Faktorial

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1

Sebagai contoh, nilai dari $7!$ adalah $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040.$ Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial:

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
12 479.001.600
14 87.178.291.200
15 1.307.674.368.000
16 20.922.789.888.000
18 6.402.373.705.728.000
20 2.432.902.008.176.640.000
25 1,5511210043×10²⁵
30 2,6525286×10^{32

35 1,0333148×10^{40
42 1,4050061178×10⁵¹

50 3,0414093202×10⁶⁴

70 1,1978571670×10¹⁰⁰

100 9,3326215444×10¹⁵⁷

450 1,7333687331×10^1.000

1.000 4,0238726008×10^2.567

3.249 6,4123376883×10^10.000

10.000 2,8462596809×10^35.659

25.206 1,2057034382×10^100.000

100.000 2,8242294080×10^456.573

205.023 2,5038989317×10^1.000.004

1.000.000 8,2639316883×10^5.565.708}}

Pengertian

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{untuk semua }}n\geq 1.

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk $n\geq 0$

n!={\begin{cases}n\cdot (n-1)!,&{\mbox{untuk }}n\geq 1\\1,&{\mbox{untuk }}n=0.\end{cases}}

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{e^{n}}}.

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t

n!=\Gamma (n+1)

Lihat pula

Pranala luar