Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Revisi sejak 20 Desember 2020 15.37 oleh Dedhert.Jr(bicara | kontrib)(→Hubungan perulangan: Kesalahan menerjemah kata atau kalimat pada pranala + Kesalahan menerjemah kata atau kalimat pada subjudul)
berlaku dimana adalah fungsi digamma dan adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada . Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan . Fungsi terkadang disebut fungsi trigamma.
Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks
Pengaturan pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan
yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː
dan
untuk semua . Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan , kecuali dalam kasus dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada dimnita tambahannya. Kasus harus diperlakukan berbeda karena tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).
Relasi refleksi
dimana adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien . Mereka mematuhi persamaan rekursi
yang berlaku untuk dan setiap kompleks tidak sama dengan sebuah bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam istilah dari fungsi zeta Hurwitz sebagai
.
Sebagai kemungkinan lain, zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.
Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,
yang konvergen untuk . Disini, adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.
Ekspansi asimtotik
Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː
adalah tak negatif untuk semua dan . Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa
benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas menyiratkan bahwa
adalah tak negatif untuk semua dan , sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas