Rumus Vieta

Dalam matematika,Rumus Vieta adalah rumus antara koefisien pada polinomial bersama angka dan hasil nilai akarnya. Ditemukan oleh François Viète rumus tersebut digunakan secara khusus dalam aljabar.

Rumus utama

Untuk nilai polinomial dengan hasil n

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

Rumus tersebut bersama teorema fundamental aljabar hanya memiliki nila n berbeda dengan akar kompleks r₁, r₂, ..., r_n . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar r₁, r₂, ..., r_n sebagai berikut:

${\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},$

Generalisasi cincin

Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam domain integral R . Setelah itu hasil quotients $a_{i}/a_{n}$ memiliki cincin pecahan R dan akarnya $r_{i}$ diambil dalam ekstensi tertutup aljabar. Biasanya,

RumusR adalah cincin bilangan bulat, bidang pecahan adalah bidang bilangan rasional dan bidang yang ditutup secara aljabar adalah bidang bilangan kompleks .

Contoh

Rumus Vieta dapat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar kuadrat dari $r_{1},r_{2}$ dari polinomial kuadrat $P(x)=ax^{2}+bx+c$, yaitu

$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari nilai P; lihat Persamaan kuadrat § Rumus Vieta.

Akar kuadrat dari $r_{1},r_{2},r_{3}$ dari polinomial kubik $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, yaitu

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.$