Logaritma alami

Grafik logaritma alami

Logaritma alami atau logaritma natural (bahasa Inggris: natural logarithm) adalah suatu logaritma yang berbasis e, di mana

$e\approx 2.718281828459045\dots$.

Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif $x$ dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan $0$.

Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari fungsi eksponensial.

$\ e^{\ln(x)}=x\,\!$ untuk semua $x$ yang positif dan

$\ln(e^{x})=x\,\!$ untuk semua $x$ yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Notasi logaritma alami

Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan $\ln(x)$ atau $\log(x)$ untuk menotasikan $\log _{e}(x)$. Begitu juga dengan para Insinyur, ahli biologi, dan ahli dalam bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni kalkulator, tombol ln diartikan sebagai logaritma alami.

Mengapa disebut "alami"

Sekilas, tampaknya yang lebih pantas disebut "alami" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan pada umumnya juga adalah 10.

Namun begitu, ada dua alasan mengapa ln (x) disebut sebagai logaritma alami:

• 1. Persamaan-persamaan yang variabelnya tanpa diketahui merupakan pangkat dari e jauh lebih sering ditemui dibandingkan yang merupakan pangkat dari 10 (ini karena sifat-sifat "alami" dari fungsi eksponensial yang dapat menggambarkan pertumbuhan dan peluruhan).
• 2. karena logaritma alami dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau deret Taylor,

Sebagai contohnya bisa dilihat pada turunan di bawah ini: ${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\cdot \ln b}}$

Jika basis "b" adalah "e" maka turunan yang didapat dari situ adalah "1/x" dan jika "x=1", maka kemiringan Kurva-nya adalah 1.

dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Definisi

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu a di mana $\ln(a)=1$.

Lihat pula

• Logaritma natural dari 2