Geometri aritmetika
Dalam matematika, geometri aritmetik, secara kasar, adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terhadap permasalahan pada teori bilangan.[1] Geometri aritmetik berpusat di sekitar geometri Diophantus, ilmu yang mempelajari titik rasional dari varietas aljabar.[2][3]
Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetik dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari skema tipe hingga di atas spektrum gelanggang bilangan bulat.[4]
Tinjauan luas
Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetik adalah titik rasional: himpunan penyelesaian sistem persamaan polinomial di atas medan bilangan, medan hingga, medan p-adic, atau medan fungsi, dengan kata lain adalah medan yang tidak tertutup secara aljabar kecuali bilangan real. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh fungsi tinggi yang mengukur kekompleksan aritmetik mereka.[5]
Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, kohomologi étale menyediakan invarian topologis yang berkaitan dengan varietas aljabar.[6] Teori p-adic Hodge memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas bilangan kompleks meluas ke atas medan p-adic.[7]
Sejarah
Abad ke-19: awal geometri aritmetik
Pada awal abad ke-19, Carl Friedrich Gauss mengamati bahwa solusi bilangan bulat tak nol pada persamaan polinomial homogen dengan koefisien rasional ada jika solusi rasional tak nol ada.[8]
Pada 1850-an, Leopold Kronecker merumuskan teorema Kronecker–Weber, memperkenalkan teori pembagi, dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan aljabar. Ia kemudian mengonjekturkan "liebster Jugendtraum"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai masalah keduabelasnya, yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi gelanggang polinomial di atas bilangan bulat.[9]
Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur Weil
Pada akhir 1920-an, André Weil mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke teorema Mordell–Weil yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari varietas abel merupakan grup abel terbangkit hingga.[10]
Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada aljabar komutatif kontemporer, termasuk teori penilaian dan teori ideal oleh Oscar Zariski dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.[11]
Pada 1949, André Weil mengemukakan konjektur Weil mengenai fungsi zeta lokal dari varietas aljabar di atas medan hingga.[12] Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong Alexander Grothendieck menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan teori gemal (bersama dengan Jean-Pierre Serre), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an.[13] Bernard Dwork membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960.[14] Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan Michael Artin dan Jean-Louis Verdier) pada 1965.[6][15] Konjektur Weil terakhir (analog dari hipotesis Riemann) akhirnya terbukti pada 1974 oleh Pierre Deligne.[16]
Lihat pula
Referensi
- ^ Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Diakses tanggal 22 Maret 2019.
- ^ Klarreich, Erica (28 Juni 2016). "Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry". Diakses tanggal 22 Maret 2019.
- ^ Poonen, Bjorn (2009). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Diakses tanggal 22 Maret 2019.
- ^ Arithmetic geometry di nLab
- ^ Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. hlm. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- ^ a b Grothendieck, Alexander (1960). "The cohomology theory of abstract algebraic varieties". Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. hlm. 103–118. MR 0130879.
- ^ Serre, Jean-Pierre (1967). "Résumé des cours, 1965–66". Annuaire du Collège de France. Paris: 49–58.
- ^ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. hlm. 1. ISBN 978-0125062503.
- ^ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. hlm. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
- ^ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
- ^ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David, ed. Algebraic surfaces. Classics in mathematics (edisi ke-second supplemented). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915.
- ^ Weil, André (1949). "Numbers of solutions of equations in finite fields". Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
- ^ Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algebriques Coherents". The Annals of Mathematics. 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915.
- ^ Dwork, Bernard (1960). "On the rationality of the zeta function of an algebraic variety". American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631–648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494.
- ^ Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. "Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L". Séminaire Bourbaki. 9. Paris: Société Mathématique de France. hlm. 41–55. MR 1608788.
- ^ Deligne, Pierre (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (43): 273–307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258.
