Eksponensiasi

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: $x^{y}$. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti $2^{3}$.

Bilangan $x$ disebut bilangan pokok, dan bilangan $y$ disebut eksponen. Sebagai contoh, pada $2^{3}$, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung $2^{3}$ seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$. Hasilnya adalah $2\cdot 2\cdot 2=8$. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

• $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
• $x^{2}=x\cdot {}x$
• $1^{x}=1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan $a^{2}$. Sehingga

$x^{2}$ adalah persegi dari $x$

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan $a^{3}$. Sehingga

$x^{3}$ adalah kubik $x$

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga:$x^{-1}={\frac {1}{x}}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

$2^{-3}=({\frac {1}{2}})^{3}={\frac {1}{8}}$

Jika eksponen sama dengan ${\frac {1}{2}}$ hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Contoh:

$4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Dengan cara yang sama, jika eksponen ${\frac {1}{n}}$ hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jika eksponen merupakan bilangan rasional ${\frac {p}{q}}$, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

seperti ini:$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

• $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
• $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
• ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
• $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
• $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
• $a^{0}=1,\quad a\neq 0$: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: $I^{2}=I\cdot I=I$.