkaran, keempat titik sudut layang tersebut saling timbal balik (reciprocal), dalam hal ini, dengan keempat sisi trapesium sama kaki.^[24] Tabel di bawah menunjukkan gambaran layang-layang dan trapesium sama kaki yang saling korespondensi satu sama lain di bawah sifat dualitas.^[5]

Trapesium sama kaki	Layang-layang
Dua pasang sudut berdampingan yang sama besar	Dua pasang sisi berdampingan yang sama panjang
Dua sisi berhadapan yang sama panjang	Dua sudut berhadapan yang sama besar
Dua sisi berhadapan yang saling membagikan garis pembagi tegak lurus	Dua sudut berhadapan yang saling membagikan garis pembagi sudut
Sumbu simetri yang melalui dua sisi yang berhadapan	Sumbu simetri yang melalui dua sudut yang berhadapan
Lingkaran luar yang melalui semua titik sudut	Lingkaran dalam yang menyinggun semua sisi

Pembagian (diseksi)

Masalah ekuidiseksi melibatkan subpembagian poligon menjadi segitiga yang memiilki luas yang sama besarnya. Pada konteks ini, spektrum poligon adalah himpunan bilangan $n$ sehingga poligon mempunyai ekuidiseksi menjadi $n$ segitiga yang sama besar luasnya. Karena kesimetrisannya, spektrum dari layang-layang memuat semua bilangan bulat genap. Layang-layang khusus tertentu juga memuat bilangan ganjil di dalam spektrumnya.^[25]^[26]

Setiap segitiga dapat subdivisi lagi menjadi tiga layang-layang bersiku yang bertemu di pusat lingkaran dalamnya. Lebih umumnya lagi, metode yang didasarkan pada pengepakan lingkaran dapat dipakai untuk membagi lagi sebarang poligon dengan $n$ sisi menjadi $O(n)$ layang-layang, yang saling bertemu melalui tiap-tiap sisi.^[27]

Pengubinan dan polihedron

Konstruksi rekursif layang-layang cembung dan layang-layang cekung dalam pengubinan Penrose

Roset fraktal layang-layang Penrose

Semua layang-layang mengubin suatu bidang dengan menggunakan refleksi titik secara berulang di sekitar titik tengah sisinya, sama halnya untuk semua segiempat pada umumnya.^[28] Layang-layang cembung dengan sudut 72°, 72°, 72°, 144° maupun layang-layang cekung dengan sudut 36°, 72°, 36°, 216° membentuk prototile [en] dari sebuah versi pengubinan Penrose, suatu pengubinan aperiodik bidang yang ditemukan oleh ahli matematika dan fisika Roger Penrose.^[3] Ketika sebuah layang-layang mempunyai sudut yang, di titik puncaknya dan satu sisinya, memiliki jumlah bernilai $\pi (1-{\tfrac {1}{n}})$ untuk suatu bilangan bulat positif $n$ , maka salinan berskala layang-layang itu dapat dipakai untuk mengubinkan bidang di dalam roset fraktal, yang di dalamnya cincin besar penerusnya dari $n$ layang-layang mengitari titik pusat.^[29] Roset fraktal tersebut dapat digunakan untuk mengkaji fenomena keruntuhan takelastis, dengan sistem pergerakan semua partikel bertemu di dalam tumbukan takelastis bergabung di titik yang sama.^[30]

Selain itu, layang-layang dengan sudut 60°, 90°, 120°, 90° dapat mengubin bidang dengan mencerminkan di sepanjang sisinya secara berulang; contohnya seperti pengubinan triheksagonal deltoidal [en] yang menempatkan pengubinannya menggunakan segienam beraturan dan segitiga sama kaki.^[9] Ikositetrahedron deltoidal [en], heksakontahedron deltoidal [en], dan trapezohedron adalah polihedron yang memiliki muka berbentuk layang-layang kongruen,^[31] yang dapat dipandang sebagai pengubinan sferis melalui layang-layang sferis yang kongruen^[32] Dalam bidang hiperbolik, ada tak berhingga banyaknya pengubinan yang bersifat isohedral yang melibatkan layang-layang.^[33] Polihedron-polihedron tersebut (atau secara ekuivalen, pengubinan sferis), pengubinan persegi dan triheksagonal deltoidal pada bidang Euklides, dan beberapa pengubinan pada bidang hiperbolik diperlihatkan pada tabel di bawah, yang dilabeli dengan face configuration [en] (notasi yang melambangkan jumlah tetangga dari tiap empat titik sudut pada tiap ubin). Ada beberapa polihedron da ubin yang muncul dua kali, karena perbedaan notasi.

Polihedron			Euklides
V4.3.4.3	V4.3.4.4	V4.3.4.5	V4.3.4.6
Polihedron	Euklides	Pengubinan hiperbolik
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6
Polihedron	Pengubinan hiperbolik
V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5
Euklides	Pengubinan hiperbolik
V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6

Trapezohedron adalah keluarga polihedron lainnya yang mempunyai muka berbentuk layang-layang kongruen. Rusuk dari salah satu kedua panjang sisinya bertemu pada dua titik "kutub", sedangkan rusuk dari panjang sisi lainnya membentuk lintasan zigizag ekuatorial di sekitar polihedron. Polihedron semacam itu merupakan dual dari antiprisma [en] seragam.^[31] Trapezohedron acapkali ditemukan dalam dadu yang memiliki sepuluh muka.^[9]

Kajian outer billiard

Ahli matematika Richard Schwartz mengkaji outer billiard [en] pada layang-layang. Outer billiards adalah sistem dinamika yang melibatkan konsep berikutː ketika titik di luar himpunan cembung yang kompak di bidang, seseorang menggambarkan garis yang menyinggung himpunan cembung, yang berjalan dari titik awalnya di sekitar garis itu ke titik yang lain dengan jaraknya sama-sama jauh dari titik singgung, dan kemudian mengulangi proses yang sama. Kajian ini dibuka sekitar tahun 1950-an, mempertanyakan adakah sistem yang mendefinisikan hal tersebut dapat menghasilkan lintasan yang berjalan jauh secara sebarang dimulai dari titik awal. Schwartz melalui karyanya tahun 2007 memecahkan permasalahan ini dengan menemukan lintasan billiards yang tidak dibatasi untuk layang-layang dengan sudut 72°, 72°, 72°, 144°; layang-layang itu bentuk yang sama digunakan dalam pengubinan Penrose.^[34] Schwartz kemudian menuliskan monograf yang menganalisis lebih umum mengenai outer billiards untuk layang-layang. Untuk permasalahan ini, sebarang transformasi afin layang-layang mempertahankan sifat-sifat dinamis outer billiards, dan sangat mungkin untuk mentransformasikan sebarang layang-layang menjadi bentuk dengan ketiga titik sudut berada di koordinat $(-1,0)$ dan $(0,\pm 1)$ , sedangkan titik sudut keempatnya berada di $(\alpha ,0)$ dengan $\alpha$ adalah nilai yang berada di selang satuan terbuka $(0,1)$ . Perilaku outer billiards pada sebarang layang-layang sangat bergantung pada parameter $\alpha$ , terutama ketika nilainya bilangan rasional. Untuk kasus layang-layang Penrose, $\alpha =1/\varphi ^{3}$ , sebuah bilangan irasiona; disini, $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ adalah rasio emas.^[35]

Referensi

^ ^a ^b ^c ^d ^e Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, hlm. 49–53
^ Goormaghtigh, R. (1947), "Orthopolar and isopolar lines in the cyclic quadrilateral", The American Mathematical Monthly, 54 (4): 211–214, doi:10.1080/00029890.1947.11991815, JSTOR 2304700, MR 0019934
^ ^a ^b Gardner, Martin (January 1977), "Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles", Mathematical Games, Scientific American, vol. 236 no. 1, hlm. 110–121, Bibcode:1977SciAm.236a.110G, doi:10.1038/scientificamerican0177-110, JSTOR 24953856
^ Thurston, William P. (1998), "Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere", dalam Rivin, Igor; Rourke, Colin; Series, Caroline, The Epstein birthday schrift, Geometry & Topology Monographs, 1, Coventry, hlm. 511–549, arXiv:math/9801088 , doi:10.2140/gtm.1998.1.511, MR 1668340
^ ^a ^b ^c ^d ^e De Villiers, Michael (2009), Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, hlm. 16, 55, ISBN 978-0-557-10295-2
^ Szecsei, Denise (2004), The Complete Idiot's Guide to Geometry, Penguin, hlm. 290–291, ISBN 9781592571833
^ ^a ^b Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Information Age Publishing, hlm. 49–52, 63–67
^ ^a ^b De Villiers, Michael (February 1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", For the Learning of Mathematics, 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), "Section 3.4: Kites", A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, hlm. 73–78, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138 ; see also antiparallelograms, p. 212
^ Gant, P. (1944), "A note on quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 28 (278): 29–30, doi:10.2307/3607362, JSTOR 3607362
^ Josefsson, Martin (2012), "Maximal area of a bicentric quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 12: 237–241, MR 2990945, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-10-07, diakses tanggal 2014-04-11
^ Ball, D. G. (1973), "A generalisation of $\pi$ ", The Mathematical Gazette, 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052, JSTOR 3616052
^ Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", The Mathematical Gazette, 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699, JSTOR 3617699
^ Audet, Charles; Hansen, Pierre; Svrtan, Dragutin (2021), "Using symbolic calculations to determine largest small polygons", Journal of Global Optimization, 81 (1): 261–268, doi:10.1007/s10898-020-00908-w, MR 4299185
^ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, hlm. 260, ISBN 9780471667001
^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Edge tessellations and stamp folding puzzles", Mathematics Magazine, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257 , doi:10.4169/math.mag.84.4.283, MR 2843659
^ Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2024), "An aperiodic monotile", Combinatorial Theory, 4, arXiv:2303.10798 , doi:10.5070/C64163843
^ Eves, Howard Whitley (1995), College Geometry, Jones & Bartlett Learning, hlm. 245, ISBN 9780867204759
^ ^a ^b Beamer, James E. (May 1975), "The tale of a kite", The Arithmetic Teacher, 22 (5): 382–386, doi:10.5951/at.22.5.0382, JSTOR 41188788
^ Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (2014), Elementary Geometry for College Students (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 180–181, ISBN 9781285965901
^ "OC506" (PDF), Olympiad Corner Solutions, Crux Mathematicorum, 47 (5): 241, May 2021
^ Wheeler, Roger F. (1958), "Quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 42 (342): 275–276, doi:10.2307/3610439, JSTOR 3610439
^ ^a ^b ^c Josefsson, Martin (2011), "When is a tangential quadrilateral a kite?" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 165–174, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-10-17, diakses tanggal 2022-08-29
^ Robertson, S. A. (1977), "Classifying triangles and quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 61 (415): 38–49, doi:10.2307/3617441, JSTOR 3617441
^ Kasimatis, Elaine A.; Stein, Sherman K. (December 1990), "Equidissections of polygons", Discrete Mathematics, 85 (3): 281–294, doi:10.1016/0012-365X(90)90384-T , MR 1081836, Zbl 0736.05028
^ Jepsen, Charles H.; Sedberry, Trevor; Hoyer, Rolf (2009), "Equidissections of kite-shaped quadrilaterals" (PDF), Involve: A Journal of Mathematics, 2 (1): 89–93, doi:10.2140/involve.2009.2.89 , MR 2501347
^ Bern, Marshall; Eppstein, David (2000), "Quadrilateral meshing by circle packing", International Journal of Computational Geometry and Applications, 10 (4): 347–360, arXiv:cs.CG/9908016 , doi:10.1142/S0218195900000206, MR 1791192
^ Schattschneider, Doris (1993), "The fascination of tiling", dalam Emmer, Michele, The Visual Mind: Art and Mathematics, Leonardo Book Series, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, hlm. 157–164, ISBN 0-262-05048-X, MR 1255846
^ Fathauer, Robert (2018), "Art and recreational math based on kite-tiling rosettes", dalam Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf, Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, hlm. 15–22, ISBN 978-1-938664-27-4
^ Chazelle, Bernard; Karntikoon, Kritkorn; Zheng, Yufei (2022), "A geometric approach to inelastic collapse", Journal of Computational Geometry, 13 (1): 197–203, doi:10.20382/jocg.v13i1a7, MR 4414332
^ ^a ^b Grünbaum, B. (1960), "On polyhedra in $E^{3}$ having all faces congruent", Bulletin of the Research Council of Israel, 8F: 215–218 (1960), MR 0125489
^ Sakano, Yudai; Akama, Yohji (2015), "Anisohedral spherical triangles and classification of spherical tilings by congruent kites, darts and rhombi", Hiroshima Mathematical Journal, 45 (3): 309–339, doi:10.32917/hmj/1448323768 , MR 3429167
^ Dunham, Douglas; Lindgren, John; Witte, Dave (1981), "Creating repeating hyperbolic patterns", dalam Green, Doug; Lucido, Tony; Fuchs, Henry, Proceedings of the 8th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, SIGGRAPH 1981, Dallas, Texas, USA, August 3–7, 1981, Association for Computing Machinery, hlm. 215–223, doi:10.1145/800224.806808 , ISBN 0-89791-045-1
^ Schwartz, Richard Evan (2007), "Unbounded orbits for outer billiards, I", Journal of Modern Dynamics, 1 (3): 371–424, arXiv:math/0702073 , doi:10.3934/jmd.2007.1.371, MR 2318496
^ Schwartz, Richard Evan (2009), Outer Billiards on Kites, Annals of Mathematics Studies, 171, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, doi:10.1515/9781400831975, ISBN 978-0-691-14249-4, MR 2562898

Tautan eksternalExternal links

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Kite". MathWorld.
area formulaedengan animasi interaktif di Mathopenref.com

[halsted-1] Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, hlm. 49–53

[goormaghtigh-2] Goormaghtigh, R. (1947), "Orthopolar and isopolar lines in the cyclic quadrilateral", The American Mathematical Monthly, 54 (4): 211–214, doi:10.1080/00029890.1947.11991815, JSTOR 2304700, MR 0019934

[gardner-3] Gardner, Martin (January 1977), "Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles", Mathematical Games, Scientific American, vol. 236 no. 1, hlm. 110–121, Bibcode:1977SciAm.236a.110G, doi:10.1038/scientificamerican0177-110, JSTOR 24953856

[thurston-4] Thurston, William P. (1998), "Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere", dalam Rivin, Igor; Rourke, Colin; Series, Caroline, The Epstein birthday schrift, Geometry & Topology Monographs, 1, Coventry, hlm. 511–549, arXiv:math/9801088 , doi:10.2140/gtm.1998.1.511, MR 1668340

[devilliers-adventures-5] De Villiers, Michael (2009), Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, hlm. 16, 55, ISBN 978-0-557-10295-2

[idiot-6] Szecsei, Denise (2004), The Complete Idiot's Guide to Geometry, Penguin, hlm. 290–291, ISBN 9781592571833

[usiskin-griffin-7] Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Information Age Publishing, hlm. 49–52, 63–67

[devilliers-role-8] De Villiers, Michael (February 1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", For the Learning of Mathematics, 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098

[alsina-nelson-9] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), "Section 3.4: Kites", A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, hlm. 73–78, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138 ; see also antiparallelograms, p. 212

[gant-10] Gant, P. (1944), "A note on quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 28 (278): 29–30, doi:10.2307/3607362, JSTOR 3607362

[josefsson-area-11] Josefsson, Martin (2012), "Maximal area of a bicentric quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 12: 237–241, MR 2990945, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-10-07, diakses tanggal 2014-04-11

[ball-12] Ball, D. G. (1973), "A generalisation of $\pi$ ", The Mathematical Gazette, 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052, JSTOR 3616052

[griffiths-culpin-13] Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", The Mathematical Gazette, 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699, JSTOR 3617699

[audet-hansen-svrtan-14] Audet, Charles; Hansen, Pierre; Svrtan, Dragutin (2021), "Using symbolic calculations to determine largest small polygons", Journal of Global Optimization, 81 (1): 261–268, doi:10.1007/s10898-020-00908-w, MR 4299185

[darling-15] Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, hlm. 260, ISBN 9780471667001

[kirby-umble-16] Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Edge tessellations and stamp folding puzzles", Mathematics Magazine, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257 , doi:10.4169/math.mag.84.4.283, MR 2843659

[smkg-17] Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2024), "An aperiodic monotile", Combinatorial Theory, 4, arXiv:2303.10798 , doi:10.5070/C64163843

[eves-18] Eves, Howard Whitley (1995), College Geometry, Jones & Bartlett Learning, hlm. 245, ISBN 9780867204759

[beamer-19] Beamer, James E. (May 1975), "The tale of a kite", The Arithmetic Teacher, 22 (5): 382–386, doi:10.5951/at.22.5.0382, JSTOR 41188788

[alexander-koeberlein-20] Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (2014), Elementary Geometry for College Students (edisi ke-6th), Cengage Learning, hlm. 180–181, ISBN 9781285965901

[crux-21] "OC506" (PDF), Olympiad Corner Solutions, Crux Mathematicorum, 47 (5): 241, May 2021

[wheeler-22] Wheeler, Roger F. (1958), "Quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 42 (342): 275–276, doi:10.2307/3610439, JSTOR 3610439

[josefsson-when-23] Josefsson, Martin (2011), "When is a tangential quadrilateral a kite?" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 165–174, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-10-17, diakses tanggal 2022-08-29

[robertson-24] Robertson, S. A. (1977), "Classifying triangles and quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 61 (415): 38–49, doi:10.2307/3617441, JSTOR 3617441

[kasimitis-stein-25] Kasimatis, Elaine A.; Stein, Sherman K. (December 1990), "Equidissections of polygons", Discrete Mathematics, 85 (3): 281–294, doi:10.1016/0012-365X(90)90384-T , MR 1081836, Zbl 0736.05028

[jepsen-sedberry-hoyer-26] Jepsen, Charles H.; Sedberry, Trevor; Hoyer, Rolf (2009), "Equidissections of kite-shaped quadrilaterals" (PDF), Involve: A Journal of Mathematics, 2 (1): 89–93, doi:10.2140/involve.2009.2.89 , MR 2501347

[bern-eppstein-27] Bern, Marshall; Eppstein, David (2000), "Quadrilateral meshing by circle packing", International Journal of Computational Geometry and Applications, 10 (4): 347–360, arXiv:cs.CG/9908016 , doi:10.1142/S0218195900000206, MR 1791192

[schattschneider-28] Schattschneider, Doris (1993), "The fascination of tiling", dalam Emmer, Michele, The Visual Mind: Art and Mathematics, Leonardo Book Series, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, hlm. 157–164, ISBN 0-262-05048-X, MR 1255846

[fathauer-29] Fathauer, Robert (2018), "Art and recreational math based on kite-tiling rosettes", dalam Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf, Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, hlm. 15–22, ISBN 978-1-938664-27-4

[chazelle-karntikoon-zheng-30] Chazelle, Bernard; Karntikoon, Kritkorn; Zheng, Yufei (2022), "A geometric approach to inelastic collapse", Journal of Computational Geometry, 13 (1): 197–203, doi:10.20382/jocg.v13i1a7, MR 4414332

[grunbaum-31] Grünbaum, B. (1960), "On polyhedra in $E^{3}$ having all faces congruent", Bulletin of the Research Council of Israel, 8F: 215–218 (1960), MR 0125489

[sakano-akama-32] Sakano, Yudai; Akama, Yohji (2015), "Anisohedral spherical triangles and classification of spherical tilings by congruent kites, darts and rhombi", Hiroshima Mathematical Journal, 45 (3): 309–339, doi:10.32917/hmj/1448323768 , MR 3429167

[dunham-lindgren-witte-33] Dunham, Douglas; Lindgren, John; Witte, Dave (1981), "Creating repeating hyperbolic patterns", dalam Green, Doug; Lucido, Tony; Fuchs, Henry, Proceedings of the 8th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, SIGGRAPH 1981, Dallas, Texas, USA, August 3–7, 1981, Association for Computing Machinery, hlm. 215–223, doi:10.1145/800224.806808 , ISBN 0-89791-045-1

[schwartz-unbounded-34] Schwartz, Richard Evan (2007), "Unbounded orbits for outer billiards, I", Journal of Modern Dynamics, 1 (3): 371–424, arXiv:math/0702073 , doi:10.3934/jmd.2007.1.371, MR 2318496

[schwartz-monograph-35] Schwartz, Richard Evan (2009), Outer Billiards on Kites, Annals of Mathematics Studies, 171, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, doi:10.1515/9781400831975, ISBN 978-0-691-14249-4, MR 2562898

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

@@ Baris 150: / Baris 150: @@
 == Kajian ''outer billiard'' ==
-Ahli matematika [[Richard Schwartz (matematikawan)|Richard Schwartz]] mengkaji {{Ill|outer billiard|en|outer billiard}} (''outer billiards'') pada layang-layang. ''Outer billiards'' adalah [[sistem dinamika]] yang melibatkan konsep berikutː ketika titik di luar himpunan cembung yang [[Ruang kompak|kompak]] di bidang, seseorang menggambarkan garis yang menyinggung himpunan cembung, yang berjalan dari titik awalnya di sekitar garis itu ke titik yang lain dengan jaraknya sama-sama jauh dari titik singgung, dan kemudian mengulangi proses yang sama. Kajian ini dibuka sekitar tahun 1950-an, mempertanyakan adakah sistem yang mendefinisikan hal tersebut dapat menghasilkan lintasan yang berjalan jauh secara sebarang dimulai dari titik awal. Schwartz melalui karyanya tahun 2007 memecahkan permasalahan ini dengan menemukan lintasan ''billiards'' yang tidak dibatasi untuk layang-layang dengan sudut 72°, 72°, 72°, 144°; layang-layang itu bentuk yang sama digunakan dalam pengubinan Penrose.{{R|schwartz-unbounded}} Schwartz kemudian menuliskan [[Monografi|monograf]] yang menganalisis lebih umum mengenai ''outer billiards'' untuk layang-layang. Untuk permasalahan ini, sebarang [[transformasi afin]] layang-layang mempertahankan sifat-sifat dinamis ''outer billiards'', dan sangat mungkin untuk mentransformasikan sebarang layang-layang menjadi bentuk dengan ketiga titik sudut berada di koordinat <math>(-1,0)</math> dan <math>(0,\pm1)</math>, sedangkan titik sudut keempatnya berada di <math>(\alpha,0)</math> dengan <math>\alpha</math> adalah nilai yang berada di selang satuan terbuka <math>(0,1)</math>. Perilaku ''outer billiards'' pada sebarang layang-layang sangat bergantung pada parameter <math>\alpha</math>, terutama ketika nilainya [[bilangan rasional]]. Untuk kasus layang-layang Penrose, <math>\alpha=1/\varphi^3</math>, sebuah bilangan irasiona; disini, <math>\varphi=(1+\sqrt5)/2</math> adalah [[rasio emas]].{{R|schwartz-monograph}}
+Ahli matematika [[Richard Schwartz (matematikawan)|Richard Schwartz]] mengkaji ''{{Ill|outer billiard|en|outer billiard}}'' pada layang-layang. ''Outer billiards'' adalah [[sistem dinamika]] yang melibatkan konsep berikutː ketika titik di luar himpunan cembung yang [[Ruang kompak|kompak]] di bidang, seseorang menggambarkan garis yang menyinggung himpunan cembung, yang berjalan dari titik awalnya di sekitar garis itu ke titik yang lain dengan jaraknya sama-sama jauh dari titik singgung, dan kemudian mengulangi proses yang sama. Kajian ini dibuka sekitar tahun 1950-an, mempertanyakan adakah sistem yang mendefinisikan hal tersebut dapat menghasilkan lintasan yang berjalan jauh secara sebarang dimulai dari titik awal. Schwartz melalui karyanya tahun 2007 memecahkan permasalahan ini dengan menemukan lintasan ''billiards'' yang tidak dibatasi untuk layang-layang dengan sudut 72°, 72°, 72°, 144°; layang-layang itu bentuk yang sama digunakan dalam pengubinan Penrose.{{R|schwartz-unbounded}} Schwartz kemudian menuliskan [[Monografi|monograf]] yang menganalisis lebih umum mengenai ''outer billiards'' untuk layang-layang. Untuk permasalahan ini, sebarang [[transformasi afin]] layang-layang mempertahankan sifat-sifat dinamis ''outer billiards'', dan sangat mungkin untuk mentransformasikan sebarang layang-layang menjadi bentuk dengan ketiga titik sudut berada di koordinat <math>(-1,0)</math> dan <math>(0,\pm1)</math>, sedangkan titik sudut keempatnya berada di <math>(\alpha,0)</math> dengan <math>\alpha</math> adalah nilai yang berada di selang satuan terbuka <math>(0,1)</math>. Perilaku ''outer billiards'' pada sebarang layang-layang sangat bergantung pada parameter <math>\alpha</math>, terutama ketika nilainya [[bilangan rasional]]. Untuk kasus layang-layang Penrose, <math>\alpha=1/\varphi^3</math>, sebuah bilangan irasiona; disini, <math>\varphi=(1+\sqrt5)/2</math> adalah [[rasio emas]].{{R|schwartz-monograph}}
 == Referensi ==