Kuartil

Kuartil adalah salah satu jenis kuantil yang membagi data menjadi empat bagian dengan jumlah yang kurang lebih sama. Kuartil pertama (Q₁) merupakan nilai tengah antara nilai terkecil dan median dari kumpulan data. Kuartil pertama juga dikenal sebagai kuartil bawah atau kuartil empiris ke-25 dan menandai 25% data dari bawah. Kuartil kedua (Q₂) adalah median data yang menandai 50% data (membagi data menjadi dua). Kuartil ketiga (Q₃) adalah nilai tengah antara median dan nilai tertinggi dari kumpulan data. Kuartil ketiga juga dikenal sebagai kuartil atas atau kuartil empiris ke-75 dan menandai 75% data dari bawah.^[1] Kuartil adalah salah satu bentuk statistik urutan karena untuk menentukan kuartil, data perlu diurutkan dari nilai yang terkecil hingga terbesar lebih dahulu.

Ketiga kuartil yang dijelaskan di atas merupakan salah satu elemen dalam ringkasan lima angka. Ringkasan ini merupakan hal yang penting dalam statistika karena memberikan informasi tentang pusat dan sebaran data. Kuartil bawah dan atas dapat memberikan informasi tentang sebaran dan kemiringan data. Karena kuartil membagi data berdasarkan jumlah banyaknya data, rentang antara satu kuartil dengan kuartil lainnya tidaklah sama (misal Q₃-Q₂ ≠ Q₂-Q₁ ). Sementara nilai maksimum dan minimum juga menunjukkan sebaran data, kuartil atas dan bawah dapat memberikan informasi yang lebih rinci mengenai lokasi titik data tertentu, adanya pencilan dalam data, dan perbedaan sebaran antara 50% tengah data dan titik data luar.^[2]

Untuk representasi visual, kunjungi situs web ini

Definisi

Simbol	Nama	Definisi
Q₁	kuartil pertama kuartil bawah persentil ke-25	memisahkan 25% data terendah dari 75% data tertinggi
Q₂	kuartil kedua median persentil ke-50	memotong kumpulan data menjadi dua
Q₃	kuartil ketiga kuartil atas persentil ke-75	memisahkan 25% data tertinggi dari 75% data terendah

Metode penghitungan

Distribusi Diskrit

Tidak ada kesepakatan universal tentang cara menentukan nilai kuartil pada distribusi diskrit.^[3] Oleh karena itu, penting untuk mengetahui metode yang disepakati sebelum menentukan nilai kuartil pada suatu persoalan.

Data tunggal

Metode 1

Urutkan data
Gunakan median untuk membagi data terurut menjadi dua bagian.
- Apabila jumlah data terurut ganjil, tidak perlu menyertakan median di kedua bagian.
- Apabila jumlah data terurut genap, bagi kumpulan data ini menjadi dua.
Nilai kuartil bawah adalah median dari setengah data bagian bawah, sementara nilai kuartil atas adalah median dari setengah data atas.

Metode 2

Letak kuartil pada kumpulan data tunggal juga dapat dicari menggunakan rumus

Kuartil 1 (Q₁) = $X_{\frac {1\times (N+1)}{4}}$
Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {2\times (N+1)}{4}}$
Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {3\times (N+1)}{4}}$

dengan $N$ adalah jumlah data. Hasil dari perhitungan menggunakan rumus tersebut akan menunjukkan letak nilai kuartil pada kumpulan data yang telah diurutkan.

Data kelompok^[4]

$Qi=T_{b}+{\begin{bmatrix}{\frac {{\frac {i}{4}}n-F}{F_{k}}}\end{bmatrix}}p$ , dengan $i$ = 1, 2, 3 dengan $Qi$ adalah nilai kuartil yang dicari, $T_{b}$ adalah tepi bawah kelas tempat kuartil berada, $F$ adalah frekuensi kumulatif tepat sebelum kuartil berada, $F_{k}$ adalah frekuensi kelas tempat kuartil berada, dan $p$ adalah panjang kelas tempat kuartil berada.

Distribusi Probabilitas Kontinu

Kuartil pada fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal

Jika kita mendefinisikan distribusi probabilitas kontinu sebagai $P(X)$ , dengan $X$ adalah variabel acak bilangan real, fungsi distribusi kumulatifnya (CDF) dinyatakan oleh rumus

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$ .^[1]

CDF memberikan probabilitas bahwa variabel acak $X$ lebih kecil daripada nilai $x$ . Oleh karena itu, kuartil pertama adalah nilai $x$ yang menyebabkan $F_{X}(x)=0.25$ , kuartil kedua adalah nilai $x$ yang menyebabkan $F_{X}(x)=0.5$ , dan kuartil ketiga adalah nilai $x$ yang menyebabkan $F_{X}(x)=0.75$ .^[5] Nilai $x$ dapat ditemukan dengan fungsi kuantil $Q(p)$ dimana $p=0.25$ untuk kuartil pertama, $p=0.5$ untuk kuartil kedua, dan $p=0.75$ untuk kuartil ketiga. Fungsi kuantitatif adalah kebalikan dari fungsi distribusi kumulatif jika fungsi distribusi kumulatif naik secara monoton.

Contoh

Contoh 1

Misal terdapat kumpulan data yang telah diurutkan: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Menggunakan metode pertama data tunggal, kumpulan data dibagi menjadi dua (misal, data bagian 1 dan 2):

$\underbrace {6,7,15,36,39,} _{bagian1}\underbrace {40,} _{median(Q_{2})}\underbrace {41,42,43,47,49} _{bagian2}$

Nilai kuartil dapat ditentukan dengan mencari median dari masing-masing bagian (median bagian 1 menjadi Q₁ dan median bagian 2 menjadi Q₃)

$6,7,\underbrace {15,} _{Q_{1}}36,39$

$41,42,\underbrace {43,} _{Q_{3}}47,49$

Dengan demikian, didapatkan hasil:

Kuartil	Hasil
Q₁	15
Q₂	40
Q₃	43

Contoh 2

Menggunakan kumpulan data yang sama, akan dicari ketiga kuartilnya menggunakan metode 2:

Kuartil 1 (Q₁) = $X_{\frac {1\times (11+1)}{4}}=X_{\frac {1\times (12)}{4}}=X_{3}$
Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {2\times (11+1)}{4}}=X_{\frac {2\times (12)}{4}}=X_{6}$
Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {3\times (11+1)}{4}}=X_{\frac {3\times (12)}{4}}=X_{9}$

Dengan demikian, ditemukan bahwa data ke-3 ( $X_{3}$ ) merupakan kuartil pertama/kuartil bawah, data ke-6 ( $X_{6}$ ) merupakan kuartil kedua/median, dan data ke-9 ( $X_{9}$ ) merupakan kuartil ketiga/kuartil atas. Hasil yang didapatkan sama dengan metode penghitungan pada contoh 1.

Perangkat lunak komputer untuk mencari kuartil

Excel

Fungsi Excel QUARTILE (array, quart) akan memberikan nilai kuartil yang diinginkan untuk suatu kumpulan data tertentu. Dalam fungsi QUARTILE, array adalah kumpulan data angka yang dianalisis dan quart adalah angka tertentu yang bergantung pada kuartil yang dicari.^[6] Berikut adalah quart yang dapat digunakan:


Quart	Keluaran nilai QUARTILE
0	Nilai minimum
1	Kuartil Bawah (persentil ke-25)
2	Median
3	Kuartil Atas (persentil ke-75)
4	Nilai maksimum

MATLAB

Penentuan kuartil di Matlab dapat dilakukan menggunakan fungsi kuantil (A, p), dengan A adalah vektor data yang dianalisis dan p adalah persentase yang berkaitan dengan kuartil:^[7]


p	Keluaran nilai kuartil
0	Nilai minimum
0.25	Kuartil Bawah (persentil ke-25)
0,5	Median
0.75	Kuartil Atas (persentil ke-75)
1	Nilai maksimum

Lihat pula

Diagram kotak garis

Referensi

^ ^a ^b A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946–. London: Springer. 2005. hlm. 234–238. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.
^ Knoch, Jessica (February 23, 2018). "How are Quartiles Used in Statistics?". Magoosh Statistics Blog. Diakses tanggal December 11, 2019.
^ Hyndman, Rob J; Fan, Yanan (November 1996). "Sample quantiles in statistical packages". American Statistician. 50 (4): 361–365. doi:10.2307/2684934. JSTOR 2684934.
^ Santosa, Purbayu Budi; Hamdani, Muliawan (2007). Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga. Jakarta: Penerbit Erlangga. hlm. 119–121. ISBN 9789790152618.
^ "6. Distribution and Quantile Functions" (PDF). math.bme.hu.
^ "How to use the Excel QUARTILE function | Exceljet". exceljet.net. Diakses tanggal December 11, 2019.
^ "Quantiles of a data set – MATLAB quantile". www.mathworks.com. Diakses tanggal December 11, 2019.

Pranala luar

Kuartil - dari MathWorld Menyertakan referensi dan membandingkan berbagai metode untuk menghitung kuartil
Kuartil - Dari MathForum.org
Kalkulator kuartil - kalkulator kuartil sederhana
Kuartil - Contoh cara menghitungnya

[:0-1] A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946–. London: Springer. 2005. hlm. 234–238. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.

[2] Knoch, Jessica (February 23, 2018). "How are Quartiles Used in Statistics?". Magoosh Statistics Blog. Diakses tanggal December 11, 2019.

[3] Hyndman, Rob J; Fan, Yanan (November 1996). "Sample quantiles in statistical packages". American Statistician. 50 (4): 361–365. doi:10.2307/2684934. JSTOR 2684934.

[4] Santosa, Purbayu Budi; Hamdani, Muliawan (2007). Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga. Jakarta: Penerbit Erlangga. hlm. 119–121. ISBN 9789790152618.

[5] "6. Distribution and Quantile Functions" (PDF). math.bme.hu.

[6] "How to use the Excel QUARTILE function | Exceljet". exceljet.net. Diakses tanggal December 11, 2019.

[7] "Quantiles of a data set – MATLAB quantile". www.mathworks.com. Diakses tanggal December 11, 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]