Akar kuadrat

"Akar kuadrat" beralih ke halaman ini. Untuk penggunaan lainnya, lihat Akar kuadrat (disambiguasi).

Notasi untuk akar kuadrat (pokok) x

Sebagai contoh, √25 = 5, sejak 25 = 5 ⋅ 5, atau 5² (5 kuadrat).

Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r² = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai $\scriptstyle {\sqrt {x}}$. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x^1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan $\scriptstyle {\sqrt {9}}=3$, karena 3² = 3 × 3 = 9 dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah $\scriptstyle {\sqrt {x}}$, yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah $\scriptstyle -{\sqrt {x}}$, yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan $\scriptstyle \pm {\sqrt {x}}$. Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).

Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya, $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ tidak dapat dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras. (Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)

Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penyajian $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{ab+2}}$, ab + 2 adalah radikan.

Sifat

Grafik fungsi $\scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}$, menghasilkan setengah parabola dengan irisan kerucut vertikal.

Fungsi akar kuadrat utama $\scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}$ (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R⁺ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional); $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.

• Untuk setiap bilangan real x

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$     (lihat nilai absolut)

• Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

and

${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$

• Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

• Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh

${\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!$

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif

Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah bilangan bulat aljabar, lebih spesifiknya bilangan bulat kuadrat.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor prime, karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka ${\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},$ hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam faktorisasi yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah

${\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.$

Sebagai ekspansi desimal

Akar kuadrat dari kuadrat sempurna s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan karenanya memiliki non-desimal berulang dalam [[representasi desimal]. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

n	${\sqrt {n}},$ dipotong menjadi 50 tempat desimal
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya

Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi ​​standar.

Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash SHA-1 dan SHA-2 untuk memberikan tidak ada bilangan lengan.

Sebagai pecahan lanjutan periodik

Salah satu hasil paling menarik dari studi bilangan irasional s karena pecahan kontinu diperoleh dengan Joseph Louis Lagrange ca 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah berkala. Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\sqrt {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\sqrt {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\sqrt {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\sqrt {16}}$	= [4]
${\sqrt {17}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\sqrt {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\sqrt {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\sqrt {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini:

${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}$

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena 11 = 3² + 2, di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:

${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.$

Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks

Daun pertama dari akar kuadrat kompleks

Daun kedua dari akar kuadrat kompleks

Menggunakan permukaan Riemann dari akar kuadrat, ditunjukkan bagaimana kedua daun tersebut saling cocok

Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat nyata. Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut bilangan kompleks s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan i (terkadang j , terutama dalam konteks listrik di mana " i " secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang didefinisikan sedemikian rupa i² = −1. Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap i sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya (−i)² = i² = −1 dan jadi - i juga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah i , atau lebih umum lagi, jika x adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari x adalah

${\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.$

Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat dari x , maka

$(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.$

Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol z terdapat tepat dua bilangan w sedemikian rupa w² = z: akar kuadrat utama dari z (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.

Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks

Templat:Visualisation complex number roots Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut nilai pokok, kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun x + iy dapat dilihat sebagai titik di bidang, (x, y), diekspresikan menggunakan koordinat kartesius. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar sebagai pasangan $(r,\varphi$), dimana r ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan $\varphi$ adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ( x ). Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional $re^{i\varphi }.$ Jika

$z=re^{i\varphi }{\text{ dengan }}-\pi <\varphi \leq \pi ,$

kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari z sebagai berikut:

${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.$

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai potongan cabang. Fungsi akar kuadrat utama adalah holomorfik di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan kontinu). Deret Taylor di atas untuk ${\sqrt {1+x}}$ tetap berlaku untuk bilangan kompleks x dengan |x| < 1.

Di atas juga dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri:

${\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).$

Rumus aljabar

Akar kuadrat dari i

Ketika bilangan tersebut diekspresikan menggunakan koordinat Kartesius, rumus berikut dapat digunakan untuk akar kuadrat utama:

${\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},$

di mana tanda dari bagian imajiner dari akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.

Misalnya, akar kuadrat utama dari ± i diberikan oleh:

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}$

Catatan

Berikut ini, kompleks z dan w dapat diekspresikan sebagai:

• $z=|z|e^{i\theta _{z}}$
• $w=|w|e^{i\theta _{w}}$

dimana $-\pi <\theta _{z}\leq \pi$ dan $-\pi <\theta _{w}\leq \pi$.

Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah tidak benar secara umum.

• ${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$ (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: z = −1 dan w = −1) Kesetaraan ini hanya berlaku jika $-\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi$
• ${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$ (counterexample untuk akar kuadrat utama: w = 1 dan z = −1) Persamaan ini hanya berlaku jika $-\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi$
• ${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$ (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: z = −1) Persamaan ini hanya valid jika $\theta _{z}\neq \pi$

Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi logz + logw = log(zw) or log(z^*) = log(z)^* yang tidak benar secara umum.

Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu −1 = 1:

${\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\end{aligned}}$

Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat bukti tidak sah). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung ${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.$ Sisi kiri menjadi salah satunya

${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1$

jika cabang menyertakan + i atau

${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1$

jika cabang termasuk - i , sedangkan sisi kanan menjadi

${\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,$

dimana persamaan terakhir, ${\sqrt {1}}=-1,$ adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

Akar ke-n dan akar polinomial

Definisi akar kuadrat dari $x$ sebagai angka $y$ sedemikian rupa sehingga $y^{2}=x$ telah digeneralisasikan dengan cara berikut.

Akar pangkat tiga dari $x$ adalah angka $y$ sedemikian rupa sehingga $y^{3}=x$; dilambangkan ${\sqrt[{3}]{x}}.$

Jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, n akar ke dari $x$ adalah angka $y$ seperti $y^{n}=x$; dilambangkan ${\sqrt[{n}]{x}}.$

Mengingat polinomial p , sebuah akar dari p adalah bilangan y seperti yang p(y) = 0. Misalnya, akar ke n dari x adalah akar dari polinomial (pada y) $y^{n}-x.$

Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke n.

Komputasi

Artikel utama: Metode penghitungan akar kuadrat

Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol akar kuadrat. Lembar kerja komputer dan perangkat lunak lainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat dari x menggunakan identitas

${\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}$ atau ${\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}.$

Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel logaritma atau slide rule.

Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan metode ini. Metode ini melibatkan algoritme sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan r, akar kuadrat dari bilangan real x:

1. Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke akar kuadrat x, semakin baik).
2. Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r, yaitu: $\scriptstyle (r+x/r)/2\,$ (Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)
3. Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.

Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.

Akar bersarang tak terhingga

Metode biasa

Penjumlahan	${\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+\dots }}}}}}$	${\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$
Pengurangan	${\sqrt {a-{\sqrt {a-{\sqrt {a-\dots }}}}}}$	${\frac {-1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$
Perkalian	${\sqrt {a{\sqrt {a{\sqrt {a\dots }}}}}}$	$a$
Pembagian	${\sqrt {a/{\sqrt {a/{\sqrt {a/\dots }}}}}}$	${\sqrt[{3}]{a}}$

Metode Ramanunjan

${\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\dots }}}}}}=x+n+a$

Referensi

• Imhausen, Annette (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. hlm. 187–384. ISBN 0691114854. 
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598. 
• Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307. 

Pranala luar

• Teknik soroban Jepang - Metode Profesor Fukutaro Kato
• Teknik soroban Jepang - Metode Takashi Kojima
• Algoritme, penerapan, dan lebih banyak lagi - Halaman web akar kuadrat milik Paul Hsieh
• Cara menentukan akar kuadrat secara manual Diarsipkan 2009-10-16 di Wayback Machine.