Akar kuadrat

Notasi untuk akar kuadrat (pokok) x

Sebagai contoh, √25 = 5, sejak 25 = 5 ⋅ 5, atau 5² (5 kuadrat).

Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r² = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai $\scriptstyle {\sqrt {x}}$. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x^1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan $\scriptstyle {\sqrt {9}}=3$, karena 3² = 3 × 3 = 9 dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah $\scriptstyle {\sqrt {x}}$, yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah $\scriptstyle -{\sqrt {x}}$, yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan $\scriptstyle \pm {\sqrt {x}}$. Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).

Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya, $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ tidak dapat dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras. (Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)

Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penyajian $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{ab+2}}$, ab + 2 adalah radikan.

Sifat

Grafik fungsi $\scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}$, menghasilkan setengah parabola dengan irisan kerucut vertikal.

Fungsi akar kuadrat utama $\scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}$ (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R⁺ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional); $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.

• Untuk setiap bilangan real x

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$     (lihat nilai absolut)

• Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

and

${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$

• Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

• Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh

${\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!$

Komputasi

Artikel utama: Metode penghitungan akar kuadrat

Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol akar kuadrat. Lembar kerja komputer dan perangkat lunak lainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat dari x menggunakan identitas

${\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}$ atau ${\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}.$

Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel logaritma atau slide rule.

Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan metode ini. Metode ini melibatkan algoritme sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan r, akar kuadrat dari bilangan real x:

1. Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke akar kuadrat x, semakin baik).
2. Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r, yaitu: $\scriptstyle (r+x/r)/2\,$ (Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)
3. Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.

Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.

Akar bersarang tak terhingga

Metode biasa

Penjumlahan	${\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\dots }}}}}}$	${\frac {1+{\sqrt {1+4n}}}{2}}$
Pengurangan	${\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\dots }}}}}}$	${\frac {-1+{\sqrt {1+4n}}}{2}}$
Perkalian	${\sqrt {n{\sqrt {n{\sqrt {n\dots }}}}}}$	n
Pembagian	${\sqrt {n/{\sqrt {n/{\sqrt {n/\dots }}}}}}$	${\sqrt[{3}]{n}}$

Metode Ramanunjan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \sqrt{ax + (n + a)^2 + x \sqrt {a (x + n) + (n + a)^2 + (x + n) \sqrt \dots }}} = (x + n + a)^2}

Referensi

• Imhausen, Annette (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. hlm. 187–384. ISBN 0691114854. 
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598. 
• Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307. 

Pranala luar

• Teknik soroban Jepang - Metode Profesor Fukutaro Kato
• Teknik soroban Jepang - Metode Takashi Kojima
• Algoritme, penerapan, dan lebih banyak lagi - Halaman web akar kuadrat milik Paul Hsieh
• Cara menentukan akar kuadrat secara manual