Subobjek

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, Subobjek adalah, secara kasar, sebuah objek yang berada di dalam objek lain dalam kategori yang sama. Gagasan tersebut adalah generalisasi konsep seperti himpunan bagian dari teori himpunan, subgrup dari teori grup, dan subruang dari topologi. Karena struktur detail objek tidak material dalam teori kategori, Definisi subobjek bergantung pada morphism yang mendeskripsikan bagaimana satu objek berada di dalam objek lain, daripada bergantung pada penggunaan elemen.

Konsep ganda untuk subobjek adalah objek hasil bagi. Ini menggeneralisasi konsep seperti kumpulan hasil bagi, grup hasil bagi, ruang hasil bagi, grafik hasil bagi, dll.

Definisi

Secara detail, maka $A$ menjadi objek dari beberapa kategori. Diberikan dua monomorfisme

$u:S\to A\ {\text{dan}}\ v:T\to A$

dengan codomain $A$, kami menulis $u\leq v$ jika $u$ faktor melalui $v$, Artinya, jika ada $\phi :S\to T$ seperti $u=v\circ \phi$. Hubungan biner $\equiv$ didefinisikan oleh

$u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{dan}}\ v\leq u$

adalah hubungan kesetaraan pada monomorfisme dengan codomain $A$, dan kelas kesetaraan yang sesuai dari monomorfisme ini adalah subobjek dari $A$. (Secara ekuivalen, seseorang dapat mendefinisikan relasi ekivalen dengan $u\equiv v$ jika dan hanya jika ada isomorfisme $\phi :S\to T$ with $u=v\circ \phi$.)

Relasi ≤ menginduksi sebuah urutan parsial pada kumpulan sub-objek dari $A$.

Kumpulan sub-objek dari sebuah objek sebenarnya bisa berupa kelas yang sesuai; Artinya pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika kumpulan sub-objek dari setiap objek adalah himpunan, kategorinya disebut bertenaga baik atau terkadang kecil lokal.

Contoh

Lihat pula Kategori: Objek hasil bagi

Lihat pula

• Pengklasifikasi subobjek
• Subhasilbagi

Referensi

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (edisi ke-2nd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.