Limit barisan

Untuk konsep matematika umum, lihat Limit.

Urutan yang diberikan oleh keliling sisi n biasa-poligon yang mengelilingi lingkaran satuan memiliki batas yang sama dengan keliling lingkaran, yaitu $2\pi r$. Urutan yang sesuai untuk poligon tertulis memiliki batas yang sama.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Sebagai integer positif $n$ menjadi lebih besar dan lebih besar, nilainya $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ menjadi dekat secara sewenang-wenang $1$. Kami mengatakan bahwa "batas urutan $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ sama $1$."

Dalam matematika, Barisan Limit adalah nilai kelompok dari sebuah urutan "cenderung", dan sering dilambangkan $\lim$ simbol (yaitu, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$). Jika ada batasan seperti urutan disebut konvergen. Urutan yang tidak konvergen dikatakan berbeda. Batas suatu urutan dikatakan sebagai gagasan dasar yang pada akhirnya menjadi sandaran seluruh analisis matematika.

Limit dapat ditentukan di metrik atau ruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam bilangan real.

Sejarah

Filsuf Yunani Zeno dari Elea terkenal karena merumuskan paradoks yang melibatkan proses-proses yang membatasi.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus, dan Archimedes mengembangkan metode kelelahan, yang menggunakan urutan perkiraan tak terbatas untuk menentukan luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebut deret geometris.

Newton berurusan dengan seri dalam karyanya tentang Analisis dengan deret tak hingga (ditulis tahun 1669, diedarkan dalam manuskrip, diterbitkan tahun 1711), Metode fluks dan seri tak terbatas (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahan bahasa Inggris tahun 1736, bahasa Latin asli diterbitkan lama kemudian) dan Tractatus de Quadratura Curvarum (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Lampiran dari OpIn karya terakhir, Newton menganggap ekspansi binomial (x + o)n, yang kemudian dia linierisasi dengan melampaui nilai limit sebagai o cenderung 0.

Pada abad ke-18, matematikawan seperti Euler berhasil menjumlahkan beberapa deret divergen dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada batasan, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini, Lagrange dalam Théorie des fonctions analytiques (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus. Gauss dalam bukunya etude dari deret hipergeometrik (1813) untuk pertama kalinya diselidiki secara teliti di bawah kondisi dimana sebuah seri bertemu ke suatu limit.

Bilangan real

Plot urutan konvergen {a_n} ditampilkan dengan warna biru. Di sini, kita dapat melihat bahwa urutannya menyatu ke batas 0 saat n meningkat.

Dalam bilangan real, sebuah bilangan $L$ adalah limit dari urutan $(x_{n})$, jika angka dalam urutan menjadi lebih dekat dan lebih dekat ke $L$ —dan tidak ke nomor lain.

Contoh

Lihat pula: Daftar Limit

• Bila $x_{n}=c$ untuk nilai konstan c, $x_{n}\to c$.
• Bila $x_{n}={\frac {1}{n}}$, then $x_{n}\to 0$.
• Bila $x_{n}=1/n$ ketika $n$ adalah genap, dan $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ jika $n$ adalah nilai ganjil, kalau begitu $x_{n}\to 0$. (Fakta bahwa $x_{n+1}>x_{n}$ kapan saja $n$ nilai tidak relevan.)
• Diberikan bilangan real apa pun, seseorang dapat dengan mudah membuat urutan yang menyatu dengan bilangan tersebut dengan mengambil pendekatan desimal. Misalnya urutannya $0.3,0.33,0.333,0.3333,...$ menyatu dengan $1/3$. Perhatikan bahwa representasi desimal $0.3333...$ adalah limit dari urutan sebelumnya, yang ditentukan oleh

$0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}$.

• Menemukan batas urutan tidak selalu jelas. Dua contoh adalah $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (batasnya adalah bilangan e) dan Rata-rata aritmatika-geometris. Teorema pemerasan sering kali berguna dalam pembentukan batasan seperti itu.

Definisi formal

Kami mengalihkan $x$ nilai limit dari urutan $(x_{n})$ jika kondisi tersebut berlaku:

• Untuk setiap bilangan real $\epsilon >0$, ada bilangan asli $N$ sedemikian rupa, untuk setiap bilangan asli $n\geq N$, kita memiliki $|x_{n}-x|<\epsilon$.

Dengan kata lain, untuk setiap ukuran kedekatan $\epsilon$, suku-suku urutan pada akhirnya mendekati batas. Urutan dari nilai $(x_{n})$ dikatakan urutan atau cenderung batas $x$, tertulis $x_{n}\to x$ atau $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$.

Secara simbolis, hal tersebut adalah:

• $\forall \varepsilon >0(\exists N\in \mathbb {N} (\forall n\in \mathbb {N} (n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon ))).$

Jika suatu urutan menyatu ke suatu batas, maka itu adalah konvergen; jika tidak, hal tersebut terjad adalah perbedaan.

Ilustrasi

• 
  Contoh urutan yang konvergen ke batas $a$.
• 
  Terlepas dari itu $\varepsilon >0$ kami punya, ada indeks $N_{0}$, sehingga urutannya setelah itu sepenuhnya berada di dalam tabung epsilon $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.
• 
  Ada juga yang lebih kecil $\epsilon _{1}>0$ sebuah indeks $N_{1}$, sehingga urutannya kemudian berada di dalam tabung epsilon $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$.
• 
  Untuk setiap $\varepsilon >0$ hanya ada banyak anggota urutan di luar tabung epsilon.

Properti

Batas urutan berperilaku baik sehubungan dengan operasi aritmatika biasa. Bila $a_{n}\to a$ dan $b_{n}\to b$, then $a_{n}+b_{n}\to a+b$, $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ dan, if neither b nor any $b_{n}$ is zero, ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}$.

Untuk fungsi berkelanjutan apa pun f, bila $x_{n}\to x$ then $f(x_{n})\to f(x)$. Faktanya, setiap fungsi yang bernilai nyata f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas urutan (meskipun ini belum tentu benar saat menggunakan pengertian yang lebih umum tentang kontinuitas).

Beberapa sifat penting lainnya dari batas urutan nyata meliputi yang berikut (asalkan, dalam setiap persamaan di bawah, bahwa batas di sebelah kanan ada).

• Barisan limit itu unik.
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})$
• $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ provided $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
• Bila $a_{n}\leq b_{n}$ for all $n$ greater than some $N$, then $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$.
• (Rumus teorema) Bila $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ for all $n>N$, dan $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$, then $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$.
• Bila sebuah urutan dibatasi dan monotonik, maka itu konvergen.
• Urutan konvergen jika dan hanya jika setiap urutan konvergen.
• Jika setiap urutan memiliki urutannya sendiri yang menyatu ke titik yang sama, maka urutan aslinya menyatu ke titik itu.

Properti ini banyak digunakan untuk membuktikan batasan, tanpa perlu secara langsung menggunakan definisi formal yang rumit. Sebagai contoh. setelah terbukti itu $1/n\to 0$, menjadi mudah untuk menunjukkan — menggunakan properti di atas itu ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (berasumsi bahwa $b\neq 0$).

Ruang metrik

Definisi

Sebuah nilai titik $x$ dari ruang metrik $(X,d)$ adalah limit dari urutan $(x_{n})$ bila untuk nilai $\epsilon >0$, terdapat nilai $N$ sedemikian rupa, untuk setiap nilai $n\geq N$, $d(x_{n},x)<\epsilon$. Ini bertepatan dengan definisi yang diberikan untuk bilangan real when $X=\mathbb {R}$ dan $d(x,y)=|x-y|$.

Properti

Untuk fungsi berkelanjutan apa pun f, bila $x_{n}\to x$ katika $f(x_{n})\to f(x)$. Faktanya, fungsi f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas urutan.

Batasan urutan itu unik bila ada, karena titik berbeda dipisahkan oleh jarak positif, jadi untuk $\epsilon$ kurang dari setengah jarak ini, istilah urutan tidak bisa berada dalam jarak $\epsilon$ dari kedua poin tersebut.

Urutan Cauchy

Artikel utama: Urutan Cauchy

Plot urutan Cauchy (x_n), ditampilkan dengan warna biru, seperti x_n versus n. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat n meningkat. Dalam bilangan real setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.

Urutan Cauchy adalah urutan yang istilah-istilahnya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang urutan Cauchy penting dalam studi urutan di ruang metrik, dan, khususnya, di analisis nyata. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah Kriteria Cauchy untuk konvergensi urutan: urutan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah urutan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di ruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperreal

Definisi batas menggunakan bilangan hiperreal meresmikan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, urutan yang nyata $(x_{n})$ cenderung L jika untuk setiap tak terbatas hipernatural H, syarat x_H is sangat dekat dengan L (yaitu, perbedaan nilai x_H − L adalah infinitesimal). Setara, L adalah bagian standar dari x_H

$L={\rm {st}}(x_{H}).\,$

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

$\lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H}),$

di mana batasnya ada jika dan hanya jika sisi kanan tidak bergantung pada pilihan yang tak terbatas H.

Lihat pula

• Jaring pada Limit — jaring adalah generalisasi topologi dari suatu barisan.
• Limit inferior
• Mode konvergensi
• Himpunan teoretis limit
• Aturan shift
• Limit berikutnya

Referensi

• Courant, Richard (1961). "Volume Kalkulus Diferensial dan Integral I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley dan James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Tautan luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Limit", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A history of the calculus, including limits